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On a d'ailleurs:

$x+\epsilon t=x-\xi t,\quad r^{\prime 2}=k^{2}(x-\xi t)^{2}+y^{2}+z^{2}$

et

(4)

$X_{1}={\frac {-k(x-\xi t)}{r^{\prime 3}}},\quad Y_{1}={\frac {-y}{kr^{\prime 3}}},\quad Z_{1}={\frac {-z}{kr^{\prime 3}}};$

ce qui peut s'écrire:

(4bis)

$X_{1}={\frac {dV}{dx}},\quad Y_{1}={\frac {dV}{dy}},\quad Z_{1}={\frac {dV}{dz}};\quad V={\frac {1}{kr^{\prime }}}.$

Il semble d'abord que l'indétermination subsiste, puisque nous n'avons fait aucune hypothèse sur la valeur de t c'est-à-dire sur la rapidité de la transmission; et que d'ailleurs x est fonction de t; mais il est aisé de voir que x-ξt, y, z, qui figurent seuls dans nos formules, ne dépendent pas de t.

On voit que si les deux corps sont simplement animés d'une translation commune, la force qui agit sur le corps attiré est normale à un ellipsoïde ayant pour centre le corps attirant.

Pour aller plus loin il faut chercher les invariants du groupe de Lorentz.

Nous savons que les substitutions de ce groupe (en supposant l=1) sont les substitutions linéaires qui n'altèrent pas la forme quadratique

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.\,$

Posons d'autre part:

${\begin{array}{l}\xi ={\frac {\delta x}{\delta t}},\quad \eta ={\frac {\delta y}{\delta t}},\quad \zeta ={\frac {\delta z}{\delta t}};\\\\\xi _{1}={\frac {\delta _{1}x}{\delta _{1}t}},\quad \eta _{1}={\frac {\delta _{1}y}{\delta _{1}t}},\quad \zeta _{1}={\frac {\delta _{1}z}{\delta _{1}t}};\end{array}}$

nous voyons que la transformation de Lorentz aura pour effet de faire subir δx, δy, δz, δt et à δ₁x, δ₁y, δ₁z, δ₁t les mêmes substitutions linéaires qu'à x, y, z, t.

Regardons

${\begin{array}{ccccccc}x,&&y,&&z,&&t{\sqrt {-1}},\\\\\delta x,&&\delta y,&&\delta z,&&\delta t{\sqrt {-1}},\\\\\delta _{1}x,&&\delta _{1}y,&&\delta _{1}z,&&\delta _{1}t{\sqrt {-1}},\end{array}}$

comme les coordonnées de 3 points P, P', P" dans l'espace à 4 dimensions. Nous voyons que la transformation de Lorentz n'est qu'une rotation de cet espace autour de l'origine, regardée comme fixe. Nous n'aurons donc pas d'autres invariants distincts que les 6 distances des 3 points P, P', P" entre eux et á l'origine, ou, si l'on aime