dépendante que l’on obtient à l’aide du quotient de deux solutions particulières de l’équation différentielle.
Dans le cas simple de la fonction hypergéométrique, on obtient alors la représentation conforme d’un demi-plan sur un triangle, dont les côtés sont formés par des arcs de cercle, et l’on passe ainsi d’une manière remarquable à des études qui appartiennent à la Trigonométrie sphérique. En général, il y a des cas où l’inversion est uniforme, ce qui nous donne alors accès à ces remarquables fonctions d’une variable qui, à l’instar des fonctions périodiques, se reproduisent inaltérées par l’effet de transformations linéaires en nombre infini et que j’ai désignées en conséquence par le nom de fonctions automorphes. Ces développements, dont s’occupent actuellement ceux qui prennent comme sujet d’études la théorie des fonctions, se trouvent tous d’une manière générale plus ou moins explicite dans les manuscrits laissés par Riemann, et, en particulier, surtout dans le travail sur les surfaces minima, dont j’ai déjà parlé. Je ne puis ici passer sous silence le Mémoire de Schwarz sur la série hypergéométrique et les recherches de Poincaré qui ont déblayé la voie dans la théorie des fonctions automorphes. Dans cette grande catégorie rentrent encore les études sur les fonctions modulaires elliptiques et les fonctions des corps réguliers.
Je ne puis achever le compte rendu des écrits de Riemann sur la théorie des fonctions, sans parler d’un Mémoire qui tient une place à part. C’est un Mémoire qui renferme d’intéressantes contributions à la théorie des intégrales définies et qui est devenu des plus célèbres, surtout par une application que Riemann y fait à un problème de la théorie des nombres. Il s’agit de la loi de distribution des nombres premiers dans la série naturelle des nombres.
Riemann en donne une expression asymptotique qui se rapproche essentiellement plus près des résultats des dénombrements empiriques que toutes les formules qui avaient été tirées par induction de ces dénombrements mêmes.
