Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section/Tome 1/Texte entier

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AVERTISSEMENT.




On sait que les grands écoulements fluides, tels qu’ils se produisent dans les tuyaux de conduite et les canaux découverts, n’ont longtemps offert aux géomètres, même quand un lit régulier y assure l’uniformité du régime, qu’une énigme désespérante, suivant le mot de l’un de ceux qui s’étaient le plus longtemps et le plus obstinément appliqués à les comprendre, l’illustre Barré de Saint-Venant, célèbre par sa belle solution des problèmes de la torsion et de la flexion des prismes. Même en 1865, alors que les études expérimentales si nettes et si étendues de Darcy et de M. Bazin, d’ailleurs précédées de bien d’autres non moins judicieuses et profondes, celles de du Buat notamment, faisaient connaître les lois générales de ces écoulements, si importantes dans la pratique de l’art de l’ingénieur, M. Bazin pouvait dire, vers la fin de l’Introduction à ses Recherches hydrauliques : « La question se complique et s’obscurcit davantage, à mesure que de nouvelles expériences, plus nombreuses et plus précises, paraîtraient devoir y jeter une plus grande lumière… Nous ne possédons pas encore de notions saines sur les mouvements intérieurs des fluides et sur les actions mutuelles de leurs molécules… ».

La lumière se fit en 1870 seulement, par une mise en compte très simple de l’influence que l’agitation tourbillonnaire inséparable des écoulements considérés exerce sur le mouvement moyen local, c’est-à-dire sur la translation des particules fluides, seule intéressante pour l’hydraulicien. C’est dans la première Partie d’un Volume intitulé Éssai sur la théorie des eaux courantes, que fut exposée la théorie dont il s’agit. Mais ce Volume est épuisé ; et, d ailleurs, l’Auteur, appelé de temps à autre à porter son attention sur ces questions, par son enseignement de la Sorbonne, a pu y introduire un certain nombre d’aperçus nouveaux, sans compter, dans les démonstrations, quelques simplifications importantes : ce qui lui faisait un devoir de rajeunir toute la théorie, en la réduisant au maximum de simplicité.

Tel est le but de la présente publication, née à l’occasion de récentes expériences de M. Bazin sur la distribution des vitesses dans les tuyaux de conduite, qui achèvent d’éclaircir un point douteux (au sujet des deux modes comparés de l’écoulement soit dans une conduite forcée, soit à ciel ouvert) et qui permettent de préciser encore d’autres particularités délicates.



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§ I. — Objet de ce Mémoire.


» 1. Depuis les années 1870 et 1872, où ont été ramenées à des formules simples et vraisemblables du frottement tant intérieur qu’extérieur[1] les lois du régime uniforme des grands courants liquides, telles que Darcy, en 1854, mais surtout M. Bazin, en 1863, les avaient dégagées de leurs nombreuses et précises observations[2], aucune donnée expérimentale ou théorique de quelque intérêt, concernant les vitesses relatives ou les actions mutuelles des filets fluides, n’était venue s’ajouter aux notions déjà acquises dans ce problème capital de l’Hydraulique. Il restait cependant à y éclaircir un important détail, au sujet de l’écoulement dans un tuyau de conduite, soit plein de liquide, soit rempli seulement jusqu’à mi-hauteur des sections, ou plutôt remplacé alors par un canal demi-circulaire découvert, coulant à pleins bords. Darcy ayant mesuré, dans le premier cas, la vitesse au centre des sections (où elle acquiert son maximum ), au tiers des rayons et à leurs deux tiers, avait cru pouvoir conclure que sa diminution aux distances croissantes de l’axe était comme la puissance de ces distances. Or, dans le second cas, M. Bazin, après avoir multiplié, sur des canaux demi-circulaires, le mesurage des vitesses surtout aux grandes distances de l’axe, là où s’accuse le plus le décroissement considéré et où d’ailleurs ne se font plus guère sentir (à des profondeurs suffisantes) les inévitables troubles de la surface libre, à partir du filer superficiel moyen ou central, proportionnelles au cube de la distance à ce filet.

