Après un rapide aperçu historique (Ch. I, pp. 12-33) sur les travaux de la nouvelle géométrie, commence leur exposition (Ch. II, pp. 34-89). Nous n’avons pas à revenir, à ce sujet, sur ceux dont nous avons déjà parlé dans la Revue, mais il convient de faire ressortir ici, avec M. Benno Erdmann, les importants résultats obtenus par Helmholtz, au point de vue de la possibilité d’une traduction, pour l’intuition, de la définition analytique de l’espace d’après Riemann[1].
Cette dernière étant : L’espace est une grandeur continue dont les éléments sont déterminés sans ambiguïté par trois variables indépendantes, et dont la courbure est constamment nulle, — on pourra dire, d’après Helmholtz : — L’espace est une variété à trois dimensions (premier axiome), congruente par rapport à elle-même (second axiome), et plane (troisième et dernier axiome).
La congruence, c’est-à-dire la possibilité du déplacement d’une figure géométrique quelconque sans altération de sa forme et de ses dimensions, est ainsi substituée, pour l’intuition, à la constance de courbure, notion analytique. Elle est définie par trois postulats intuitifs qui constituent le second axiome.
1° Il existe des corps solides, c’est-à-dire des systèmes de points liés entre eux de telle sorte que si deux de ces systèmes sont supposés coïncider en un certain lieu de l’espace, ils devront nécessairement coïncider, si on les transporte simultanément en un autre lieu quelconque de l’espace.
2° Si deux systèmes et peuvent être amenés à coïncider pour une première position de , ils peuvent être amenés à coïncider pour toute autre position de .
3° Les dimensions des corps solides ne changent pas lors d’une rotation autour d’un axe fixe.
Ces trois postulats, il faut le remarquer, sont absolument indépendants l’un de l’autre.
Quant à la planarité de l’espace, elle réclame de même deux postulats qui constituent le troisième axiome.
1° Entre deux points quelconques de l’espace, il n’y a qu’une droite de possible.
- ↑ Les publications d’Helmholtz citées par M. Benno Erdmann sont les suivantes :
Ueber die thatsächlichen Grundlagen der Géometrie. Heidelberger Jahrbücher,1868, n° 46 et 47.
Ueber die Thatsachen die der Geométrie zu Grunde liegen. Gœttinger Nachrichchten, 1868, n° 9.
Ueberr die Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome. Populäre Vorträge. Fascicule III, Brunswick, 1876.
Les deux premières sont suffisamment connues du public français par l’article d’Helmholtz inséré dans la Révue scientifique du 9 juillet 1870. La troisième a paru en anglais dans le Mind de juillet 1876 (Voir Revue philosophique, t. II, pages 317 et 446), et en français dans la Revue scientifique de cette année (1er semestre).
