Rien de tout cela ne pouvait être prévu à l’aide des exemples traités antérieurement. Non seulement ceux-ci donnaient une idée fausse des choses ; mais, on le remarquera, il était inévitable qu’il en fût ainsi.
Nos résultats sont, en effet, plus encore que tout à l’heure, contradictoires avec l’existence d’une intégrale générale que l’on puisse écrire avec les procédés élémentaires. Ils ne pouvaient, par conséquent, se rencontrer dans les problèmes que l’on avait résolus avant Poincaré. L’opinion s’était faite, jusque-là sur des figures exceptionnelles, dégénérées en quelque sorte, parce que c’étaient les seules que l’on avait su tracer.
Ces résultats, si extraordinaires, demandaient à être complétés par la recherche effective des cycles limites lorsque l’équation est donnée. C’est une question d’une extrême difficulté, même si l’on entend se borner à une détermination approximative.
Poincaré triomphe, totalement ou partiellement, suivant les cas, de cette difficulté en introduisant un second principe qui sert de fondement à toutes les autres recherches sur ce sujet.
Géométriquement parlant, il consiste à con-
