donc rien d’étonnant à ce fait que plus tard (1864) Riemann, dans son Mémoire en réponse à une question mise au concours par l’Académie des Sciences de Paris, ait fait une application des principes du Mémoire sur les hypothèses de la Géométrie aux équations différentielles d’un problème relatif à la conduction thermique, problème, par conséquent, qui certes n’a rien à faire avec les hypothèses de la Géométrie. Et c’est dans le même sens que se rattachent au même sujet les recherches actuelles sur l’équivalence et la classification des questions les plus générales de la Mécanique. En effet, on peut, d’après Lagrange et Jacobi, représenter les équations différentielles de la Mécanique en les faisant dépendre d’une unique forme quadratique des différentielles des coordonnées.
J’arrive enfin au travail sur les séries trigonométriques, que j’ai intentionnellement réservé pour la fin, car ce Mémoire permet de faire ressortir un dernier caractère essentiel du portrait de Riemann. Dans mes rapides exposés précédents, j’ai pu toujours m’appuyer sur les présentations connues de la Physique ou de la Géométrie. Mais le génie profond et pénétrant de Riemann ne s’est pas contenté de faire l’emploi de l’intuition géométrique et physique. Il est allé plus loin et a abordé la critique de la Science même et des questions relatives à la nécessité des relations mathématiques dérivant des intuitions précitées.
Il s’agit, en un mot, des Principes de l’Analyse infinitésimale. Dans les travaux déjà analysés, Riemann n’a abordé qu’en passant, ou d’une façon détournée, les questions dont il s’agit maintenant. Il en est tout autrement dans ce travail sur les séries trigonométriques. Il ne traite malheureusement que quelques problèmes qui peuvent se résumer ainsi : une fonction peut-elle être discontinue en chaque point, et, pour des fonctions d’une nature si générale, y a-t-il des circonstances où l’on puisse encore parler d’une intégration ? Mais Riemann traite ce problème d’une façon tellement supérieure que les recherches des autres savants sur les principes mêmes de l’Analyse en ont reçu une impulsion
