dans les notions réelles, complexes et synthétiques, et que l’on travaille sur ces fragments d’idées, si l’on peut dire. L’œuvre du génie sera souvent de rapprocher les uns des autres ces fragments qu’on avait séparés.
Rappelons, pour illustrer notre pensée, un exemple, presque banal. On a pu longtemps considérer comme deux sciences distinctes, l’algèbre et la géométrie. Mais Descartes u montré qu’il y avait des liens intimes entre ces domaines, et il a indiqué le parti immense que l’on pouvait tirer de leur rapprochement. Nous allons donc étudier séparément des théories qui tantôt se sont développées indépendamment les unes des autres, tantôt ont interféré. Il sera à peu prés impossible, pour les raisons que nous venons de développer, d’élever des cloisons étanches entre ces différents ordres de recherches.
Par une circonstance qui n’est nullement fortuite, mais qui tient au contraire à la nature des choses, les théories nouvelles allaient fournir un puissant instrument de calcul pour la physique mathématique. C’est qu’en effet découvrir des principes théoriques féconds n’est pas autre chose que saisir pour nos calculs des directions qui coïncident avec les lignes de structure du réel. La merveilleuse facilité avec laquelle l’équation intégrale de Fredholm s’est appliquée au problème de Dirichlet, problème type d’une classe considérable de problèmes de physique, les problèmes elliptiques, n’est qu’une illustration de ce fait. Volterra, Hadamard, et d’autres mathématiciens, devaient utiliser les méthodes nouvelles dans diverses branches de la mécanique et de la physique’. Ces applications nombreuses témoignent de la fécondité des idées nouvelles ; elles constituent, en quelque sorte, la garantie de leur « objectivité ». De ces applications à la physique, nous ne nous occuperons pas ; il nous suffit, pour le moment, de savoir qu’elles sont nombreuses et importantes.
Quelles sont les origines de cet ensemble de théories qu’on appelle aujourd’hui le calcul fonctionnel ? Quelles sont les idées fondamentales de cette doctrine mathématique ? Telles sont, en nous plaçant uniquement au point de vue théorique, et dans l’esprit que nous avons caractérisé, les questions que nous voudrions résoudre.
I. Voir Heywood et Fréchet, L’Équation de Fredholm et .9^ applications à la physique wathemnta,ue, 1912, et Kneser. Die Intefjvalgleichunyen and ihre Anwendutn/en in der mathematischen Physik, 1911.
