ainsi appliquée d’une façon toute nouvelle à celle des équations différentielles.
C’est faute d’intégrales en nombre suffisant que la mécanique céleste a dû procéder par approximations successives. Comme nous entendons nous borner ici au point de vue de l’analyse pure, nous n’insisterons pas sur les objections adressées par Poincaré à ces méthodes (particulièrement aux méthodes récentes) sinon pour rappeler comment on est ainsi ramené à la question même qui est traitée à la fin du dernier mémoire Sur les courbes définies par les équations différentielles.
Indépendamment du calcul des positions des astres, pendant un temps plus ou moins long, — problème qui, au sens indiqué plus haut (p. 504) est un problème quantitatif — la mécanique céleste a également en vue l’étude qualitative de leur mouvement. C’est de ce dernier point de vue, en effet, que relève la question de la stabilité du système solaire, c’est-à-dire la question de savoir si, au cours des siècles, les dimensions des orbites planétaires varieront peu ou si, au contraire, ces orbites n’iront pas soit se perdre à l’infini, soit se précipiter sur le soleil.
Pour résoudre cette question, de nouvelles formes ont été, au XIXe siècle, données aux développements en séries destinées à représenter le mouvement.
Or ces séries (particulièrement celles de Lindstedt) sont tout analogues à celles que forme Poincaré dans le mémoire dont nous avons parlé.
Celles-ci comme celles-là ont bien la forme quelles doivent avoir pour mettre en évidence la stabilité. Mais, pour les unes comme pour les autres, la convergence reste douteuse au premier abord.
Non seulement Poincaré constate que les séries de Lindstedt sont divergentes ; mais — et cette paradoxale découverte remonte, nous l’avons dit, aux premières années de son labeur, — il montre que la convergence même des séries de cette nature ne permettrait pas, à elle seule, d’affirmer la conclusion demandée.
Disons tout de suite, d’ailleurs, qu’ici les conclusions de Poincaré ne furent pas purement négatives. S’il constate la divergence des séries en question, c’est lui qui a montré pourquoi elles peuvent être néanmoins utiles et dans quelles conditions on pouvait en faire un usage légitime.
