Histoire de la roulette

Blaise Pascal

Œuvres de Blaise Pascal

Texte établi par Léon Brunschvicg, Pierre Boutroux et Félix Gazier, Hachette, 1914 (p. 195-209).

HISTOIRE DE LA ROULETTE,
APPELLÉE AUTREMENT
LA TROCHOÏDE OU LA CYCLOÏDE

Où l’on rapporte par quels degrez on est arrivé à la connoissance de la nature de cette ligne.

La Roulette est une ligne si commune, qu’apres la droitte et la circulaire, il n’y en a point de si frequente ; et elle se décrit si souvent aux yeux de tout le monde, qu’il y a lieu de s’estonner qu’elle n’ait point esté considerée par les anciens, dans lesquels on n’en trouve rien : car ce n’est autre chose que le chemin que fait en l’air le clou d’une rouë, quand elle roule de son mouvement ordinaire, depuis que ce clou commence à s’élever de terre, jusqu’à ce que le roulement continu de la roue l’ait rapporté à terre, apres un tour entier achevé : supposant que la rouë soit un cercle parfait, le clou un poinct dans sa circonference, et la terre parfaitement plane.

Le feu P. Mersenne Minime, fut le premier qui la remarqua environ l’an 1615. en considerant le roulement des rouës ; ce fut pourquoy il l’appela La Roulette. Il voulut ensuite en reconnoistre la nature et les proprietez ; mais il n’y pût penetrer.

Il avoit un talent tout particulier pour former de belles questions ; en quoy il n’avoit peut-estre pas de semblable : mais encore qu’il n’eust pas un pareil bonheur à les resoudre, et que ce soit proprement en cecy que consiste tout l’honneur, il est vray neantmoins qu’on luy a obligation, et qu’il a donné l’occasion de plusieurs belles découvertes, qui peut estre n’auroient jamais esté faites s’il n’y eust excité les Sçavans.

Il proposa donc la recherche de la nature de cette ligne à tous ceux de l’Europe qu’il en creût capables, et entr’autres à Galilée^[1]. Mais aucun n’y pût reüssir, et tous en desespererent.

Plusieurs années se passerent de cette sorte jusques en 1634. que le Pere voyant resoudre à Monsieur de Roberval, Professeur Royal ès Mathematiques, plusieurs grands problesmes, il espera de tirer de luy la solution de la Roulette.

En effet Monsieur de Roberval y reüssit. Il demontra que l’espace de la roulette est triple de la rouë qui la forme. Ce fut alors qu’il commença de l’appeler par ce nom tiré du Grec, Trochoïdes, correspondant au François Roulette. Il dit au Pere que sa question estoit resoluë, et luy declara mesmes cette raison triple, en exigeant neantmoins qu’il la tiendroit secrette durant un an, pendant lequel il proposeroit de nouveau cette question à tous les Geometres.

Le Pere, ravy de ce succez, leur écrivit à tous, et les pressa d’y repenser, en leur adjoûtant que Monsieur de Roberval l’avoit resoluë, sans leur dire comment.

L’année et plus estant passée sans qu’aucun en eust trouvé la solution, le Pere leur écrivit pour la troisiéme fois, et leur declara alors la raison de la Roulette à la rouë comme 3. à 1. En 1635. sur ce nouveau secours, il s’en trouva deux qui en donnerent la demonstration : on receut leurs solutions presque en mesme temps, l’une de Monsieur de Fermat, Conseiller au Parlement de Toulouse, l’autre de feu M^r Descartes ; et toutes deux differentes l’une de l’autre, et encore de celle de M^r de Roberval, de telle sorte neantmoins qu’en les voyant toutes il n’est pas difficile de reconnoistre quelle est celle de l’Autheur, car il est vray qu’elle a un caractere particulier, et qu’elle est prise par une voye si belle et si simple qu’on connoist bien que c’est la naturelle. Et c’est en effet par cette voye qu’il est arrivé à des dimensions bien plus difficiles sur ce sujet, à quoy les autres methodes n’ont pû servir.

