Nous n’avons fait qu’une hypothèse plus ou moins plausible ; mais nous pouvons la soumettre à un critérium presque décisif. Il faut qu’elle permette d’expliquer avec une facilité suffisante, la seconde partie de la phrase obscure, celle qui a précisément fait jusqu’à présent le désespoir des commentateurs.
Nous allons traduire littéralement cette partie :
« Deux harmonies » (chacune de 2 700, comme nous le supposons), l’une également égale cent autant de fois, l’autre égale en dimensions à l’harmonie allongée de chacun des nombres des diagonales de 5, les énonçables étant chacune diminuée de 1, et les non-énonçables de 2. »
Avant de rechercher la signification précise du terme « harmonie, » nous pouvons identifier immédiatement la qualification de la première harmonie (ἴσην ἰσάκις… τοσαυτάκις) avec l’expression ἰσάκις ἴσος ἰσάκις, qui est classique chez les mathématiciens grecs, pour désigner un nombre produit de trois facteurs égaux, c’est-à-dire un cube.
Ἑκατὸν devant τοσαυτάκις indique évidemment que ce cube doit être répété cent fois. Il s’agit donc simplement ici de la construction immédiate. 100 × (3 × 3 × 3) = 2 700.
Le nombre 100, par là même qu’il est énoncé, doit être mis en dehors de « l’harmonie. »
Nous concluons dès lors facilement que Platon entend ici par ce terme, — ἁρμονία — une décomposition d’un nombre en facteurs représentant des longueurs de cordes en accord. Dans cette première décomposition, il y a trois cordes à l’unisson.
Cela était, sans aucun doute, emprunté aux théories pythagoriciennes d’alors, qu’il est aisé de reconstituer en partie.
Les Pythagoriciens admettaient comme harmoniques, à l’exclusion de tous autres, les rapports entre un nombre et son multiple, ou bien entre deux nombres différant d’une unité (λόγος ἐπιμορίος)[1].
Ces rapports harmoniques étaient d’autre part, pour eux, arithmétiquement parlant, les seuls προσήγοροι καὶ ῥητοὶ les seuls « énonçables ; » à la différence de tous autres, ils pouvaient, en effet, s’exprimer par un seul mot grec[2].
- ↑ Ἐφαρμόσαντες δὴ διὰ τοῦτου τοὺς ἐπιμορίους καὶ πολλαπλάσιους ταῖς συμφωνίαις. (Ptolémée, Harmoniques, I, 5)
- ↑ C’est un contre-sens de traduire ἀῤῥητὴ par « irrationnelle, » même après Euclide. Pour ce dernier (a étant ῥητὴ, et d’ailleurs ἀνισάκις ἄνιση, c’est-à-dire
période relative à la génération. De même en multipliant par 10 le nombre 216 (temps après lequel le fœtus est viable), on trouve 6 années de 360 jours, période qu’on peut, d’après Théon, attribuer aux Pythagoriciens, et à laquelle on peut supposer que Platon aurait fait une vague allusion.
