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Les $\mathrm {P}$ que j’emploie étaient presque toutes connues et je les ai déjà énoncées (toutefois avec quelques modifications que j’y ai introduites en vue du but actuel, que je m’étais proposé dès le commencement) ; c’est que, dans les questions de ce genre, plus que de découvrir de nouvelles P, il s’agit de découvrir de nouveaux liens entre les $\mathrm {P}$ connues.

128. Par la $\mathrm {P}$ 68 :
$a\supset b\,.=\,.\,a\smallfrown b=a$ (I)

on définit le symbole « $\supset$ ». Comme je suppose connue la signification du signe « $\smallfrown$ » dans ses deux rôles, à savoir d’intersection et d’affirmation simultanée, le signe « $\supset$ » résulte aussi défini dans ses deux rôles d’inclusion et d’implication^[1].

On remarquera qu’il n’est pas même nécessaire d’apprendre à lire la formule qu’on définit ; car de sa signification (c’est-à-dire de la formule définissante) n’importe qui est amené à trouver la lecture la plus à propos.

En effet, dans les explications préalables (dont j’ai touché un mot^[1]), on aura eu soin d’éclaircir les concepts de classe et de condition, en ajoutant que le signe « $\smallfrown$ » sera employé seulement entre deux classes ou entre deux conditions, et de préciser quelle est la nouvelle classe ou la nouvelle condition qui en résulte.

Il s’ensuivra ainsi que :

1) si a et b sont des classes, on n’aura « $a\smallfrown b=a$ » que lorsque

↑ ^a^et^b Dans le Formulaire on trouve la (I) sous la forme
$a,b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,:\,\supset \,:\,a\supset b\,.=\,.\,a\smallfrown b=a$

Or, puisque le signe « $\supset$ » d’implication y est employé comme lien entre l’ $\mathrm {Hp}$ et la $\mathrm {Ts}$ , celle-ci pourrait définir le signe « $\supset$ » seulement dans le rôle d’inclusion ; mais, tandis que moi, pour le définir en même temps dans ses deux rôles, j’emploie seulement les 2 symboles « $=\ \supset$ », ici il faudrait employer les 6 symboles « $=\,\smallfrown \,,\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,\supset$ » (dont le « $\smallfrown$ » dans le premier rôle et le « $\supset$ » dans le second).
On voit par là comme une petite modification peut avoir des conséquences très importantes.
Mais on pourrait me demander si la suppression de l’ $\mathrm {Hp}$ ne peut produire des ambiguïtés ; et je répondrais que non. En effet, d’abord il faudra expliquer (d’une manière empirique et par suite en ayant recours à des exemples, à des figures et même à des concepts qu’après on définira) la signification des symboles par lesquels on entend commencer, et à cette occasion on devra distinguer et préciser les deux rôles du signe « $\smallfrown$ », et déclarer qu’il n’en aura pas d’autres. Par suite, — comme la Df (définition) I dit simplement que, partout où l’on rencontrera une des écritures « $a\smallfrown b=a$ » et « $a\supset b$ », on pourra les remplacer l’une par l’autre, — il résulte (sans aucune $\mathrm {Hp}$ ) que la nouvelle écriture à aussi deux rôles, bien distingués et bien précises, et qu’elle n’en aura pas d’autres.

[p103-1] t^b Dans le Formulaire on trouve la (I) sous la forme
$a,b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,:\,\supset \,:\,a\supset b\,.=\,.\,a\smallfrown b=a$

Or, puisque le signe « $\supset$ » d’implication y est employé comme lien entre l’ $\mathrm {Hp}$ et la $\mathrm {Ts}$ , celle-ci pourrait définir le signe « $\supset$ » seulement dans le rôle d’inclusion ; mais, tandis que moi, pour le définir en même temps dans ses deux rôles, j’emploie seulement les 2 symboles « $=\ \supset$ », ici il faudrait employer les 6 symboles « $=\,\smallfrown \,,\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,\supset$ » (dont le « $\smallfrown$ » dans le premier rôle et le « $\supset$ » dans le second).
On voit par là comme une petite modification peut avoir des conséquences très importantes.
Mais on pourrait me demander si la suppression de l’ $\mathrm {Hp}$ ne peut produire des ambiguïtés ; et je répondrais que non. En effet, d’abord il faudra expliquer (d’une manière empirique et par suite en ayant recours à des exemples, à des figures et même à des concepts qu’après on définira) la signification des symboles par lesquels on entend commencer, et à cette occasion on devra distinguer et préciser les deux rôles du signe « $\smallfrown$ », et déclarer qu’il n’en aura pas d’autres. Par suite, — comme la Df (définition) I dit simplement que, partout où l’on rencontrera une des écritures « $a\smallfrown b=a$ » et « $a\supset b$ », on pourra les remplacer l’une par l’autre, — il résulte (sans aucune $\mathrm {Hp}$ ) que la nouvelle écriture à aussi deux rôles, bien distingués et bien précises, et qu’elle n’en aura pas d’autres.

[1]