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ARITHMÉTIQUE — ARKHANGEL

pMque : Méray, lirvue des Soc. sav. (Se. matli. 18G9) ; bedekind, Steiujkeit wid iri-ationate Zahle (1872) ; Heine, Joum. de Crelle (1872) ; Catalan, Mathesîs (1886). Cependant, il faut aller jusqu’à Diophante (325) pour voir résoudre, avec une réelle élégance, des questions assez difficiles, puis attendre le xvi« siècle avec Viète et Bachet pour voir fairo des progrès considérables à la science des nombres. Fermât (1601) est peut-être l’esprit le plus profond qui se soit porté vers la recherche des propriétés des nombres. Maig^ré tout, la théorie des nombres n’était encore qu’un recueil curieux, presque mystérieux, de propriétés isolées ; les plus profonds géomètres, Euler, Lagrange, Legendre, Gauss, Lejeune-Dirichlet, Tchebychef, Hermite, etc., devaient enlin y appliquer les méthodes les plus élevées de l’analyse indéterminée et de l’analyse algébrique, pour en relier les propriétés et constituer définitivement une véritable science.

— BiBLiOGR. : Legendre, Essai sur la théorie des yiombves (Paris, an VI) ; Gauss, Disquisitiones arithnetic^ (Leipzig, 1801) ; Poinsot, Joum. de Liouville (1845) ; Tchebychef, Théorie des congruences (Saint-Pétersbourg, l847) ;*Dedekind, Verlesiingen fibe ?- ZafUentheorie {Brunswick, 1887) ; Husserl, Philosophie der arithnetik (Halle, 1891). Arithmétique (Six livres d’), Arithmeticarum rerum lihri se.TJ, ouvrage de Diophante, mathématicien grec de l’école d’Alexandrie (350 de J.-C). Cet ouvrage, auquel on fait généralement remonter l’origine de l’algèbre, était composé de treize livres. En 1621, Bachet de Méziriac en donna une édition correcte, avec des commentaires qui sont estimés. Plus tard. Fermât y ajouta de savantes notes, que son fils publia en 1670. l^es six livres qui nous restent de Diophante traitent plutôt de la théorie des nombres que de l’algèbre. Diopnante donne la nomenclature et la génération des puissances : il nomme les secondes puissances, dynamis ; les troisièmes, cubus ; les quatrièmes, dynamodynamis ; les cinquièmes, dynamocubus ; les sixièmes, cubo-cubus. Il exprimait une quantité inconnue par le mot os (finale à’arithmos). Aritlunétique (Exposition des racines du calcul ET DE l’), ouvrage d’Avicenne. Pour Avicenne, de même que pour Platon et les pythagoriciens, les nombres ont une existence propre et indépendante des choses ; ils sont créés, ils ont des propriétés merveilleuses, une puissance surnaturelle et indéfinissable. D’après lui, tout nombre, quel qu’il soit, n’est autre chose que le nombre 9 ou son multiple, plus un excédent ; car les nombres n’ont que 9 caractères, plus le point (zéro), qui lui-même n exprime aucun nombre. Si 1 on parvient à connaître cet excédent et le multiplicateur novénaire, le nombre entier sera connu. Avicenne donne ensuite la preuve par 9 des opérations arithmétiques : au reste que l’on obtient, lorsqu’on retranche d’un nombre quelconque 9 ou un multiple de 9, il donne ie nom de chiffre ou de nombre radical.

Arithmétique logarithmique (Arithmetica logarithmica), ouvrage publié à Londres en 1624, par le mathématicien anglais Henri Briggs, et qui a servi de modèle à toutes les tables do logarithmes publiées depuis. On y trouve les logarithmes des nombres naturels depuis I jusqu’à 20.000, et depuis 90.000 jusqu’à 100.000, avec quatorze décimales. Vlacq, libraire hollandais, en donna en 1628 une traduction française, en ajoutant les logarithmes des nombres compris entre 20.000 et 90.000. Arithmétique universelle {Arithmetica nniversalis), ou De la composition et de la décomposition arithmétique. Titre d’un des principaux ouvrages de Newton. Dans cet ouvrage, qui comprend ce que l’on appelle aujourd’hui y arithmétique, l’algèbre et Yapplication de l’algèbre à la géométrie, l’illustre géomètre expose la science du calcul telle qu’elle était alors connue, mais en l’enrichissant de méthodes qui lui sont propres : recherche des racines d’une équation, de leur limite, etc..