» Il est vrai que le désaccord des deux formules ne devenait bien sensible, vu leurs coefficients numériques obtenus, que dans la région des tuyaux non observée, c’est-à-dire aux distances supérieures à Mais il n’en était pas moins désirable de contrôler directement et de compléter les résultats de Darcy par des observations assez nombreuses sur une conduite de grande diamètre. C’est ce que vient de faire[3], avec toute la précision possible, M. Bazin, sur un tuyau circulaire en ciment de 0m,40 de rayon et 80m de longueur, où le régime uniforme se trouvait parfaitement établi dès le milieu de la longueur ; et ses observations, tout en confirmant comme loi approchée la proportionnalité de la différence au cube ont rendu possible un degré de plus d’approximation dans le calcul de cette différence.

» Le présent travail a pour principal objet de formuler cette deuxième approximation et d’en déduire quelques conséquences au sujet tant du débit que des frottements intérieurs. Toutefois, je reprendrai, à cette occasion, la théorie même du régime uniforme dans les écoulements tumultueux, afin d’y introduire quelques simplifications et aperçus faisant partie depuis plusieurs années de mon enseignement à la Sorbonne, mais non publiés encore.


§ II — Des vitesses, accélérations et déformations moyennes locales.


» 2. Je rappelle d’abord que, dans une masse fluide suffisamment large et profonde qui commence à couler entre des parois quelconques, les moindres déviations causées par leurs rugosités, même imperceptibles, ou par les plus légères irrégularités du mouvement à l’entrée, etc., entraînent des chocs, des tourbillonnements, qui se communiquent d’une particule à l’autre, se multiplient dès que la vitesse est sensible, et sillonnent bientôt en tous sens la masse. Ils y produisent ainsi une agitation irrégulièrement périodique (pouls du courant), dont l’amplitude et la fréquence définissent en quelque sorte son intensité, comme la température d’un corps mesure le degré de son imperceptible agitation calorifique.

» Il en résulte la nécessité de distinguer deux parties, à propriétés très différentes, dans les vitesses et les accélérations, soit suivant chaque axe, soit totales, tant d’une même particule fluide, considérée aux divers endroits où elle passe durant un court instant, que des particules observées dans un même petit espace à la fois ou successivement pendant un temps assez bref. La première de ces parties, seule importante pour l’hydraulicien (car c’est elle qu’enregistrent principalement les appareils hydrométriques et elle seule qui correspond à l’écoulement), est la moyenne des valeurs de la vitesse ou de l’accélération en question, moyenne locale constituant une vitesse ou une accélération graduellement variables d’une particule à ses voisines et d’un instant à l’autre, c’est-à-dire susceptibles d’être exprimées par des fonctions régulières et relativement simples de La seconde, au contraire, bien que généralement plus petite que la première (du moins quand c’est une vitesse), change très vite avec mais dans des sens contraires pour des valeurs peu différentes des variables, de manière à être nulle en moyenne, suivant chaque axe, dans tout intervalle de grandeur médiocre et à avoir cependant de très fortes dérivées, mais nulles aussi en moyenne ; c’est une vitesse ou accélération non d’écoulement, mais de pure agitation sur place.


» 3. Donc, en désignant par les composantes, suivant les axes, de la vitesse moyenne locale en et par les petites composantes de la vitesse irrégulière ou d’agitation, les six vitesses élémentaires (par rapport aux ) de dilatation et de glissement d’une particule à l’époque savoir

pourront s’écrire
(1)


si l’on appelle leurs parties graduellement variables

(2)


parties beaucoup plus petites que celles d’agitation, mais seules différentes de zéro en moyenne.

» Or c’est justement de ces vitesses actuelles (1) de dilatation et de glissement, en même temps que de la température et de la densité actuelles de la particule (supposée sans viscosité appréciable), que dépendent les écarts existant entre la contexture interne effective de la particule et sa contexture élastique ou isotrope à la même température et à la même densité, écarts en rapport avec la rapidité actuelle des déformations, qui ne laisse pas le temps à la particule de refaire son isotropie sans cesse troublée par la continuation du mouvement relatif de sa matière[4].


§ III — Pressions moyennes locales.