Ainsi la chose devint publique, et il n’y eût personne en France, de ceux qui se plaisent à la Geometrie, qui ne sçeust que M^r de Roberval estoit l’Autheur de cette solution ; à laquelle il en adjoûta en ce mesme temps deux autres : l’une fut la dimension du solide à l’entour de la base ; l’autre, l’invention des touchantes de cette ligne, par une methode qu’il trouva alors, et qu’il divulga incontinent, laquelle est si generale qu’elle s’estend aux touchantes de toutes les courbes : elle consiste en la composition des mouvemens.

En 1638. feu M^r de Beaugrand ayant ramassé les solutions du plan de la Roulette, dont il y avoit plusieurs copies, avec une excellente methode de maximis et minimis de M^r de Fermat, il envoya l’une et l’autre à Galilée, sans en nommer les Autheurs : il est vray qu’il ne dit pas precisement que cela fust de luy ; mais il écrivit de sorte qu’en n’y prenant pas garde de prés, il sembloit que ce n’estoit que par modestie qu’il n’y avoit pas mis son nom ; et, pour deguiser un peu les choses, il changea les premiers noms de Roulette, et Trochoïde, en celuy de Cycloïde^[2].

Galilée mourut bientost apres, et M^r de Beaugrand aussi. Toricelli succeda à Galilée et, tous ses papiers luy estant venus entre les mains, il y trouva entre autres ces solutions de la Roulette sous le nom de Cycloïde, écrites de la main de M^r de Beaugrand, qui paroissoit en estre l’Autheur ; lequel estant mort, il crût qu’il y avoit assez de temps passé pour faire que la memoire en fust perdue, et ainsi il pensa à en profiter.

Il fit donc imprimer son Livre en 1644. dans lequel il attribuë à Galilée ce qui est deu au P. Mersenne, d’avoir formé la question de la Roulette ; et à soymesme ce qui est deu à M^r de Roberval, d’en avoir le premier donné la resolution : en quoy il fut non-seulement inexcusable, mais encore mal-heureux ; car ce fut un sujet de rire en France, de voir que Toricelli s’attribuoit en 1644. une invention qui estoit publiquement et sans contestation reconnue depuis huict ans pour estre de M^r de Roberval, et dont il y avoit, outre une infinité de témoins vivans, des témoignages imprimez, et entr’autres un écrit de M^r Desargues^[3], imprimé à Paris au mois d’Aoust en 1640. avec Privilege, où il est dit, et que la Roulette est de M^r de Roberval, et que la methode de maximis et minimis est de M^r de Fermat.

M^r de Roberval s’en plaignit donc à Toricelli par une lettre qu’il luy en écrivit la mesme année ; et le P. Mersenne en mesme temps, mais encore plus severement. Il luy donna tant de preuves, et imprimées, et de toutes sortes, qu’il l’obligea d’y donner les mains, et de ceder cette invention à M^r de Roberval, comme il fit par ses Lettres que l’on garde écrites de sa main du mesme temps.

Cependant comme son Livre est public et que son desaveu ne l’est pas, M^r de Roberval ayant si peu de soin de se faire paroistre qu’il n’en a jamais rien fait imprimer, beaucoup de monde y a esté surpris, et je l’avois esté moy-mesme ; ce qui a esté cause que par mes premiers écrits je parle de cette ligne comme estant de Toricelli, et c’est pourquoy je me suis senty obligé de rendre par celuy-cy à M^r de Roberval ce qui luy appartient veritablement.

