une seule. Aucun métagéomètre ne repoussera cette définition. Quelle idée va-t-on avec cela se faire de la ligne droite ? Que chacun se consulte, et il verra qu’il a besoin de faire appel à ses connaissances géométriques pour l’approuver. Il pensera, par exemple, que la circonférence est aussi déterminée par deux de ses points, si ces points sont les extrémités de son diamètre[1]. Comment devinera-t-il qu’il n’est pas ici question d’une circonférence ? Il sera surtout embarrassé par ce mot généralement qui sonne étrangement dans une définition géométrique, et qui est inspiré par un cas que présente la sphère[2].
Mais admettons qu’il finisse par se persuader que la définition — abstraction faite du mot généralement — ne convient qu’à une seule ligne, la ligne droite, il sera en droit de se demander comment, avec cette seule indication, il pourra tracer une ligne droite dont deux points sont donnés. Entre ces deux points, on ne peut en faire passer qu’une seule — cela est terriblement vague et ressemble plus’à une énigme qu’à une définition[3].
Quand j’étais à l’école primaire, le petit livre d’arithmétique que nous avions entre les mains nous offrait à résoudre ce problème à plusieurs fins : Un vaisseau transporte trente passagers, dont quinze chrétiens et quinze turcs. Une tempête survient et le capitaine décide qu’il faut alléger la charge en jetant la moitié des passagers à la mer. Il les fait ranger sur une ligne et chaque neuvième individu est précipité dans les flots. La Providence, guidant le hasard, s’arrange pour que les quinze chrétiens seuls soient épargnés. Dans quel ordre les passagers se sont-ils mis ? À cette question il n’y a qu’une réponse.
C’est un problème bien plus difficile à résoudre que nous offre la définition de la droite. Voici les deux points : où placerai-je un troisième ? quelle sera sa place parmi les places possibles ? à quel indice la reconnaître ?
Au surplus, généralisons le procédé de définition. Pour être logique, il faudra définir la circonférence une ligne telle que par trois points il n’en passe qu’une seule. La parabole suivra avec ses quatre points; puis l’ellipse et l’hyperbole avec cinq points, et ainsi
- ↑ Elle est aussi déterminée par deux points si elle est orthogonale sur un plan donné. Voir l’article souvent cité de M. Poincaré.
- ↑ Faisons remarquer que cette définition de la géodésique a un caractère général et peut s’appliquer à toute espèce de surface. Or sur un ellipsoïde à trois axes inégaux, les géodésiques qui partent des extrémités du grand axe, par exemple, sont en nombre infini et quatre par quatre toutes inégales.
- ↑ Par exemple, quel est le mot français de six lettres qui renferme les cinq voyelles ? Réponse oiseau.
