théorèmes sur lesquels il s’étend, s’appliquent aux surfaces isogènes en général, donc y compris la pseudosphère, cette surface où, comme dans le plan, les géodésiques ne se coupent qu’en un point et dont il admet l’existence d’après le théorème de M. Calinon. Mais il formule ses théorèmes, et il les démontre en ne passant aucun chaînon du raisonnement[1].
Examinons donc à la loupe son premier théorème qui vient immédiatement après les deux définitions rappelées plus haut, en tant qu’appliquées aux surfaces « à géodésiques indéfinies ».
Ma tâche est plus ardue, parce que les surfaces pseudosphériques ne se présentent pas d’elles-mêmes à l’imagination du lecteur. Qu’il veuille bien se rappeler que la plus simple des pseudosphères ressemble à un cornet en forme de fleur de liseron, s’évasant vers son ouverture qui se termine par un bord tranchant qu’on peut prolonger indéfiniment par un artifice spécial, et, du côté opposé, s’amincissant indéfiniment en un tube de plus en plus effilé qui ne se ferme jamais.
« Théorème I. — Une demi-géodésique indéfinie étant donnée sur une surface identique à elle-même, elle engendre toute cette surface en tournant autour de son origine O, et cela d’un mouvement continu sans retour sur les parties déjà engendrées. »
Observation. Traduit en langage euclidien ce théorème s’énoncerait comme suit. Une demi-droite indéfinie étant donnée sur un plan engendre tout le plan en tournant autour de son origine O, etc. Qu’est-ce que tourner ? la question est déjà assez embarrassante quand ce qui tourne est une droite et qu’elle tourne sur un plan. Elle l’est davantage quand la droite tourne, par exemple, sur un cône autour du sommet. Mais elle l’est au dernier point quand ce qui tourne est une ligne (une courbe) vague, définie comme on l’a vu plus haut ; telle serait, par exemple, la géodésique passant par un point quelconque de la surface d’un cône, fût-il de révolution. Enfin, si nous savons ce qu’est une demi-droite, savons-nous aussi bien
- ↑ Je dois à la vérité de dire que M. Lechalas, à qui j’avais communiqué l’épreuve de cet article, se défend d’avoir fait la géométrie de la pseudosphère, surface dont, dit-il, il ne parvient pas à se faire une idée satisfaisante. Ceci est conforme à ce que j’écris plus haut, au commencement du chapitre VI. Avant de livrer à l’impression cette troisième étude, dont je détiens les épreuves depuis le commencement d’avril, j’ai voulu éclaircir le malentendu. C’est ce qui explique le retard qu’elle a mis à paraître. Mais malgré une échange suivi je dirais presque de mémoires entre lui, M. Calinon et moi, la question a plutôt reculé qu’avance. Une chose cependant est restée constante, c’est que le premier théorème de M. Lechalas s’applique à la pseudosphère. De sorte que je n’ai pas eu de grands changements à faire à ma première rédaction.
