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BIBLIOLOGIE

12. Exposé par les méthodes de l’Idéographie et des Symboles. — a) Selon l’ordre chronologique, les premiers symboles sont les chiffres 0, 1, 2, etc., dont l’origine est très ancienne. Suivent les symboles des opérations arithmétiques +, — (a. 1500), × (a. 1600)… les relations = (a. 1550), ) (a. 1650). les nombres e, π (a. 1700)… Pendant le dernier siècle les symboles Σ, π, lim, mod, sgn, E,… ont pénétré dans l’usage commun.

Ces symboles permettent d’exprimer complètement quelques propositions :

xxxetc.

b) En général on se sert des symboles mathématiques pour exprimer les parties d’une proposition, lesquelles doivent être accompagnées du langage ordinaire, pour former des propositions complètes.

La partie réservée au langage ordinaire, plus petite dans quelques travaux d’analyse, était encore grande dans les ouvrages géométriques. Le calcul barycentrique de Möbius, la science de l’extension de Grassmann, les quaternions de Hamilton, pour ne citer que les théories principales, permettent maintenant d’opérer sur les objets géométriques comme on opère en algèbre sur les nombres.

c) La logique mathématique à son tour étudie les propriétés des opérations et des relations logiques qu’elle indique par des symboles.

La logique mathématique a été successivement développée par Leibnitz, Lambert, Boole, de Morgan (1850), Schröder (1877), Mc Coll (1878), Bertrand Russel. On peut en retrouver des germes jusque chez Aristote.

d) Peano a créé une idéographie qui résulte de la combinaison des symboles logiques avec les algébriques.[1] Il a écrit entièrement en symboles quelques théories mathématiques et certains auteurs l’ont suivi. Ailleurs on s’en est tenu seulement pour énoncer sous forme plus claire des théorèmes. En général cette idéographie est considérée par ses créateurs comme l’instrument indispensable pour analyser les principes de l’arithmétique et de la géométrie, et pour y démêler les idées primitives, les dérivés, les définitions, les axiomes et les théorèmes. On s’est aussi servi pour construire de longues suites de raisonnement, presque inabordable par le langage ordinaire.

Peano a essayé de réunir en un seul volume les propositions écrites entièrement en symboles et qu’il appelle « formules ». C’est son « Formulaire de Mathématique » dont il a donné trois éditions successives (t. I, en 1892-1895 ; t. II, en 1897-1899 ; t. III en 1901), Ce dernier comporte 230 p. Il est le fruit d’une précieuse collaboration avec divers savants, et contient quantité d’indications historiques et bibliographiques. Le Formulaire est toujours en construction, tous les développements étant continuellement publiées dans la Revue de Mathématique.

Les termes du langage mathématique connus remontent à plusieurs milliers. Il s’est accru pendant les siècles. Il était de 1,000 environ sous Archimède, et arrive à 17,000 dans le vocabulaire publié par M. Muller en 1900, sans compter les noms appartenant à la Logique. Il ne convient point, dit Peano, d’ériger tous ces mots en symboles ; il les a exprimés par environ 100 symboles.

Dans le langage ordinaire, on a plusieurs formes pour représenter une même idée indiquée dans le formulaire par un symbole unique et chaque symbole a un nom. Mais on lit les symboles et les ensembles de symboles, sous une forme qui s’approche du langage ordinaire. Un peu d’exercice permet de lire ainsi facilement les formules.

Le formulaire est divisé en §§. Chaque § a pour titre un signe idéographique. Les signes se suivent dans un ordre tel que tout signe se trouve défini par les précédents (à l’exception des idées primitives). Un § quelconque contient les propositions qu’on exprime par le signe du § et par le précédent. Ces derniers servent à classer les propositions du §. En conséquence on trouve dans le formulaire la place d’une proposition déjà écrite en symboles à peu près comme on trouve la place d’un mot dans un dictionnaire. Toute proposition est indiquée par un nombre qui a une partie entière et une partie décimale, dans le but de faciliter l’interpolation. Le signe placé devant un texte indique le changement de la partie entière.

e) Des efforts devraient être tentés dans d’autres sciences que les mathématiques, pour y introduire l’idéographie et parallèlement d’autres exposés précités ainsi celui à la manière du Formulaire des Mathématiques. On conçoit l’utilité qu’il y aurait à traiter ainsi notamment les sciences, la sociologie, aujourd’hui champ de bataille dans toutes les directions.

Il n’est pas inutile de rappeler ici cette pensée de


    mêle dans des poèmes amorphes où, à travers des obscurités laborieuses, passaient, çà et là, des éclairs de génie.
    xxxxxh) Certains auteurs dispersent à travers tous leurs ouvrages sous forme de réflexions éparses ou mélangées à d’autres faits, leurs idées qui, si elles étaient condensées didactiquement en un chapitre spécial, dessineraient avec forme leur conception. Le lecteur par suite est obligé de reconstituer lui-même la théorie et de relire ensuite l’ouvrage inspiré par cette théorie. Il y a là une commodité de lecture à réaliser.

  1. Peano a imaginé que toute théorie soit redite en symbole. Cela, dit-il, exige une analyse profonde des idées qui figurent dans cette branche ; avec les symboles, on ne peut pas représenter des idées non précises. Il condense toutes les idées et proportions diverses, grâce à cette notation. Il réalise un formulaire classé dont chaque proposition est exprimée par une formule. Il classe les propositions dans l’ordre de combinaison en suivant l’ordre de série des symboles. Il donne aux propositions un numéro décimal pour permettre les interpolations.