Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre VIII

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 18-20).

VIII.

Par un choix convenable de l’origine et des axes des coordonnées, on peut faire facilement que, pour un point déterminé $\mathrm {A} ,$ les valeurs des quantités $t,\ u,\ \mathrm {U}$ s’évanouissent. D’abord les deux premières conditions sont remplies, si l’on prend le plan tangent en ce point pour plan des coordonnées $x,\ y.$ Si, de plus, on place l’origine en ce point, l’expression des coordonnées $z$ acquiert évidemment cette forme,

$z={\frac {1}{2}}\mathrm {T} ^{0}x^{2}+\mathrm {U} ^{0}xy+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} ^{0}y^{2}+\Omega ,$

où $\Omega$ sera d’un ordre plus élevé que le second. Faisant ensuite tourner dans leur plan les axes des $x,\ y$ d’un angle $\mathrm {M} ,$ tel qu’on ait

$\operatorname {tang} 2\mathrm {M} ={\frac {2\mathrm {U} ^{0}}{\mathrm {T} ^{0}-\mathrm {V} ^{0}}},$

on voit facilement que l’équation prendra cette forme,

$z={\frac {1}{2}}\mathrm {T} x^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} y^{2}+\Omega \ ;$

et l’on satisfait ainsi à la troisième condition. Cela fait, on voit que :

1. Si la surface courbe est coupée par un plan normal, et passant par l’axe des coordonnées $x,$ le rayon de courbure de la section au point $\mathrm {A}$ sera égal à ${\frac {1}{\mathrm {T} }},$ le signe positif ou négatif indiquant que la courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers la région où les coordonnées $z$ sont positives.

2. De la même manière, ${\frac {1}{\mathrm {V} }}$ sera au point $A$ le rayon de courbure d’une courbe plane, section de la surface courbe par le plan passant par le plan des $y,\ z,$

3. En posant $x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi ,$ on a

$z={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {T} \cos ^{2}\varphi +\mathrm {V} \sin ^{2}\varphi \right)+\Omega \ ;$

d’où l’on conclut que, si la section est faite par un plan normal en $\mathrm {A}$ à la surface, et faisant avec l’axe des $x$ l’angle $\varphi ,$ le rayon de courbure au point $\mathrm {A}$ sera égal à

${\frac {1}{\mathrm {T} \cos ^{2}\varphi +\mathrm {V} \sin ^{2}\varphi }}.$

4. Chaque fois donc qu’on aura $\mathrm {T=V,}$ les rayons de courbure seront égaux dans tous les plans normaux. Mais, si $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ sont inégaux, il est évident, puisque, pour une valeur quelconque de l’angle $\varphi ,$ $\mathrm {T} \cos ^{2}\varphi +\mathrm {V} \sin ^{2}\varphi$ tombe entre $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} ,$ que les rayons de courbure dans les sections principales, considérées dans les n^os 1 et 2, se rapportent aux courbures extrêmes, savoir : l’un à la courbure maximum, l’autre à la courbure minimum, si $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ sont affectés du même signe ; et, au contraire, l’un à la plus grande convexité, l’autre à la plus grande concavité, si $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ ont des signes contraires. Ces conclusions contiennent presque tout ce que l’illustre Euler nous a enseigné le premier sur la courbure des surfaces.

5. La mesure de la courbure de la surface en un point $\mathrm {A}$ prend l’expression très-simple $k=\mathrm {TV} ,$ d’où nous avons :

Théorème. La mesure de la courbure en un point quelconque d’une surface est égale à une fraction, dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le produit des deux rayons de courbures extrêmes dans les sections faites par les plans normaux.

On voit en même temps que la mesure de la courbure est positive pour les surfaces concavo-concaves ou convexo-convexes (ce qui ne fait pas une différence essentielle), et négative pour les concavo-convexes. Si la surface est composée de parties de chaque espèce, sur leurs confins la mesure de la courbure devra s’annuler. On s’étendra plus longuement dans la suite sur la nature des surfaces courbes pour lesquelles la mesure de la courbure est partout nulle.