CONVERGENCE DES SÉRIES THÊTA / ?-UPLEMENT INFINIES. 4^3 le champ d’intégration de l’intégrale sera déterminé par l’inégalité
- 1 --h lp <i I,
et l’intégrale A sera représentée par Le déterminant fonctionnel est une constante finie, et aucune des variables t, prise en valeur absolue, ne peut être supérieure à i. D’autre part, si les t2 n’étaient pas tous positifs, ou si quelques-uns d’entre eux manquaient dans la forme transformée, il se présenterait alors dans l’intégrale À des valeurs infinies de t1 et l’intégrale A elle-même deviendrait donc infinie. Ces résultats n’éprouvent aucun changement, lorsque, au lieu du champ d’intégration considéré de l’intégrale A, nous prenons le suivant
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les a£ étant des grandeurs réelles quelconques. Si nous considérons maintenant l’inégalité
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ou bien, en posant ^ = #£, l’inégalité h
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il résulte d’abord que, pour chaque valeur finie de h, il existe seulement un nombre fini de combinaisons des nombres entiers mh1 /n2, ..., mp qui satisfont à cette inégalité ; en effet, les x doivent tous rester compris entre certaines limites finies, et entre de telles limites il n’y a qu’un nombre fini de nombres rationnels à dénominateur donné h.
Soit donc Z h le nombre de combinaisons admissibles des nombres entiers m.
Considérons ensuite la somme suivante étendue à toutes ces
