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tions abéliennes : l’étude de ces fonctions plus générales, indépendantes des intégrales abéliennes ; et d’autre part, la recherche des caractères par lesquels les fonctions Θ spéciales se distinguent des premières.

Certaines de ces questions avaient déjà préoccupé Weierstrass. Mais c’est à Poincaré que l’on doit les fondements d’une solution qui laisse d’ailleurs la voie encore ouverte à des recherches nombreuses, et sans doute difficiles.


3. Arithmétique. Ensembles. Groupes continus.


Après avoir ainsi trop rapidement énuméré quelques points saillants de l’œuvre de Poincaré dans le domaine de la théorie des fonctions, disons quelques mots de trois doctrines que l’on peut plus ou moins légitimement rattacher à la précédente.

L’Arithmétique d’abord. C’est surtout grâce à Poincaré, — et aussi à MM. Jordan et Picard — que la tradition d’Hermite à cet égard ne fut pas perdue dans notre pays. Nous avons dit que de cette tradition procèdent des notes presque contemporaines de la Thèse dont nous avons parlé en commençant. Poincaré transporte dès cette époque les méthodes d’Hermite au cas le plus général des formes de degré quelconque à un nombre quelconque de variables.

Nul domaine où ces généralisations soient plus difficiles que celui de l’Arithmétique qui nous occupe en ce moment. La discontinuité qui en fait le caractère essentiel s’y révèle en quelque sorte au point de vue logique par celle qui sépare souvent les notions destinées à jouer un même rôle, en ne les laissant se rattacher les unes aux autres que par un fil ténu. En lisant les notes dans lesquelles Poincaré traite ainsi les notions de genre et d’ordre d’une forme, on se convaincra à quel point de telles analogies sont difficiles à saisir.

Poincaré sut les rendre claires et évidentes et par conséquent, là comme ailleurs, introduire la simplicité et la cohésion là où semblait devoir régner l’artifice. C’est ce qui apparaît encore à un haut degré dans ses recherches sur la réduction des formes et aussi dans celles qui sont consacrées aux invariants arithmétiques.

Ce sont aussi ces dernières qui, dans son œuvre et dès le commencement de celle-ci, établissent un lien entre l’Arithmétique et la Théorie des fonctions. C’est, on le sait, un titre de gloire de quelques-uns des plus grands mathématiciens du XIXe siècle — de