Arithmétique morale (Essai d’), ouvrage de BufTon publié en 1777. L’auteur s’y propose pour objet de donner quelques règles «pour estimer les rapports de vraisemblance, les degrés de probabilité, le poids des témoignages, l’influence des hasards, l’inconvénient des risiiues, ef juger en même temps de la valeur réelle de nos craintes et de DOS espérances ». Il commence par distinguer les différents ordres de certitudes. 11 y a d’abord l’évidence proprement dite, qui appartient aux sciences mathématiques ; la certitude physique, qui appartient aux sciences physiques, et se mesure par le nombre des observations ; la certitude morale, qui semble tenir le milieu entre le doute et la certitude physique. Buffon «^montre mathématiquement l’immoralité du jeu, définil^e nécessaire, le superflu. Il montre ensuite les avantages qu’il y aurait à substituer à notre échelle décimale, l’échelle duodécimale. II propose pour étalon universel la longueur du pendule qui bat la seconde sous l’équateur.

Arithmétique indienne ou Lilaivati, par Bhascara Acharya, traité traduit du sanscrit en anglais par John Taylor (Bombay, 1816). Cet ouvrage, composé entre 1150 et 1160, donne un état exact des connaissances mathématiques des Indiens jusqu’au xii* siècle. Ce traité contient plusieurs propositions utiles de géométrie et de géodésie : c’est le premier livre qu’étudient les astronomes, ou plutôt les astrologues de l’Inde. Les règles sont écrites en vers. On y trouve ce principe fondamental : les nombres ont des valeurs croissant en proportion décuple suivant la place qu’ils occupent. On n’v trouve point la table qu’on dit avoir été rapportée de l’Inde par Pythagore ; on n’y voit, non plus, aucun signe pour indiquer la multiplication et l’addition. Un zéro, placé au-dessus d’uu nombre, signifie qu’il faut le retrancher. Arithmétique des Grecs, par Delambre, petit traité iuséTéà.ù.Qsl" Histoire de l’astronomie àMmémeùMteuv{,l). On y trouve exposées avec une grande clarté, d’après les ouvrages anciens que nous possédons, la numération écrite des Grecs, et les méthodes suivant lesquelles ils exécutaient leurs opérations numériques. Nous y apprenons que ces opérations présentaient pour eux les difficultés que l’on rencontrait naguère dans le calcul des nombres complexes ; que, pour désigner les quantités des ordres supérieurs, les Grecs se servaient de traits E oints qu’ils plaçaient au-dessous de leurs chiffres ; que, ) plus souvent, ils faisaient leurs additions, leurs soustractions, leurs multiplications de gauche à droite. Delambre fait bien saisir le développement que la numération grecque renut d’Archimède et d’Apollonius, et qui était un pas marqué vers notre arithmétique de position. ARITHMÉTIQUE adj. Qui est fondé sur l’arithmétique, qui est relatif à l’arithmétique : Opération arithmétique.

— Machine arithmétique » Instrument avec lequel on peut exécuter mécaniquement les principales règles de l’arillimétique : Machine arithmétique de Pascal. Langage arithmétique, Ecriture composée de chiffres, il Echelle arithmétique. Progression géométrique par laquelle se règle la valeur relative des chiffres simples, dans un système quelconque de numération. Jiappoi-t arithmétique. Différence entre deux quantités, il Progression arithmétique. Suite de nombres tels que chacun d’eux est égal au précédent, augmenté ou diminué d’un nombre constant. Il Moyenne arithmétique de plusieurs nojnbres. Nombre que l’on obtient en faisant la somme des quantités et en divisant cette somme par le nombre des quantités.

