On doit donner au nombre entier i toutes ses valeurs possibles, et combiner chacun des termes qui en proviennent avec chacun des termes des deux séries placées à la suite. Lorsque la valeur de
diffère du coefficient de
dans un terme de la série, il faut omettre le résultat parce que sa valeur est nulle ; mais si le nombre
est le même que le coefficient de
la valeur de l’intégrale est
On aura donc en ajoutant les exposants de
l’expression
![{\displaystyle -{\frac {2}{\varpi }}b_{2}\left(e^{-(t_{2}+t_{3})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{2}+t_{3})}\sin .2x+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(t_{2}+t_{3})}\sin .3x-{\text{etc}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afe67ec7c628554ef093da115ed1c7635e21a84)
![{\displaystyle -{\frac {2}{\varpi }}b_{1}\left(e^{-(t_{1}+t_{2}+t_{3})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{1}+t_{2}+t_{3})}\sin .2x\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd7131e54028ec402468676701501dbec5c5d3e)
![{\displaystyle \left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(t_{1}+t_{2}+t_{3})}\sin .3x-{\text{etc}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224dd8ff1a52fa22378663d28e41cd73fb390881)
par conséquent la valeur complète de
est ainsi exprimée
![{\displaystyle {\begin{aligned}(22)\quad &\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2}+t_{3})}=b_{3}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {2b_{3}}{\varpi }}\left(e^{-t_{3}}\sin .(x)+e^{-2^{2}t_{3}}\sin .2x+{\text{etc}}.\right)\\&+b_{2}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {2b_{2}}{\varpi }}\left(e^{-(t_{2}+t_{3})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{2}+t_{3})}\sin .2x+{\text{etc}}.\right)\\&+b_{1}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {2b_{1}}{\varpi }}\left(e^{-(t_{1}+t_{2}+t_{3})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{1}+t_{2}+t_{3})}\sin .2x+{\text{etc}}.\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec216f73029e1c3ef4c837ab4cc42553071aa8c)
On formerait par le même procédé la valeur complète de
On aurait ainsi l’expression de l’état où le solide serait parvenu après une nouvelle portion du temps
si à partir de son état à la fin du temps total
on augmentait d’une nouvelle quantité
la température de l’extrémité
et si pendant cette nouvelle partie du temps ![{\displaystyle t_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733c1c9afebab516de6c89491b05d5478767b820)