Page:Revue philosophique de la France et de l'étranger, X.djvu/539

529

p. tannery. — l’éducation platonicienne.

« Après cette étude (celle de l’arithmétique) vient immédiatement celle que l’on nomme bien ridiculement géométrie (mesure de la terre) et qui consiste à donner à des nombres naturellement dissemblables une similitude se manifestant sous la loi des figures planes ; c’est là une merveille qui, si l’on arrive à la bien comprendre, apparaîtra clairement comme venant non pas de l’homme, mais de la divinité^[1]. »

Pour se rendre compte du sens général de cette définition, il peut suffire, comme cas particulier, de considérer un nombre non carré parfait, par conséquent dissemblable en nature à tout carré parfait. On peut cependant construire avec la règle et le compas, un carré dont la surface, par rapport à une unité carrée, représente le nombre considéré ; le côté de ce carré, rapporté au côté de l’unité de surface, représentera la racine carrée incommensurable du nombre donné.

Dans le langage classique, deux nombres plans semblables sont tels lorsqu’ils peuvent être représentés en nombres par deux rectangles semblables. Soient $N$ et $R$ deux tels nombres, $x,y$ les côtés du premier rectangle, $a,b$ ceux du second.

$N=xy,\quad R=ab,\quad {\frac {x}{y}}={\frac {a}{b}}.$

Si $a,b,N$ sont donnés, $x{\text{et}}y$ sont déterminés ; mais, pour qu’ils soient commensurables, c’est-à-dire pour que les nombres $N{\text{et}}R$ soient semblables, il faut que le rapport ${\frac {N}{R}}$ soit un carré parfait ; dans le cas contraire, ils ne sont pas semblables en nature ; mais la détermination de $x$ et $y$ n’en a pas moins lieu géométriquement avec la règle et le compas.

Ce serait trop borner la géométrie au temps de Platon, que de la restreindre, suivant ce sens strict, à des problèmes d’invention de moyenne, troisième ou quatrième proportionnelles. J’estime donc qu’il faut étendre, pour bien comprendre le texte de l’Epinomis, la notion de la similitude du rectangle correspondant à la παραβολὴ simple, aux figures plus complexes formées dans la παραβολὴ avec ἔλλειψις ou ὑπερβολὴ, et par conséquent embrasser l’ensemble des problèmes du second degré dans l’objet de la géométrie plane. Mais, en fin de compte, c’est bien toujours dans la construction géométrique de la racine carrée incommensurable qu’apparaît l’unité de la science, ce que Philippe l’Opontien relève dans un pompeux langage.

1. 990 d : Ταῦτα δὲ μαθόντι τούτοις ἐφεξῆς κ. τ. ε.