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p. tannery. — l’hypothèse géométrique de platon

excès) ont la même hauteur qui est l’inconnue à construire ; la somme ou la différence de leurs bases est la ligne donnée^[1].

Soit A la surface à παραβάλλειν (ici la surface du triangle donné), $p$ la ligne donnée, le paramètre (ici la base du triangle, παρὰ τὴν δοθεῖσαν αὐτοῦ γραμμὴν, $m$ le rapport donné de la base à la hauteur du rectangle en défaut (ἔλλειμα), $x$ la hauteur commune, l’équation qui traduit analytiquement pour nous la construction euclidienne dans le cas de l’ἔλλειψις, est :

$\textstyle px-mx^{2}=A$^[2].

Si nous voulons appliquer ce langage à l’interprétation du passage de Platon, il faut d’abord supposer l’ἔλλειμα carré ; c’est-à-dire $m=1$.

Si nous désignons par $h$ la hauteur du triangle abaissée sur la base $p$, en remarquant que la surface du triangle $\textstyle A={\frac {ph}{2}}$ ; la condition énoncée par Platon, que ἔλλεμμα, $\textstyle mx^{2}$, soit égal à A, deviendra :

$x=h={\frac {p}{2}},$

c’est-à-dire que la hauteur du triangle donné est égale à la moitié de la base.

Il est clair que cette condition n’est ni nécessaire, ni suffisante pour l’inscription du triangle dans un cercle donné. Il doit donc y avoir une condition sous-entendue relative à ce cercle.

La plus simple est qu’il soit décrit sur la base comme diamètre ; mais elle ne suffit pas, il faut encore admettre soit que le triangle est isocèle, soit qu’il est rectangle. De l’une quelconque de ces conditions et de celle exprimée on déduira l’autre.

Il est difficile de croire que Platon ait supposé le triangle isocèle sans le dire. Mais si le triangle est rectangle et le cercle décrit sur la base comme diamètre, l’inscription est toujours possible et la seule condition exprimée d’une manière aussi diffuse est inutile.

Reste à supposer que Platon ait regardé le triangle comme donné de surface seulement, non d’espèce, et que le problème soit en réalité d’inscrire dans un cercle décrit sur la base comme diamètre, un triangle dont on connaît, outre la base, la hauteur. Alors la condition qu’il exprime serait celle du maximum que peut atteindre la hauteur et au-delà duquel le problème n’est plus possible. Si c’est là le sens véritable qu’il attachait à ses paroles, il faut reconnaître qu’il s’est exprimé d’une manière aussi défectueuse qu’obscure.

IV. Nous ne prétendons, pour notre part, que proposer une conjecture. Elle souffre elle-même, il est vrai, une difficulté réelle ; mais elle

1. Le problème revient à construire géométriquement une racine d’une équation complète du second degré ; c’est d’ailleurs des termes employés à ce sujet que sont venus les noms de parabole, d’ellipse et d’hyperbole, donnés longtemps après aux sections coniques.
2. Dans le cas de ὑπερβολὴ, elle serait : $px+mx^{2}=A$.