Dirichlet, de Riemann, d’Hermite entre autres — que d’avoir su éclairer l’Arithmétique à l’aide de l’analyse du continu qui semblait, au premier abord ne devoir jamais y pénétrer.
C’est une alliance de cette espèce que Poincaré réussit à son tour à établir, et sous deux formes différentes.
Dans les deux cas, c’est aux fonctions fuchsiennes que les nouvelles notions arithmétiques se trouvent ainsi finalement rattachées ; et là encore, l’intervention de la géométrie non euclidienne, comme intermédiaire entre une question de théorie des fonctions et une question arithmétique, est à signaler.
D’autre part, vers le même temps où Poincaré se révélait, deux théories générales nouvelles sont venues modifier la marche de la science : la théorie des groupes continus de S. Lie et celle des ensembles de Cantor.
L’une et l’autre ne pouvaient manquer de recevoir de Poincaré d’importantes contributions.
La première lui doit, non seulement une étude nouvelle de ses principes, mais une de ses applications les plus remarquables et les plus inattendues, celle qui est relative aux quantités complexes en général, c’est-à-dire aux diverses généralisations que, après Hamilton, Grassmann et d’autres, on peut essayer de donner à la théorie des imaginaires. Poincaré montre que ce problème se ramène entièrement à l’étude et à la discussion de certains groupes continus linéaires.
La théorie de Lie intervient d’ailleurs dans plusieurs autres travaux de Poincaré : elle joue par exemple, un rôle essentiel dans ses recherches mentionnées plus haut sur la représentation conforme et les fonctions de deux variables.
L’histoire des relations de Poincaré avec la théorie des ensembles est plus curieuse. Il l’appliqua avant même qu’elle fut née, en en devinant et en introduisant par avance un résultat inattendu. L’un des phénomènes les plus remarquables de cette théorie, l’existence d’ensembles parfaits non continus, est, en effet, une conséquence de
la théorie des fonctions fuchsiennes : ces ensembles apparaissent toutes les fois que la fonction fuchsienne considérée est prolon-
