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{{Br0}}expliqué (fig. 7), en sorte que <math>\mathrm{ZM}</math> sera zéro. Il y a cependant des
exceptions que nous allons expliquer.


Soient toujours <math>\mathrm{BAC}</math> (fig. 8) l’angle donné, et <math>\mathrm{O}</math> le point donné,
expliqué (fig. 7), en sorte que <math>\mathrm{ZM}</math> sera zéro. Il y a cependant des exceptions que nous allons expliquer.
et soit mené <math>\mathrm{AO}</math> ; si l’on a <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC=90^\circ}</math>, la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché en <math>\mathrm{A}</math> ; de manière
que les deux distances <math>\mathrm{ZM}</math> et <math>\mathrm{ZN}</math> s’évanouiront.


Si l’on a (fig. 8) <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC>90^\circ,}</math> la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché sur le prolongement de <math>\mathrm{AG}</math>
Soient toujours <math>\mathrm{BAC}</math> (fig. 8) l’angle donné, et <math>\mathrm{O}</math> le point donné, et soit mené <math>\mathrm{AO}</math> ; si l’on a <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC=90^\circ}</math>, la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché en <math>\mathrm{A}</math> ; de manière que les deux distances <math>\mathrm{ZM}</math> et <math>\mathrm{ZN}</math> s’évanouiront.
au-delà de <math>\mathrm{A}</math> ; mais, comme alors la distance <math>\mathrm{ZN}</math> deviendra négative,
cette solution ne pourra être admise ; il faudra donc, comme dans le
cas précédent, laisser le point cherché en <math>\mathrm{A}</math>.


Si l’on a (fig. 8) <math>\mathrm{Ang.BAC+Ang.OAC>90^\circ,}</math> la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché sur le prolongement de <math>\mathrm{AG}</math> au-delà de <math>\mathrm{A}</math> ; mais, comme alors la distance <math>\mathrm{ZN}</math> deviendra négative, cette solution ne pourra être admise ; il faudra donc, comme dans le cas précédent, laisser le point cherché en <math>\mathrm{A}</math>.
Si cependant, dans ce cas, l’angle <math>\mathrm{OAB}</math> est obtus (fig. 9), le point

<math>\mathrm{Z}</math> devra être établi à l’intersection de <math>\mathrm{AC}</math> avec la perpendiculaire <math>\mathrm{ON}</math>
abaissée du point <math>\mathrm{O}</math> sur le prolongement de <math>\mathrm{AB}</math> au-delà de <math>\mathrm{A}</math>. Alors,
Si cependant, dans ce cas, l’angle <math>\mathrm{OAB}</math> est obtus (fig. 9), le point <math>\mathrm{Z}</math> devra être établi à l’intersection de <math>\mathrm{AC}</math> avec la perpendiculaire <math>\mathrm{ON}</math> abaissée du point <math>\mathrm{O}</math> sur le prolongement de <math>\mathrm{AB}</math> au-delà de <math>\mathrm{A}</math>. Alors, <math>\mathrm{ZM}</math> seulement sera nul, et <math>\mathrm{ZN}</math> tombera hors de l’angle <math>\mathrm{BAC}.</math>
<math>\mathrm{ZM}</math> seulement sera nul, et <math>\mathrm{ZN}</math> tombera hors de l’angle <math>\mathrm{BAC}.</math>


Résumons présentement les différens cas que nous venons d’analiser.
Résumons présentement les différens cas que nous venons d’analiser.