— Gramm. Cadencé, calculé avec justesse et précision : L’antithèse AB.iTHMÈTKiUEadeuxmembres sonores. (Ch. Nod.) ARITHMÉTIQUEMEMT adv. D’une manière arithmétique, selon les règles de l’arithmétique. ARITHMÉTOGRAPHE (du gr. arithmos, nombre, et graphein, écrire) n. m. Instrument à calculer, inventé en 1860, par l’ingénieur Dubois, et au moyen duquel on ert’ectue les opérations ordinaires de l’arithmétique de la même manière qu’avec les Bâtons de Néper, dont il est une ingénieuse modification.

ARITHMOGRAPHE (du gr. arithmos, nombre, et graphein, écrire) n. m. Nom donné par Gattey, en 1810, à un instrument à calculer, qui était une simple modification de la lîègle à calculs de Gunter.

ARITHMOGRAPHIE (rad. arithmographe) n. f. Nom donné par Ampère à l’art d’exprimer par des signes conventionnels les quantités dont la composition est connue. V. ARITHMOLOGIE.

ARITHMOGRAPHIQUE adj. Qui a rapport à l’arithmo-ARITHMOLOGIE {jl — du gr. arithmos. nombre, et logos, discours, traité) n. f. Nom donné par Ampère à la science générale des nombres, de la mesure des grandeurs quelles qu’elles soient.

— Encycl. Ampère, dans sa classification des sciences, réunit l’arithmétique et l’algèbre sous le nom de arithmvlogie. Il divise ensuite l’arithmologie en arithmologie élémentaire et mégétologie (science des grandeurs), h’arithmologie élémentaire comprend l’arithmographie et l’analyse 7nathématique. L’arithmographie s’occupe des divers modes d’expression dos quantités connues ; l’analyse mathématique, de la résolution des équations, de la détermination des quantités inconnues par les relations données, auxquelles ces inconnues doivent satisfaire ; transformer les expressions des nombres est l’objet de l’arithmographie ; transformer les équations, celui de l’analyse mathématique. La mégétologie comprend la théorie des fonctions on calcul infinitésimal, et la théorie des probabilités. Dans la classification d’Ampère, l’arithmologie, la géométrie, la mécanique et l’uranologie forment, sous le nom de sciences niailiémariques, le premier embranchement des sciences. ARITHMOLOGIQUE adj. Qui a rapport à l’arithmologie ARITHMOMANGIE (du gr. arithmos, nombre, et manteia, divination) n. f. Divination qui se pratiquait au moyen des nombres. Il On dit aussi arithmancie.

— Encycl. Varithmomancie paraît avoir été inventée par les Chaldéens. C’était surtout dans la valeur numéralo des lettres d’un nom qu’ils cherchaient la révélation des événements futurs. Les Grecs eurent aussi un goût très prononcé pour ces combinaisons mystiques, surtout les philosophes pythagoriciens. Ce gont s’est conservé jusqu’à nos jours. Chez les Orientaux, certams arrangements numériques sont encore regardés coiîfmp possédant des vertus secrètes et des influences toutes-puissantes. Ainsi ces trois nombres

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disposés en carré, dont chaque colonne donne 15 pour total, dans quelque sens qu’on l’additionne, ont, selon eux, le pouvoir d’opérer des charmes, de découvrir les trésors ou les choses cachées, d’éloigner l’incendie, de préserver de tous les accidents. Cette combinaison est également vénérable et précieuse aux yeux des Juifs, parce que les deux chiffres de 15 représentent les deux premières lettres du mot Jéhovah. On en retrouve des traces chez les chrétiens, par exemple, dans le nom de la bête de l’Apocalypse, que saint Jean désigne par le nombre 666. n. Celui, celle qui

le.