Toricelli ayant receu cette petite disgrace, et ne pouvant plus passer auprés de ceux qui sçavoient la verité pour Autheur de la dimension de l’espace de la Roulette, ny mesme de celle du solide autour de la base, M^r de Roberval la luy ayant déja envoyée, il essaya de resoudre celuy à l’entour de l’axe. Mais ce fut là qu’il trouva bien de la difficulté ; car c’est un probleme d’une haute, longue et penible recherche. Ne pouvant donc y reüssir, il en envoya une solution assez approchante, au lieu de la veritable, et manda que ce solide estoit à son Cylindre comme 11. à 18. ne pensant pas qu’on pust le convaincre. Mais il ne fut pas plus heureux en cette rencontre qu’en l’autre ; car M^r de Roberval, qui en avoit la veritable et geometrique dimension, luy manda non seulement son erreur, mais encore la verité. Toricelli mourut un peu de temps apres.

M^r de Roberval ne s’arresta pas à la seule dimension de la premiere et simple Roulette et de ses solides ; mais il estendit ses découvertes à toutes sortes de Roulettes, allongées ou accourcies^[4], pour toutes lesquelles ses methodes sont generales, et donnent, avec une mesme facilité, les touchantes, la dimension des plans et de leurs parties, leurs centres de gravité et les solides, tant autour de la base qu’autour de l’axe. Car encore qu’il ne l’ait donné au long que des Roulettes entieres, sa methode s’étend, sans rien y changer, et avec autant de facilité, aux parties. Et ce seroit chicaner que de luy en disputer la première resolution^[5].

La connoissance de la Roulette ayant estée portée jusques-là par M^r de Roberval, la chose estoit demeurée en cét estat depuis 14. ans, lorsqu’une occasion impreveüe m’ayant fait penser à la Geometrie que j’avois quittée il y avoit long-temps, je me formay des methodes pour la dimension et les centres de gravité des solides, des surfaces planes et courbes, et des lignes courbes, ausquelles il me sembla que peu de choses pourroient echapper : et pour en faire l’essay sur un sujet des plus difficiles, je me proposay ce qui restoit à connoistre de la nature de cette ligne ; sçavoir les centres de gravité de ses solides et des solides de ses parties ; la dimension et les centres de gravité des surfaces de tous ces solides ; la dimension et les centres de gravité de la ligne courbe mesme de la Roulette et de ses parties.

Je commençay par les centres de gravité des solides et des demy-solides, que je trouvay par ma methode, et qui me parurent si difficiles par toute autre voye, que, pour sçavoir s’ils l’estoient en effet autant que je me l’estois imaginé, je me resolus d’en proposer la recherche à tous les Geometres, et mesme avec des prix. Ce fut alors que je fis mes écrits Latins^[6], lesquels ont esté envoyez partout. Et, pendant qu’on cherchoit ces problemes touchant les solides, j’ay resolu tous les autres, comme on verra à la fin de ce discours quand j’auray parlé des réponses qu’on a receuës des Geometres sur le sujet de mes écrits.

Elles sont de deux sortes. Les uns pretendent d’avoir resolu les problesmes proposez, et ainsi avoir droit aux prix ; et les écrits de ceux-là seront veus dans l’examen regulier qui s’en doit faire. Les autres n’ont point voulu pretendre à ces solutions, et se sont contentez de donner leurs premieres pensées sur cette ligne.

J’ay trouvé de belles choses dans leurs Lettres, et des manieres fort subtiles de mesurer le plan de la Roulette, et entr’autres dans celles de M^r Sluze^[7], Chanoine de la Cathedrale de Liege, de M^r Richi^[8], Romain, de M^r Huguens^[9], Holandois, qui a le premier produit que la portion de la Roulette retranchée par l’ordonnée de l’axe, menée du premier quart de l’axe du costé du sommet, est égale à un espace rectiligne donné. Et j’ay trouvé la mesme chose dans une Lettre de M^r Wren^[10], Anglois, écrite presque en mesme temps.

