que quelques dénominations à changer (ce qui n’altère nullement l’enchaînement des théorèmes) pour que les propriétés des droites non-euclidiennes deviennent tout simplement les propriétés de courbes d’un certain type tracées sur une surface d’un certain type. Les théorèmes non-euclidiens expriment donc des faits réels — dans un langage donné, il est vrai, — et leur légitimité n’est ni plus ni moins discutable que celle de la géométrie ordinaire.
Tel était l’état de la question lorsque les recherches d’Henri Poincaré sur les « fonctions fuchsiennes » le conduisirent, d’une manière tout à fait inattendue, à un nouveau mode de traduction des théorèmes non-euclidiens en propriétés de figures euclidiennes. Cette découverte apportait un complément précieux aux travaux de Riemann et de Beltrami, et elle était d’autant plus suggestive qu’elle renversait les rôles joués jusqu’alors par les deux géométries, euclidienne et non-euclidienne. Au lieu de se servir de la première pour donner un sens à la seconde, Poincaré utilise au contraire les propositions non-euclidiennes pour triompher des difficultés qu’il rencontre dans un problème de géométrie réelle. Il s’agissait de raisonner sur un réseau de triangles curvilignes formés d’arcs de cer-
