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hypothèses cosmogoniques

Les angles $i$ et $j$ étant supposés petits, ces équations s’écrivent approximativement

(26)

$\left\{{\begin{aligned}\xi +n&=h,\\[0.5ex]jn&=i\xi .\end{aligned}}\right.$

Ces équations nous serviront à calculer les variations des éléments terrestres $n$ et $j,$ puisque les variations des éléments lunaires $\xi$ et $i$ sont données par les équations (25). Nous aurons d’abord

(27)

${\frac {dn}{dt}}=-{\frac {d\xi }{dt}}=-k(n-\Omega ).$

Ensuite, puisque nous appelons maintenant $j+i,$ ce qui, dans les équations (25), est désigné simplement par $i,$ nous devons, dans la troisième équation (25), remplacer $i$ par $j+i$ ($di$ n’étant pas changé) ; cette équation devient

(28)

$\xi \,{\frac {di}{dt}}=-{\frac {kn}{2}}(i+j).$

Alors la seconde équation (26) donne

$j{\frac {dn}{dt}}+n{\frac {dj}{dt}}=i{\frac {d\xi }{dt}}+\xi {\frac {di}{dt}},$

d’où nous tirons

(29)

$n{\frac {dj}{dt}}={\frac {k}{2}}(i+j)(n-2\Omega ).$

118.Réunissons dans un tableau les deux premières équations (25) et les équations (27), (28) et (29) :

(30)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&=k(n-\Omega ),\\[0.75ex]{\frac {dn}{dt}}&=-k(n-\Omega ),\\[0.75ex]{\frac {de}{dt}}&={\frac {ke}{2\xi }}(11n-18\Omega ),\\[0.75ex]{\frac {di}{dt}}&=-{\frac {kn}{2\xi }}(i+j),\\[0.75ex]{\frac {dj}{dt}}&={\frac {k}{2n}}(i+j)(n-2\Omega ).\end{aligned}}\right.$

C’est de ces équations que nous allons tirer les variations des éléments.