438 REVl)E PHILOSOPHIQUE
lement ; sans quoi l'équation ST' = S'P' est illusoire. Or il est facile de voir que cette hypothèse est erronée. » Je ne sais pas si cela est clair, et je me demande encore ce qu'au juste M. Tannery veut dire. Sans doute l'hypothèse que, si SP existe, S'P' existerait également est erronée, mais pas n'était besoin d'une démonstration à cet égard : le cas a été prévu et discuté, prop. 51, fig. 9, p. 559, et même je signale, rem, 10 et 12, et note p. 561 et 562, la concordance entre les trois pro- positions énoncées par M. Tannery, et je l'exprime, rem. 12, [es) p. 564, en me servant, pour ainsi dire, de termes identiques à ceux de mon savant contradicteur.
Il est juste de reconnaître que les théorèmes 29 et 30 précèdent la discussion, et il s'agit maintenant de voir si ces théorèmes, dans leur généralité, souffrent une exception résultant de cette discussion même, en d'autres termes, si, comme cela se fait en mathématiques quand la discussion amène un symbole nouveau (quantités négatives, irration- nelles, imaginaires, etc.) je n'aurais pas dû revenir sur les propositions antérieures. Or je ne pense pas qu'ici il ait dû en être ainsi : la dé- monstration de ces théorèmes n'a pas lieu d'être modifiée pour le cas de S'P' = 0, et je ne vois nullement que cette dernière supposition entraîne une « exception notable. »
Voici ce qui a trompé M. Tannery. Il n'a pas vu que dans toute mon œuvre j'ai évité d'arriver à des concepts à forme négative tels que — S ou — SP. Analytiquement j'aurais pu le faire, et les théorèmes 42 à 45 m'y invitaient. Mais je redoutais, en inaugurant une pîireille matière, d'a- voir recours à des symboles non immédiatement interprétables, et c'est pourquoi, rem. 9, p. 560, j'ai insisté sur ce point que ces dernières propositions ne sont applicables qu'aux concepts doubles x et y c dont le rôle est bien déterminé dans l'équation du jugement. » Or, quel est ce rôle? c'est (31, 8, 9) que le concept SP représente ce qui est commun à S et à P et fait, par conséquent, partie de S et de P, ou que, tout au plus, il est égal à l'un ou à l'autre. Gela étant, on le voit sans peine, dans la supposition que S'P' =: (voir fig. 9, p. 559) l'équation S' — S'P = P' — SP/ présente ceci de partkîulier que S'P = S' et que SP' = P', et qu'ainsi elle revient à S' — S' = P' — P' (atialytiquement = 0) et, par conséquent, à S'P' = S'P' (cf. 52 et rem. 9 ad fin.) L'exception signalée par M. Tannery n'est donc qu'un cas particulier qui a été exa- miné. Après cela, j'aurais peut-être bien fait, à la suite des théo- rèmes 29 et 30 ainsi que 39 et 40, de renvoyer à la discussion.
J'en aurai plutôt fini avec le second point touché par M. Tannery. Il prétend donner « un exemple palpable des erreurs auxquelles peut conduire l'application de mes théorèmes i> et il dit que tirer de la pro- position : quelqu' irrationnel est croyable (R' — v' = G — t') la propo- sition : quelque rationnel est incroyable (R — . t' = G' — v') c'est faire une « déduction qui n'est certainement pas légitime. > Oui, d'après la logique usuelle qui n'a fait aucune distinction dans les jugements parti- culiers {rem, 10, p. 561). Mais dans l'algorithmie qui, par sa nature, est
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