L’emploi des miroirs n’est pas le seul perfectionnement dont la géodésie pratique ait à s’applaudir. C’est un axiome en mécanique qu’un bon instrument ne doit servir qu’à un seul usage ; aussi le cercle azimuthal a-t-il remplacé le théodolite. Celui-ci pouvait mesurer à la fois des angles horizontaux et des angles verticaux. Le cercle azimuthal, comme l’indique son nom, ne mesure que des angles horizontaux. Ce cercle est divisé en 400 parties égales appelées grades, divisées elles-mêmes en 10 parties valant chacune dix minutes centésimales. Les cercles de Méchain et de Delarabre ne donnaient à la lecture que la minute ou 1/40 000e de la circonférence ; dans les cercles azimuthaux modernes, on estime directement deux secondes ou 1/2 000 000e de la circonférence. Or on comprend que, dans un angle dont les côtés ont 30 kilomètres de longueur par exemple, la plus petite erreur dans la mesure de cet angle devienne considérable, transportée à l’extrémité de ces côtés. Ainsi une erreur d’une minute centésimale, première approximation de la lecture pour Delambre, transportée à 30 kilomètres, équivaut à 4m,71. Aujourd’hui cette erreur de deux secondes, la plus grande possible, correspond à une longueur de 9 millimètres seulement ; c’est encore trop, mais l’erreur est 523 fois moindre qu’à la fin du siècle dernier. La substitution du miroir à la mire a un autre avantage : elle rend la visée plus précise. En effet, la lunette porte à l’intérieur deux fils doubles disposés en croix ; ces quatre fils, par leur intersection au centre de l’objectif, forment un petit carré. Le miroir, semblable à une étoile, se trouve placé au milieu de ce carré ; si l’étoile paraît immobile, on est assuré que la réfraction atmosphérique est nulle ou presque nulle ; dans le cas contraire, l’image ne serait pas fixe, elle oscillerait ou se déplacerait, et le géodésien, averti, attendrait un moment plus favorable pour continuer ses observations. Biot avait coutume de dire : Le devoir de l’astronome est d’exiger du constructeur un instrument aussi parfait que possible. Le cercle doit être un cercle parfait, la graduation en 360 degrés ou 400 grades sera exécutée avec les soins les plus minutieux, afin que les divisions soient rigoureusement égales entre elles et séparées par des traits d’une finesse extrême, visibles seulement au microscope. L’instrument achevé et vérifié, on suppose que le cercle est mal centré, mal divisé, que les degrés ne sont pas égaux entre eux, et l’on s’applique à corriger ces erreurs. — Borda avait imaginé le cercle répétiteur, qui porte son nom. Ce cercle est muni de deux lunettes placées l’une au-dessus, l’autre au-dessous, et, pour obtenir un angle, on faisait tourner alternativement le cercle et les lunettes, de manière à mesurer cet angle sur tout le pourtour de la circonférence du cercle
