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hypothèses cosmogoniques

Les seconds membres des formules (20^bis), dans lesquels on ne conserve que les termes constants indépendants de $t$, deviennent donc

${\begin{aligned}-\sum \mathrm {AA} '{\frac {\sin 2\varepsilon }{4}}&\beta '\iint \mathrm {XX} '\,d\sigma ,\\[0.5ex]-\sum \mathrm {AA} '{\frac {\sin 2\varepsilon }{4}}&(\gamma '+\beta ')\iint \mathrm {XX} '\,d\sigma ,\\[0.5ex]\sum \mathrm {AA} '{\frac {\sin 2\varepsilon }{4}}&\alpha '\iint \mathrm {XX} '\,d\sigma ,\end{aligned}}$

Nous pouvons maintenant effacer les accents « prime » devenus inutiles, puisque tout se rapporte au même astre, la Lune. Nous remarquons que le facteur

$-{\frac {1}{4}}\iint \mathrm {X} ^{2}\,d\sigma$

est le même pour tous les termes, puisque nous avons eu soin de choisir les fonctions sphériques $\mathrm {X}$ de façon que cette intégrale ait toujours la même valeur constante $\mathrm {K}$ (note de la p. 151). Nous n’écrivons donc pas ce facteur, qui est le même partout (quitte à le rétablir plus tard), et les formules (20^bis) prennent la forme

(20ter)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {d\mathrm {W} }{d(l-\varpi )}}&={}&&\sum \mathrm {A} ^{2}\beta \sin 2\varepsilon ,\\[0.5ex]{\frac {d\mathrm {W} }{d\varpi }}&={}&&\sum \mathrm {A} ^{2}(\gamma +\beta )\sin 2\varepsilon ,\\[0.5ex]{\frac {d\mathrm {W} }{d(-\chi )}}&={}&-&\sum \mathrm {A} ^{2}\alpha \sin 2\varepsilon .\end{alignedat}}\right.$

Rappelons-nous que l’angle $\varepsilon$ est très petit et que par suite $\sin 2\varepsilon$ est proportionnel à $\operatorname {tang} \varepsilon$, c’est-à-dire à la vitesse de la marée ${\frac {d\theta }{dt}}$. Or,

${\frac {d\theta }{dt}}=\alpha {\frac {d\chi }{dt}}+\beta {\frac {dl}{dt}}+\gamma {\frac {d\varpi }{dt}},$

et l’on a

$\,{\frac {d\chi }{dt}}=n$		vitesse angulaire de rotation de la Terre.
$\,{\frac {dl}{dt}}\;=\Omega$		vitesse angulaire de rotation de la Lune.
${\frac {d\varpi }{dt}}=0$		à très peu près.