NOTES DU TRADUCTEUR.
Nous hasardons de placer ici une solution différente du même problème,
solution qui nous paraît à quelques égards plus simple que celle de l’auteur.
Le principe dont nous nous servons se présentait naturellement, mais nous devons observer qu’il est employé dans l’ouvrage pour un problème analogue
(no 285, 3o ).
Supposons d’abord que la forme et la forme soient équivalentes.
Si l’on connaissait toutes les transformations propres de la forme en elle-même, et une transformation de en en combinant chacune des premières
avec la seconde (no 159), on obtiendrait évidemment des transformations semblables à cette dernière. Or il est extrêmement facile de démontrer, 1o que chaque
combinaison donnera une transformation différente des autres ; 2o que toute transformation pourra naître de la combinaison d’une transformation de en elle-même avec la transformation donnée de en
Cherchons donc d’abord quels doivent être les nombres pour
que la forme se change proprement en elle-même par la substitution
on aura les équations
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. . . . . . . . (a),
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. . . . . . . . (b),
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. . . . . . . . (c),
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. . . . . . . . (d),
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Les équations (a) et (c) peuvent se mettre sous la forme
ou bien, étant le plus grand commun diviseur des nombres et
en divisant la première par la seconde par
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Si l’on fait
,
—,
—,
—,
ces équations deviennent
,
——
or on a
,
——,
——,
——
substituant ces valeurs dans les équations (b) et (d), il en résulte
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qui donnent ; donc . Cette valeur, substituée dans l’équation , donne , et partant .
Il en résulte donc
,
——,
——,
——
or il est aisé de démontrer que , doivent être entiers, si , , , le
sont, et réciproquement.
1o. Si , sont entiers, comme il est nécessaire pour notre question,
comme on tire des valeurs précédentes
,
——,
——
on peut en conclure
,
——
mais l’une des deux fractions qui servent de second membre est nécessairement
irréductible, donc est divisible par , où sera un nombre entier,
en sera un aussi ; de là il est aisé de voir que est également un nombre
entier.
2o. On démontrera, comme l’auteur le fait au même numéro (4o.), que toutes
les valeurs entières de donneront des valeurs entières pour
Il suit donc de tout ce qui précède, que la solution de notre question dépend
de la résolution de l’équation en nombres entiers, et que réciproquement une transformation d’une forme quelconque de déterminant en
elle-même, fournira une solution en nombres entiers de l’équation ,
pourvu que soit le plus grand commun diviseur des trois coefficiens de cette
forme.
Si maintenant sont des nombres pour lesquels se change en
on trouvera par le no 159, pour les nombres qui donnent une transformation quelconque semblable,
, |
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, |
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, |
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; |
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or il faut observer qu’ici les valeurs de , , , sont nécessairement entières
puisque , , , et , , , le sont.
Si l’on compare les valeurs de et de , que l’auteur déduit (no 199) avec
celles auxquelles nous parvenons directement, on verra qu’elles sont identiques
mutatis mutandis.
Mais si et n’étaient pas équivalentes, on se convaincra aisément que ces formules ne donneraient plus toutes les transformations, à moins que l’on n’admette
des valeurs fractionnaires de et dans lesquelles le dénominateur serait le quotient du plus grand commun diviseur des nombres , , , divisé par le plus
grand commun diviseur des nombres , , . Si nous nommons le plus
grand commun diviseur des nombres , , , et que nous fassions ,
on trouvera pour ce cas, en substituant dans les formules et , à la place
de et , des formules semblables dans lesquelles, à la place de , on doit mettre
, et où et seront des nombres qui satisfassent à l’équation ,
comme il résulte de l’analyse de l’auteur. Nous insistons peu sur ce second cas
qui est d’une moins grande utilité.
Note relative au no 164.
On peut encore faire cette recherche d’une manière qui nous paraît en quelque
sorte plus directe.
Nous supposerons qu’on ait démontré, comme l’auteur, les relations qui existent
entre , , , , , , , , et qui sont, en faisant usage de sa notation,
,
——,
——,
——
Cela posé, soit , la forme ambiguë cherchée, que nous désignerons
par ; faisons , sera un nombre entier. Or puisque doit se changer
en , renfermera proprement et improprement, et si la transformation
propre est
,
——
on obtiendra une transformation impropre, en combinant la transformation propre
avec une transformation impropre de en elle-même. Alors si se change en
par la transformation propre
,
——
en passant d’abord de à et ensuite de à , on obtiendra deux transformations de en une propre et l’autre impropre (no 159), et qui devront
coïncider avec les transformations données.
La forme se change en elle-même par la transformation impropre ,
; ainsi : 1o . se change en par la transformation propre
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et partant, on aura
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—— |
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……(1)
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2o . se change en par la transformation impropre
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et l’on a parconséquent
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—— |
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……(2)
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Les équations (1) donnent par l’élimination, en faisant ,
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.
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Les équations (2) donnent
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De ces doubles valeurs de , , , , on tire les équations
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,
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…………(3)
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—— |
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……(4)
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Les équations (3) donnent ; . Or il est aisé de voir
que l’équation de condition qui résulte de ces deux valeurs est toujours satisfaite,
car elle revient à
_ou
_
en essayant d’éliminer ou entre les équations (4) ; on voit facilement qu’elles
rentrent l’une dans l’autre ; car il en résulterait dans l’un ou l’autre cas des équations qui s’anéantissent d’elles-mêmes, leur premier membre étant multiplié par
qui est égal à , quantité
nulle, et leur second membre étant multiplié, pour l’une, par ,
pour l’autre, par , quantités également nulles, comme on peut s’en
assurer facilement. Il suffirait pour cela de multiplier par la première des équations (3), et d’en retrancher la seconde multipliée par ; de multiplier encore la
première par , et d’en retrancher la seconde multipliée par . On trouverait
——……(5)
Il suit de là qu’entre les cinq inconnues , , , , , il n’y a réellement que
deux équations. Ainsi le problème est indéterminé ; mais il faut que les valeurs de
ces inconnues soient telles que , , , soient entiers.
Disposons des nombres et dont le rapport seul est connu et égal à ou , et prenons pour et les termes de ce rapport réduit à sa plus simple
expression.
On aura évidemment dans tous les cas des nombres entiers pour et , si
l’on fait ; , où est indéterminé jusqu’à présent. Cette supposition
change l’équation en qui servira à trouver et .
Quant à et au moyen des valeurs de , , , ou , on tire facilement par l’élimination
or à l’aide des équations (5), on a
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;
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On trouverait de même
,
——
Si est le plus grand commun diviseur des nombres , , , et partant des nombres
, , , comme il est aisé de le prouver par l’équation un des nombres
, sera premier avec . Supposons que ce soit ; comme on a
,
——et
——
il s’ensuit que est divisible par , ainsi que , puisque
et sont essentiellement entiers. Donc en prenant , et seront
entiers.
D’ailleurs des valeurs précédentes de , on tire , ,
et comme , la première des équations (4) devient , ou, puisque , , Mais
on a
, et partant est divisible par , et par , ou bien et et sont entiers. Donc cette équation
donne une valeur entière pour , qui varie suivant les valeurs que l’on attribue
à et .