ARITHMOMANE (du gr. arithmos, nombre, et métron, mesure) n. Qui a la manie du calcul : Les aritbmomanes sont presque tous issus de parents dégénérés. (Charcot.) ARITHMOMANIE (rad. arithmomane) n. f. Manie du calcul : hypermnésie des calculateurs prodiges : Z’arith-MOMASïK est lui pilé iiumè ne purement déyénératif, de l’espèce épih’ptiijuf. connnr le ijénie. (C. LombrO.SO.) ARITHMOMÉTRE du gr, arithmos, nombre, et métron, mL’buie^ u. m. Ma^lime à calculer inventée en 1818 par Thomas, de Colniar, à l’aide de laquelle on effectue avec rapidité et exactitude les opérations ordinaires de l’arithmétifj ^ue ; cette machine, améliorée par la suite, est arrivée aujourd’hui à un degré de perfection tel, que les opérations les plus compliquées peuvent être résolues en très peu de temps par les personnes les moins expérimentées. Il On donne encore quelquefois le nom de arithmométj’es à des instruments connus plus généralement sous le nom de Hègles à calcul.

ARITHMOMÉTRIE n. f. Art de faire des calculs au moyen de l’arithmomètre.

ARITHMOMÉTRIQUE adj. Qui a rapport à l’arithmolo

ARITHMOPLANIMÈTRE (du gr. arithmos, nombre ; du lat. planus, plan, et du gr. métron, mesure) n. m. Instrument à calculer, inventé en 1839 par l’ingénieur fran’ :ais Léon Lalanne, et avec lequel ou effectue facilement les opérations les plus compliquées de la géométrie et de la trigonométrie.

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ARITRILLIS {liss) n. f. Syn. de mercuriale. Arius, fameux hérésiarque, né vers l’an 280, à Alexandrie, suivant les uns (selon d’autres, dans la Cyrénaïque), mort à Constantinople en 336. Après avoir été partisan de Meletius, évoque de Lycopolis, qui causa un schisme en Egypte, il parut se repentir, et fut ordonné prêtre par Acnillas, patriarche d’Alexandrie. Il était alors dans un âge avancé, et en peu de temps sa science et ses talents rélevèrent aux plus hautes dignités. Aussi, à la mort d’AchiUas, espérait-il lui succéder ; mais l’événement trompa son attente, et, dès lors, sa jalousie ne lui laissa pas de repos qu’il n’eût trouvé un prétexte pour ruiner l’autorité de son rival Alexandre. Tel aurait été, d’après les écrivains catholiques, le motif qui porta Arius à attaquer la doctrine de l’Eglise sur la divinité du Verbe. V. arianisme. Arius, d’après le portrait qu’en a laissé saint Epiphane, était doué d’une pénétration extraordinaire et d’une vaste intelligence, fortifiée par des études incessantes ; la pllilosophie de Platon lui était famihère, et il n’ignorait aucun des secrets de la dialectique péripatéticienne. Sa taille était élevée, son maintien grave et sérieux ; la vertu et l’austérité semblaient se peindre sur son visage grave et triste.

Arivey (Pierre de L’). V. Larivey.

Arize, petite riv. de France, dép. do l’Ariè^e et de la Haute-Garonne, affl. de la Garonne, où elle se jette après avoir, dans son cours de 86 kilom., traversé la grotte fameuse du Mas-d’Azil.

Arizona, territoire de la partie S.-O. des Etats-Unis. Ce territoire est, depuis 1892, peuplé de 75.000 individus répartis sur une superficie de 292.700 kilom. carr., entre rUtah, le Nevada, le Nouveau-Mexique, l’Etat mexicain de Sonera et la Californie ; ch.-l. Phénix. Il constitue la majeure partie du Plateau du Colorado, et est très riche au point de vue minéral : l’or en pépites s’y trouve en plus grande abondance que partout ailleurs sur le territoire de l’Union ; des filons argentifères, de cuivre, de plomb ; le cliarbon, le kaolin, y existent aussi en grandes quantités. La culture a pu, grâce à l’irrigation, se développer en certains endroits de l’Arizona, mais les pâturages occupent les trois quarts de la superficie de ce territoire, jusque dans le désert du Colorado ; le gros bétail y existe en nombreux et importants troupeaux. Un grand rameau du chemin de fer Sud-Pacifique et cette ligne elle-même traversent l’Arizona, dont l’histoire est fort peu ancienne encore.

