est nulle, on a
(24)
![{\displaystyle \quad \mathrm {V} _{t}={\frac {x}{\varpi }}ft-{\frac {1}{\varpi }}\int _{0}^{\text{T}}dtf't{\bigg (}e^{-(\mathrm {T} -t)}\sin .x{\bigg .}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea4760fb875b0cfbc74249a39cf01fc162d4184)
![{\displaystyle \left.-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(\mathrm {T} -t)}\sin .2x+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(\mathrm {T} -t)}\sin .3x\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c30fa385914d23ff08df47902fb0e6e309cd39)
Le second membre représente l’état du solide après le temps total
les températures initiales étant supposées nulles, l’extrémité
étant retenue à la température zéro, et l’extrémité ☎ étant assujétie à la température variable
dont la première valeur
est nulle. Si cette première valeur
n’est pas nulle, il faut ajouter au résultat l’effet produit par la température
pendant le temps total
c’est-à-dire la quantité
![{\displaystyle {\frac {x}{\varpi }}f0-{\frac {2}{\varpi }}\left(f0e^{-\mathrm {T} }\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}\mathrm {T} }\sin .2x+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}\mathrm {T} }\sin .3x-{\text{etc}}.\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0bf5ef5779896a43e2d301c17b947f9e90db17b)
donc la valeur complète de
est ainsi exprimée
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V_{T}} ={\frac {x}{\varpi }}&\left(f0+\int _{0}^{\text{T}}dtf't\right)-{\frac {2}{\varpi }}e^{-{\text{T}}}\sin .x\left(f0+\int _{0}^{\text{T}}dtf't\right)\\&\qquad -{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}{\text{T}}}\sin .2x\left(f0+\int _{0}^{\text{T}}dtf'te^{2^{2}t}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}{\text{T}}}\sin .3x\left(f0+\int _{0}^{\text{T}}dtf'te^{3^{2}t}\right)-{\text{etc}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d154f4e52a4100ba11e0223e982d4d3dd9f6f9f2)
Le premier terme
est la valeur de
et si l’on fait
dans l’expression de
on trouve pour les températures initiales du système