On a veu aussi la dimension de la Roulette et de ses parties, et de leurs solides à l’entour de la base seulement, du R. P. Lalloüere, Jesuite de Toulouse, et comme il l’envoya toute imprimée, j’y fis plus de reflexion ; et je fus surpris de voir^[11] que tous les problesmes qu’il y resout, n’estant autre chose que les premiers de ceux que M^r de Roberval avoit resolus depuis si long-temps, il les donnoit neantmoins sous son nom, sans dire un seul mot de l’Autheur. Car encore que sa methode soit differente, on sçait assez combien c’est une chose aisée, non-seulement de deguiser des propositions déja trouvées, mais encore de les resoudre d’une maniere nouvelle par la connoissance qu’on a déja euë une fois de la premiere solution.

Je priay donc instamment M^r de Carcavi, non-seulement de faire avertir le R. Pere que tout cela estoit de M^r de Roberval, ou au moins enfermé manifestement dans ses moyens, mais encore de luy decouvrir la voie par laquelle il y est arrivé. (Car on ne doit pas craindre de s’ouvrir entre les personnes d’honneur). Je luy fis donc mander que cette voye de la premiere decouverte estoit la quadrature que l’Autheur avoit trouvée depuis longtemps d’une figure qui se décrit d’un trait de compas sur la surface d’un Cylindre droit, laquelle surface, estant estenduë en plan, forme la moitié d’une ligne qu’il a appelée la compagne de la Roulette, dont les ordonnées à l’axe sont égales aux ordonnées de la Roulette, diminuées de celles de la rouë. En quoy je crûs faire un plaisir particulier au R. Pere, parce que, dans ses Lettres que nous avons, il parle de la quadrature de cette figure, qu’il appelle Cycloï-cylindrique, comme d’une chose tres-éloignée de sa connoissance, et qu’il eust fort desiré connoistre^[12]. M^r de Carcavi, n’ayant pas eu assez de loisir, a fait mander tout cela, et fort au long, par un de ses amis au R. P. qui y a fait réponse^[13].

Mais entre tous les écrits qu’on a receus de cette sorte, il n’y a rien de plus beau que ce qui a esté envoyé par M. Wren ; car outre la belle maniere qu’il donne de mesurer le plan de la Roulette, il a donné la comparaison de la ligne courbe mesme et de ses parties avec la ligne droite. Sa proposition est que la ligne de la Roulette est quadruple de son axe, dont il a envoyé renonciation sans demonstration. Et comme il est le premier qui l’a produite, c’est sans doute à luy que l’honneur de la premiere invention en appartient.

Je ne croiray pas pourtant luy rien oster pour dire, ce qui est aussi veritable, que quelques Geometres de France, ausquels cette enonciation a esté communiquée, en ont trouvé la demonstration sur le champ, et entr’autres M. de Fermat. Et je diray de plus que M. de Roberval^[14] a témoigné que cette connoissance ne luy estoit pas nouvelle. Car aussi tost qu’on luy en parla, il en donna la demonstration entiere, avec une tres-belle methode pour la dimension de toutes les courbes, laquelle il n’avoit point encore voulu publier, esperant d’en tirer quelques connoissances encore plus considerables, comme en effet c’estoit par là qu’il avoit comparé depuis long-temps les lignes spirales aux paraboliques : on en voit quelque chose dans les Œuvres du R. P. Mersenne^[15].

Cette methode est encore tirée de la composition des mouvemens, de mesme que celle des touchantes. Car comme la direction du mouvement composé donne la touchante, ainsi sa vitesse donne la longueur de la courbe, dont voicy la première publication.

Voila ce que j’ay trouvé de plus remarquable dans les écrits de ceux qui ne pretendent point aux prix. Quant aux autres, je n’en parleray qu’apres l’examen qui s’en devoit ouvrir le premier Octobre, mais que nous sommes obligez de remettre au retour de Monsieur de Carcavi, qu’on attend de jour en jour.