— Histoire. En 1825, des trappeurs et des chasseurs, ayant traversé les régions réputées inaccessibles des montagnes Rocheuses, pénétrèrent pour la première fois dans ce pays, sur lequel ils attirèrent l’attention. Aussi, à la suite de la guerre du Mexique, le gouvernement des Etats Unis, en dictant la paix, exigea la cession de ce territoire. Définitivement cédé, eu 1849, par le traité de Guadalupe-Hîdalgo (en même temps que la Californie et d’autres grands territoires, alors déserts, aujourd’hui cultivés et florissants), il s’agrandit en 1853, après l’acquisition faite au Mexique d’un domaine situé au S. des territoires cédés en 1849, domaine de 700 kilom. de long, sur 200 de large. L’Arizona faisait alors partie du territoire du Nouveau-Mexique ; il en fut détaché et organisé en territoire fédéral en 1863.

— BiBLioGR. : Vom Rath, Arizona (Heidelberg, 1885). ArjonA, ville d’Espagne (prov. de Jaën [Andalousie ]) ; 6.500 hab. C’est l’antique Alba Virganoensis. ARJONE n. f. Genre de santalacées, renfermant des herbes uu des sous-arbrisseaux à feuilles alternes, sessiles à fleurs en épis, et qui sont originaires de l’Amérique méridionale.

Arkansas. Etat de la partie méridionale des Etats-Unis ainsi nommé du fleuve qui le traverse de l’O. au S.-E. dans toute son étendue, en le coupant en deux parties presque égales. Cet Etat, peuplé de 1.128.180 hab. répartis sur 139.470 kil.carr., a pour capitale Little-Rock (25.875 hab.). Sa richesse minérale est grande (zinc, galène argentifère, anthracite, lignite, y abondent) ; on y trouve aussi un nombre considérable de sources minérales et thermales. Les forêts vierges de chênes, noyers, cyprès, cèdres, etc., s’y trouvent en grand nombre, sur un terrain fertile où poussent le maïs, les avoines, le coton dans l’est, les légumes, les fruits, le froment dans l’ouest. Le gibier, le poisson, le gros et le petit bétail prospèrent dans l’Arkansas, qui est un Etat surtout agricole et pastoral, dont les progrès vont chaque jour s’accentuant d’une façon remarquable. L’Arkansas est divisé en soixante-quinze comtés. Ce Says a commencé à être colonisé en 1685. date de la fonation par les Français à’Arkansas, l’un des plus anciens établissements européens, à l’O. du Mississipi. Lors de son entrée dans l’Union, en 1836, l’Arkansas ne fut d’abord représenté au congrès que par trois membres. Ce chiffre s’est progressivement élevé, par suite de la décision constitutionnelle donnant un représentant à chaque Etat pour 30.000 individus. Lors de la guerre de sécession, l’Arkansas, Etat à esclaves, a adhéré à la confédération Sud par un acte en date du 6 mai 1861. Arkansas, rivière des Etats-Unis d’Amérique, affluent du Mississipi, sorti des montagnes Rocheuses, qui arrose le Kansas, le territoire indien, et l’Arkansas. Cours, 3.470 kilom. La rivière Canadienne est son principal tribu taire (cours. 1.600 kilom.).

Arkansas, tribu indienne de l’Amérique septentrionale, qui habita les bords de la rivière du même nom, et dont les débris (200 en 1880) sont parqués dans une réserve du territoire indien.

ArkANSAS-CITY, ville des Etats-Unis (Kansas), au confluent du Whuc-Wateraveel’ArArtMSfls ; 8.350 hab. — li existe d’autres localités du même nom peu importantes, dans l’Etat d’ Arkansas.

ARKANSITE n. f. Variété de brookite (oxyde de titane ) dont les cristaux sont gris noir. Cette variété provient de l’Arkansas.

ArKHANGEL ou mieux ARKHANGELSK (gOUVEIUSement d), province administrative de la Russie d’Europe (ch.-l. Arkhangel). Ce gouvernement, un des plus étendus de l’empire des tsars, compris entre ceux de Tobolsk, de Wologda, d’Olonez. la Fmiande et la Norvège, la mer Blanche et l’océan Arctique (dans lequel est située la Nouvelle-Zemble, qui fait partie du gouvernement d’Arkhangel), m&-