Toute équation différentielle du premier ordre rentre-t-elle donc dans la théorie précédente ?
Non, et de l’œuvre de Poincaré se dégage ici un nouvel enseignement essentiel. Comme il le rappelle à une occasion analogue[1], le dicton suivant lequel la géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites, est exact ; mais « encore ces figures, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à une condition. »
« Les proportions peuvent être grossièrement altérées, mais les positions relatives des diverses parties ne doivent pas être bouleversées ».
Nous pouvons, autrement dit, déformer autant que nous le voulons notre sphère, mais sous la condition de ne produire, au cours de cette déformation, ni déchirure, ni, au contraire, adhérence entre parties primitivement séparées.
Or, on sait depuis longtemps qu’il y a des surfaces que l’on ne saurait obtenir par déformation de la sphère en respectant la condition précédente. Tel est le cas d’un tore, c’est-à-dire d’un anneau.
- ↑ Mémoire sur l'Analysis situs, journal de l'École Polytechnique, 2e série, 1ier cahier, p. 1.