C’est alors qu’on jugera de ceux qui auront satisfait aux quatre conditions portées par mes Escrits publiez au mois de Juin, sçavoir :

1. Que la solution ait esté receuë et signifiée chez M. de Carcavi dans le 1. Octobre, qui est le temps prescrit. Qui intra præstitutum tempus Illustrissimo D. de Carcavi significaverit, etc.

2. Qu’elle soit accompagnée d’un acte public, instrumento publico, pour oster tout soupçon.

3. Qu’elle contienne, ou une demonstration abregée, ou au moins le calcul d’un cas que je demande pour reconnoistre, par la qualité de ce calcul, si celuy qui l’envoie avoit en effet dés lors la resolution nette et parfaite des problemes, aut saltem ad confirmandam suæ assertionis veritatem casus quem mox designabimus calculum dederit, ce qui paroistroit estre vray ou faux, selon que le calcul seroit vray ou faux.

4. Que l’on envoyeroit ensuitte et à loisir l’entiere demonstration de tous les autres cas proposez, omnia omninò demonstrare ; et qu’elle soit jugée vraye et geometrique en toutes ses parties, par ceux que M. de Carcavi voudra nommer. Et j’ay mesme pardonné les erreurs de calcul qui se trouveront dans ces dernieres et entieres demonstrations de tous les cas generalement ; parce que, quand les demonstrations sont presentes, les calculs ne sont jamais necessaires, et les erreurs y sont toûjours pardonnables.

S’il s’en trouve qui soient dans ces conditions, le premier aura le premier prix ; et le second, le second : s’il n’y en a qu’un, il les aura tous deux. Mais ceux qui ne les auront pas toutes accomplies seront exclus des prix, quoy qu’ils ne le soient pas de l’honneur, qui leur appartiendra toûjours par le merite des écrits qu’ils pourront produire. Car je n’ay pas mis des conditions à la dispensation de l’honneur, dont je ne dispose pas, mais seulement à celle des prix dont j’ay pu disposer à mon gré.

Que s’il ne se trouve personne dans l’examen qui ait resolu les problemes, je les donneray alors moy-mesme, comme je me suis obligé par mes écrits de le faire quand le temps seroit expiré, c’est-à-dire au 1. Octobre. Et j’ay en effet déja commencé à divulguer mon calcul, que j’ay donné écrit à la main à plusieurs personnes dignes de foy, et entr’autres, à M. de Carcavi, à M. de Roberval, à M. Galois, Notaire Royal a Paris, et à plusieurs autres personnes de France et d’ailleurs tres-considerables par leur qualité et par leur science, qui ont marqué le jour qu’ils l’ont receu. J’ay crû à propos d’en user ainsi, et de ne le pas faire encore imprimer, afin que si dans l’examen il s’en trouve qui l’ayent déja rencontré, je publie qu’ils l’ont résolu avant que j’eusse divulgué ma solution ; sinon je donneray publiquement ce que personne n’aura trouvé. Et j’y adjoûteray encore les problesmes suivans, qui restent sur la nature de la Roulette, dont quelques-uns ne me semblent pas moins difficiles.

1. Le poinct Z estant donné où l’on voudra dans la Roulette simple, trouver non seulement la dimension de la ligne courbe ZA, comprise entre le poinct Z et le sommet (ce que M. Wren a resolu), mais encore le centre de gravité de cette portion de la ligne courbe.

2. Trouver la dimension de la surface décrite par cette portion de la ligne courbe, tournée tant autour de la base (ce qui est facile) qu’autour de l’axe, d’un tour entier, ou d’un demy, ou d’un quart, ou de telle partie de tour que l’on voudra.

3. Trouver le centre de gravité de cette surface, ou demy surface, ou quart de surface, etc. ; ce qui est le plus difficile et proprement le seul que je propose.

Dans tous lesquels problemes je suppose la quadrature du cercle, où il est necessaire de la supposer.

