face, deux points sur cette dernière. Les deux points donnés ont avec ces deux autres points un certain rapport anharmonique[1], et le logarithme de ce rapport anharmonique, multiplié par une constante arbitraire , sera dit la distance des deux points donnés. »
L’angle est défini d’une façon analogue. Ainsi le point de départ consiste à admettre que la droite joignant deux points de l’espace réel représentera symboliquement la ligne minima entre deux points de l’espace idéal. C’est en fait la longueur de cette ligne représentée qui est définie.
« D’après ces définitions, les points de la surface fondamentale sont à une distance infinie de tous les autres points ; la surface fondamentale est donc le lieu des points infiniment éloignés.
« De cette détermination métrique générale, résulte en passant à la limite une géométrie métrique de même nature que la géométrie parabolique ordinaire, lorsque la surface fondamentale du second degré se change en une section conique imaginaire. Si en particulier, cette conique est le cercle imaginaire à l’infini, on obtient précisément la géométrique métrique ordinaire.
« On parvient à une géométrie métrique correspondante à la géométrie elliptique[2] en prenant une surface fondamentale imaginaire ; alors il est clair qu’aucune ligne droite n’a de points à l’infini ; en sorte que la droite est comme une courbe fermée de longueur finie.
« On obtient une géométrie correspondante à la géométrie hyperbolique[3], en prenant une surface fondamentale, réelle et non réglée[4] et en ayant égard aux points situés à son intérieur. »
Jadis, dans l’antique Eriène, si l’on en croit M. Max Müller, à chaque nouvelle métaphore, nos ancêtres créaient un dieu nouveau ; aujourd’hui leurs petits-fils emploient consciemment un procédé analogue ; à côté des êtres réels que la science étudie, leur langage multiplie des êtres entièrement fictifs, auxquels il prête les relations des premiers. Mais il ne faut pas en tout cas que l’illusion aille jusqu’à les traiter sur le même pied.
On a dit : « La sphère réelle du géomètre n’existe pas dans la nature ; elle n’existe pas plus que la ligne droite ou le point mathématique ; ce sont là des notions purement subjectives, qui n’ont, hors de nous, aucune vérité. Dès lors la sphère imaginaire existe pour le géomètre tout autant que la réelle. Ce sont deux notions
