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De même,$\qquad \qquad \mathrm {{\frac {+a}{+b}}\;=\;{\frac {a}{b}}\;=\;{\frac {-a}{-b}}} \,.$

C’est-à-dire qu’on peut changer en même temps les signes du numérateur et du dénominateur, sans changer la valeur de la fraction.

Par suite, quand le numérateur, ou le dénominateur, ou les deux ensemble, sont des polynômes, on peut changer en même temps les signes de tous les monômes qui entrent dans la fraction.

Ainsi : $\qquad \quad \mathrm {{\frac {a+b-c}{n-m}}\;=\;\,{\frac {-a-b+c}{-n+m}}}$ ou $\mathrm {\frac {-a-b+c}{m-n}} .$

En effet, $\qquad \mathrm {{\frac {a+b-c}{n-m}}\;=\;{\frac {+(a+b-c)}{+(n-m)}}\;=\;{\frac {-(a+b-c)}{-(n-m)}}}$
$\qquad \qquad \qquad \quad =\;\mathrm {\frac {-a-b+c}{-n+m}} \$ ou $\ \mathrm {\frac {-a-b+c}{m-n}}$

En résumé, on peut appliquer aux fractions algébriques :
xxxx1° Au point de vue de leur valeur absolue, les propriétés des rapports arithmétiques ;
xxxx2° Au point de vue des signes, la règle des signes de la division algébrique.

Mais, en raison de son importance, nous allons démontrer directement le principe fondamental suivant.

90. — Principe. — Si l’on multiplie ou si l’on divise par une même quantité les deux termes d’une fraction algébrique, on obtient une fraction équivalente à la proposée.

Soit la fraction $\mathrm {\frac {a}{b}}$ ; représentons sa valeur exacte par $\mathrm {q}$. Nous avons :

$\mathrm {{\frac {a}{b}}=q}$        (1)            d’où :            $\mathrm {a=bq}$        (2)

d’après la définition même du quotient.

Multiplions par $\mathrm {(-m)}$ les deux membres de l’égalité (2) :
                              $\mathrm {a(-m)=\ bq(-m)}$
ou                         $\mathrm {-am\ \ \ \ =-\ bqm}$
ou enfin                $\mathrm {-am\ \ \ \ =\ (-bm)a} .$