4^4 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES. combinaisons h
mp ~r
m,H-l mt-t-1 mp+ 1 Y f h d*xf ’ d,,... f A dxp=^ ; Jmt Jm, ’ Jmp P BP cette somme pour chaque valeur finie de h est elle-même finie et, pour h croissant indéfiniment, tend vers la limite À ; or nous avons démontré que cette limite A est également finie lorsque la fonction — ctzCxtxt’ est représentable par (une somme de) p car- £ £’ rés positifs. Si l’on écrit que l’expression ^ ... est égale à A -h h ml mp k est alors une grandeur finie et qui tend vers zéro lorsque h augmente indéfiniment. On aura donc Z/i “(A + K) hl et c’est là précisément le nombre n des termes de la série thêta qui sont > On a d’après cela n < ( A -h K) hPj K étant une constante à laquelle on peut assigner une valeur aussi petite que l’on veut, pourvu que l’on attribue une valeur suffisamment grande à la valeur h dont on part. Les fonctions F(y)t
- ?(y) Peuvent donc être prises comme il suit :
F0’J = - (A — K )yp, et, puisque l’intégrale /»°° e-y*( A -h K)pyP~x dy £ est convergente, il en est de même, sous les hypothèses assignées, de la série thêta. On en conclut : La série thêla p-uplement infinie est convergente pour toutes les valeurs des variables c,, c2, .. ., vp, pourvu que la partie réelle de la forme quadratique dans Vexposant soit essentiellement négative.