1.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les deux canaux, est moindre que <math>60^\circ</math>
1.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les deux canaux, est moindre que <math>60^\circ</math>
(fig. 5), les deux ponts devront être les pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires <math>\mathrm{OM}</math> et <math>\mathrm{ON}</math> abaissées de la ville sur leurs directions ; ces perpendiculaires elles-mêmes seront les directions des routes qui devront
(fig. 5), les deux ponts devront être les pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires <math>\mathrm{OM}</math> et <math>\mathrm{ON}</math> abaissées de la ville sur leurs directions ; ces perpendiculaires elles-mêmes seront les directions des routes qui devront unir la ville aux deux ponts, et dont la longueur totale sera
{{c|<math>2(a\operatorname{Cos}.\tfrac{1}{2}\gamma+b\operatorname{Sin}.\tfrac{1}{2}\gamma)\operatorname{Sin}.\tfrac{1}{2}\gamma.</math>}}
unir la ville aux deux ponts, et dont la longueur totale sera
{{c|<math>2(a\operatorname{Cos}.\tfrac{1}{2}\gamma+b\operatorname{Sin}.\tfrac{1}{2}\gamma)\operatorname{Sin}.\tfrac{1}{2}\gamma.</math> }}


2.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les directions des deux canaux, est de <math>60^\circ</math> (fig. 4) ; en faisant passer par la ville une parallèle <math>\mathrm{OK}</math> à la droite <math>\mathrm{AD}</math> qui divise cet angle en deux parties égales, et prenant arbitrairement sur cette droite un point <math>\mathrm{Z}</math> entre <math>\mathrm{O}</math> et <math>\mathrm{K}</math>, les ponts pourront être établis aux pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires abaissées du point <math>\mathrm{Z}</math> sur les directions des canaux, et ces perpendiculaires avec la droite <math>\mathrm{ZO}</math> seront les directions des branches de route qui joindront la ville aux deux ponts. La longueur totale de la route à construire aura encore ici pour expression, comme dans le premier cas,
2.° Si l’angle <math>\mathrm{BAC}</math>, formé par les directions des deux canaux,
est de <math>60^\circ</math> (fig. 4) ; en faisant passer par la ville une parallèle <math>\mathrm{OK}</math>
à la droite <math>\mathrm{AD}</math> qui divise cet angle en deux parties égales, et prenant
arbitrairement sur cette droite un point <math>\mathrm{Z}</math> entre <math>\mathrm{O}</math> et <math>\mathrm{K}</math>, les ponts
pourront être établis aux pieds <math>\mathrm{M}</math> et <math>\mathrm{N}</math> des perpendiculaires abaissées
du point <math>\mathrm{Z}</math> sur les directions des canaux, et ces perpendiculaires avec
la droite <math>\mathrm{ZO}</math> seront les directions des branches de route qui joindront
la ville aux deux ponts. La longueur totale de la route à construire
aura encore ici pour expression, comme dans le premier cas,

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RÉSOLUES.


expliqué (fig. 7), en sorte que sera zéro. Il y a cependant des exceptions que nous allons expliquer.

Soient toujours (fig. 8) l’angle donné, et le point donné, et soit mené  ; si l’on a , la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché en  ; de manière que les deux distances et s’évanouiront.

Si l’on a (fig. 8) la construction expliquée (fig. 7) fera tomber le point cherché sur le prolongement de au-delà de  ; mais, comme alors la distance deviendra négative, cette solution ne pourra être admise ; il faudra donc, comme dans le cas précédent, laisser le point cherché en .

Si cependant, dans ce cas, l’angle est obtus (fig. 9), le point devra être établi à l’intersection de avec la perpendiculaire abaissée du point sur le prolongement de au-delà de . Alors, seulement sera nul, et tombera hors de l’angle

Résumons présentement les différens cas que nous venons d’analiser.

1.° Si l’angle , formé par les deux canaux, est moindre que (fig. 5), les deux ponts devront être les pieds et des perpendiculaires et abaissées de la ville sur leurs directions ; ces perpendiculaires elles-mêmes seront les directions des routes qui devront unir la ville aux deux ponts, et dont la longueur totale sera

2.° Si l’angle , formé par les directions des deux canaux, est de (fig. 4) ; en faisant passer par la ville une parallèle à la droite qui divise cet angle en deux parties égales, et prenant arbitrairement sur cette droite un point entre et , les ponts pourront être établis aux pieds et des perpendiculaires abaissées du point sur les directions des canaux, et ces perpendiculaires avec la droite seront les directions des branches de route qui joindront la ville aux deux ponts. La longueur totale de la route à construire aura encore ici pour expression, comme dans le premier cas,