Il n’y avait dès lors pour l’école, comme décomposition en deux facteurs, pour les nombres plans, que trois harmonies possibles :
1o Ἁρμονία ἰσάκις ἴση, si le nombre était carré parfait.
2o Ἁρμονία ἑτερομήκης, si le nombre était de la forme n (n + 1), produit de deux facteurs différents d’une unité.
3o Ἁρμονία προμήκης, si le nombre pouvait se décomposer en deux facteurs dont l’un fût le multiple de l’autre.
En supposant l’un des facteurs égal à l’unité (ce qu’il fallait d’ailleurs toujours faire si le nombre, comme ceux que nous allons trouver, était linéaire, c’est-à-dire premier, ou vraiment plan, c’est-à-dire produit de deux facteurs premiers seulement), cette dernière décomposition était toujours possible ; dans ce cas l’autre facteur ou la longueur de « l’harmonie allongée » est la valeur même du nombre.
VIII. Il résulte de ces données que pour la seconde « harmonie » du nombre 2 700, « dont les dimensions sont égales à l’harmonie allongée de chacun des nombres des diagonales de 5, etc. », les facteurs sont les nombres représentant les diagonales eux-mêmes, après toutefois qu’on aura effectué les opérations indiquées subséquemment. Comme d’ailleurs on distingue les diagonales en « énonçables » et qu’il y en a deux au moins de chaque espèce, il y a au moins quatre facteurs.
Théon explique (I, 31) ce que sont les nombres diagonaux, et il donne le tableau suivant.
| Côtés. | Diagonales. | Double des carrés, des côtés. | Carrés des diagonales. |
1 |
1 |
2 |
1
|
2 |
3 |
8 |
9
|
5 |
7 |
50 |
49
|
12 |
17 |
288 |
289
|
29 |
41 |
1682 |
1681
|
70 |
90 |
9800 |
9801
|
169 |
239 |
57122 |
57121
|
Chaque côté se forme en ajoutant le précédent à la diagonale de celui-ci, chaque diagonale en ajoutant le côté correspondant au précédent ; de la sorte les carrés des diagonales diffèrent alternativement d’une unité en plus et en moins du double carré des côtés. Si donc sur une droite ayant pour longueur un côté quelconque du tableau ci-dessus, on construit un carré, la diagonale de ce carré, en réalité incommensurable, sera représentée approximativement par le nombre diagonal correspondant au côté choisi.
non carré parfait), quoique incommensurable avec a, est ῥητή, parce que dans le langage d’Euclide, cette ligne s’énonce facilement. L’irrationnelle est ἄλογος par exemple , qui ne satisfait pas d’ailleurs à la même condition.
