Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/858

terme de la série, et comme on doit prendre la somme des exposants de $e$ dans les deux termes combinés, on trouve que la seconde partie de la valeur de $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}$ est

$b_{1}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {2b_{1}}{\varpi }}\left(e^{-(t_{1}+t_{2})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{1}+t_{2})}\sin .2x\right.$

$\left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(t_{1}+t_{2})}\sin .3x-{\text{etc}}.\right),$

on forme ainsi l’expression complète de la température du solide après le temps $t_{1}+t_{2},$

$\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}=b_{2}-{\frac {2b_{2}}{\varpi }}\left(e^{-t_{2}}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}t_{2}}\sin .(2x)\right.$

$\left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}t_{2}}\sin .(3x)-{\text{etc}}.\right),$

$+b_{1}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {2b_{1}}{\varpi }}\left(e^{-(t_{1}+t_{2})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{1}+t_{2})}\sin .(2x)\right.$

$\left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(t_{1}+t_{2})}\sin .(3x)-{\text{etc}}.\right),$

et l’on voit que la seconde partie représente d’après l’équation (14) l’état où le système des températures se trouverait si les valeurs initiales de ces températures étant supposées nulles, on assujétissait pendant le temps total $t_{1}+t_{2},$ les deux extrémités $o$ et $\varpi$ du prisme à des températures fixes savoir, zéro pour l’une au point $o$ et pour l’autre $b,$ au point $\varpi .$

Il faut maintenant considérer cette valeur de $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}$ comme exprimant un état initial et assujétir l’extrémité $\varpi$ pendant une nouvelle partie $t_{3}$ du temps à la température fixe $b_{1}+b_{2}+b_{3},$ l’extrémité $o$ étant toujours retenue à la température zéro. Dans l’équation générale (13) on fera $\theta =t_{3}$ et $b=b_{1}+b_{2}+b_{3},$ et l’on prendra pour $\operatorname {F} \alpha$ la valeur de $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}$ dans laquelle on écrira $\alpha$ au lieu de $x.$ On aura donc