Voila ce qui restoit à descouvrir sur la nature de cette ligne, et dont je tiendray la solution secrette jusques au dernier Decembre de cette année 1658. afin que si quelqu’un en trouve la resolution dans ce temps, il ait l’honneur de l’invention. Mais ce temps expiré, si personne ne la donne, je la donneray alors ; et mesmes la dimension generale des lignes courbes de toutes les Cycloïdes allongées ou accourcies ; lesquelles ne sont pas égales à des lignes droites, mais à des ellipses^[16].

C’est là que j’ay fini de considerer la nature de cette ligne. Et pour reprendre, en peu de mots, toute cette histoire, il paroist :

Que le premier qui a remarqué cette ligne en la nature, mais sans en penetrer les proprietez, a esté le P. Mersenne.

Que le premier qui en a connu la nature, trouvé les touchantes, mesuré les plans et les solides, et donné le centre de gravité du plan et de ses parties, a esté M. de Roberval.

Que le premier qui en a mesuré la ligne courbe, a esté M. Wren.

Et qu’enfin j’ay trouvé le centre de gravité des solides et demy-solides de la ligne et de ses parties, tant autour de la base, qu’autour de l’axe ; le centre de gravité des surfaces, demy-surfaces, quarts de surface, etc., décrites par la ligne et par ses parties, tournées autour de la base et autour de l’axe ; et la dimension de toutes les lignes courbes des Roulettes allongées ou accourcies.

Ce 10^me Octobre 1658.

1. Vide supra p. 184, note 2.
2. Vide supra p. 159, note 1.
3. Cf. supra p. 190.
4. Vide supra p. 17, note 2.
5. Commentant ce passage dans sa lettre du 7 juin 1659 (vide supra p. 121 sqq.) Lalouère déclare : « Remarquez, je vous prie, ces dernières parolles et conferez les avec celles de sa lettre que je mets en suitte, et vous admirerez la candeur de cette personne » ; et il reproduit aussitôt après les deux fragments de lettres de Pascal que nous avons publiés p. 127 et suiv.
6. Les deux circulaires anonymes, vide supra T. VII, p. 399 sqq. et T. VIII, p. 17 sqq.
7. Cf. supra p. 12 et p. 115 et infra p. 227.
8. Le cardinal Michel-Ange Ricci (1619–1692) hérita des papiers mathématiques de Torricelli et, à la suite de ce dernier, s’occupa de divers problèmes relatifs aux quadratures et aux centres de gravité (Cf. Fabbroni, Vitæ Italorum doctrina excellentium, T. I, p. 366 et T. II, p. 204 sqq.) ; mais nous ne savons rien des recherches de Ricci sur la Cycloïde.
9. Vide supra p. 151 et infra T. IX, p. 159.
10. Vide supra p. 134 sqq.
11. Vide supra T. VII, p. 342. Les Propositiones Viginti seules avaient été envoyées à Pascal tout imprimées. La dimension du solide autour de l’axe lui avait été communiquée sous forme manuscrite (cf. supra p. 123 et p. 158).
12. Voir sur la quadrature de la Cycloï-cylindrique, supra p. 122.
13. « Vous avez veu — riposte Lalouère dans la lettre qu’il écrivit à un de ses confrères le 7 juin 1659 (vide supra p. 121) — la response que je fus contrainct de faire à ces calomnies sur la fin des six propositions du mouvement des graves » (vide infra p. 291 et suiv.).
14. Dans le De Trochoïde (vide supra p. 183, note 1), Roberval prétend qu’il avait trouvé la grandeur de l’arc de la cycloïde à l’époque de ses premières recherches sur cette courbe (1634–1638), mais qu’il avait tenu cette découverte cachée jusqu’au temps où Wren y parvint de son côté.
15. Cf. infra p. 256, note 1.
16. Voir la Lettre de A. Dettonville à M. Huguens, infra T. IX, p. 187 sqq.