à une dimension homogène aux précédentes. On aura ainsi constitué la notion de la distance de l’origine à un point quelconque de la variété à n dimensions, notion d’où découlera celle de la distance entre deux points quelconques de cette variété.
La distance de l’origine à un point quelconque est une grandeur déterminée lorsqu’on connaît les coordonnées x^, ... a?«, de ce point, ou, en d’autres termes, c’est une fonction de ces coordonnées. Mais cette fonction est arbitraire; elle n’est soumise qu’à une condition, de devenir égale en valeur absolue (car elle est toujours supposée positive) à une quelconque de ces coordonnées quand toutes les autres s’annulent.
Dans notre espace par exemple, le carré de cette distance est, avec un choix convenable d’axes coordonnés i, la somme des carrés des coordonnées. Mais on pourrait avoir la quatrième puissance de la distance égale à la somme des quatrièmes puissances des coor- données, et une infinité d’autres fonctions pourraient de même satisfaire à l’unique condition exprimée. On comprend donc comment le genre défini en dernier heu, — les grandeurs continues à n dimensions mesurables avec une même unité effective, — se divise en une infinité d’espèces, dont chacune est caractérisée par la fonction qui lie aux coordonnées d’un point, la distance de ce point à l’origine.
Pour que la classification dans cet ordre d’idées soit plus naturelle, il convient d’ailleurs, comme le fait Riemann, de classer ces fonctions d’après la forme de leurs différentielles, c’est-à-dire, de la relation analytique qui lie l’élément infiniment petit de la distance aux coordonnées et à leurs éléments infiniment petits.
Prenant l’espèce où le carré de cet élément infiniment petit, lorsqu’il commence à l’origine, est égal à la somme des carrés des éléments infiniment petits des coordonnées, ou par un choix convenable des coordonnées peut être ramené à cette expression,
ds² = S dx² (2)
Riemann énonce que lorsque l’élément infiniment petit commence en un point quelconque pour lequel la somme des carrés des coordonnées est 2 x2, on a la relation :
ds =v^idx2~
��l+|2X^
��a est un coefficient constant pour une même variété et qui la caractérise; Riemann l’appelle courbure de la variété.
1. C’est-à-dire, lorsqu’ils sont rectangulaires.
2. ds désignant l’élément infiniment petit ou la différentielle de la distance, dx celle d’une coordonnée.
