Sous les mêmes conditions que précédemment, toujours pour des êtres superficiels ne pouvant faire le tour suivant un parallèle et ne pouvant arriver aux arêtes de rebroussement, une ligne géodésique paraîtrait toujours unique entre deux points donnés quelconques i ;
���Fig. 2.
le postulatum admis reviendrait à celui de Lobatchefski pour le plan, que par un point donné on peut toujours mener deux parallèles à une ligne géodésique donnée ; et la géométrie de la surface serait identique à la planimétrie non euclidienne, si elle était dénommée plan et les lignes géodésiques droites.
Beltrami appelle pseudo-sphériques les surfaces à courbure négative constante; mais il faut bien faire attention qu’elles sont les analogues non pas de la sphère, mais des surfaces à courbure positive constante autres que la sphère. Il est clair en effet, d’après ce que nous avons dit, que l’égalité de courbure dans toutes les directions et à tous les points ne peut exister pour les surfaces à courbure négative puisque le maximum et le minimum des courbures des sections normales sont de signe contraire. Cette égalité ne peut exister que pour le plan, où toutes ces courbures sont nulles, et pour la sphère, lorsque le maximum et le minimum de même signe étant égaux entre eux, il en résulte l’identité de toutes les courbures intermédiaires. Il n’y a donc pas d’analogie géométrique possible ; il ne peut y en avoir qu’analytiquement en supposant imaginaire le rayon de la sphère ; l’expression de la courbure 1/R2 devient alors négative ; mais la surface est elle-même imaginaire, et ne peut pour nous représenter rien de réel en dehors de la relation analytique elle-même .
Beltrami a également démontré que si on pouvait donner, sous les
1 . Il est clair qu’au contraire en réalité, sur toute surface de révolution il y a deux lignes géodésiques minima entre deux points situés sur deux méridiennes opposées ; or dans le cas du cylindre, par exemple, on peut supposer que la surface soit indéfiniment développée sur un plan, et la difficulté disparaît ; mais pour les surfaces à courbure négative constante, si l’on peut supposer idéalement un développement analogue, il n’y a pas de surface réelle sur laquelle il puisse être conçu comme complètement opéré.