» 4. Par suite, les six pressions élémentaires (relatives aux axes) exercées à l’intérieur de la particule comprennent, outre leur partie élastique fonction de seulement, égale à et nulle dans une partie non élastique, dépendant encore de mais aussi des six variables (1), et s’annulant avec elles. Dans les mouvements bien continus, c’est-à-dire sans agitation, et dans ceux à faible agitation (écoulement le long des tubes fins, petites oscillations, etc.) où les variables (1) sont seulement de l’ordre de leurs parties bien continues ces six fonctions peuvent se développer suivant les puissances des variables (1) par la formule de Mac-Laurin bornée aux termes du premier degré ; et lorsqu’on prend ensuite les moyennes de leurs valeurs sur de petites étendues, ou durant de petits temps en un même endroit pour avoir les pressions moyennes locales, les déformations d’agitation, nulles en moyenne, s’en éliminent, n’y laissant subsister aucune autre vitesse de déformation que celles d’écoulement avec des coefficients fonctions seulement de ou même plutôt des valeurs moyennes locales de parties de indépendantes de l’agitation. Car s’il y avait (ce qui n’est pas impossible), dans la température et la densité, de petites parties d’agitation, en sus de leurs moyennes locales la pression élastique et les coefficients en question, développés suivant donneraient en des termes linéaires, nuls en moyenne, ou dont les produits par les vitesses de déformation pourraient alors être négligés comme non linéaires.

» Mais ici où les six vitesses de déformation (1) ont leurs premières parties en ' considérables, c’est seulement suivant leurs autres parties très petites en comparaison, qu’on peut développer linéairement les six fonctions et lorsqu’on prend ensuite leurs moyennes, sur de faibles étendues et durant de courts instants où les ne varient pas, les coefficients de ces vitesses graduelles de déformation toujours dépendants, dans les pressions moyennes locales obtenues des densité et température moyennes locales ne sont fonctions, pour un même élément plan, des vitesses d’agitation autour de et des variations concomitantes de la densité et de la température, que par certains de leurs caractères généraux où n’entrent pas plus leurs valeurs individuelles à un instant et en un point qu’aux autres voisins dans tout un intervalle où leurs moyennes sont nulles. Quoi qu’il en soit, ces coefficients ne sont fonctions que des deux variables définissant l’état élastique moyen local et, en outre, de l’agitation, telle qu’elle est durant un court instant dans une petite étendue entourant le point


» 5. D’ailleurs, si l’on considère les relations usuelles, déduites des formules de transformation des coordonnées, qui existent entre les vitesses de déformation (dilatations et glissements) relatives aux divers systèmes possibles d’axes, et les formules analogues qui relient les pressions subies par les éléments plans correspondants suivant leurs intersections mutuelles, ou encore les relations plus simples (dont celles-là se déduisent) existant entre et les trois composantes de la pression exercée sur un élément plan de direction quelconque, toutes ces formules sont linéaires et homogènes par rapport aux vitesses de déformation ou aux composantes de pression, avec des coefficients fonctions seulement des directions des divers axes et éléments plans considérés : de sorte qu’on en prend immédiatement les moyennes, pour des espaces ou des instants voisins, sans avoir à modifier ces coefficients, mais par la simple substitution, à chaque vitesse de déformation ou composante de pression, de sa valeur moyenne locale. Toutes ces formules s’appliquent donc aux déformations et pressions moyennes locales, puis même, par soustraction de celles-ci d’avec les déformations ou pressions individuelles, aux déformations et pressions d’agitation, qu’on n’aura pas, il est vrai, à considérer.

» Et leurs conséquences s’étendent à chacune de ces sortes de pressions ou vitesses de déformations, notamment celles qui concernent l’existence, en chaque point et à chaque instant, de trois éléments plans matériels principaux, rectangulaires entre eux, de part et d’autre desquels les déformations se font symétriquement durant l’instant et de trois éléments plans analogues (orthostatiques) sur lesquels les pressions sont normales.


» 6. Cela posé, comme on peut concevoir quelconques, à chaque instant, les six déformations élémentaires imprimées soit à une particule de matière, soit aux particules venant passer en un même endroit et qu’il en est par suite de même tant de leurs moyennes que de leurs excédents à chaque instant sur leurs moyennes (sous la seule condition que ceux-ci aient dès lors leurs propres moyennes nulles), les déformations d’agitation sont complètement indépendantes des déformations moyennes locales dans les formules des pressions.

» Cette indépendance subsiste même quand, supposant le fluide incompressible (ce qui n’est nullement obligé, même pour un liquide), on s’impose de ne choisir que des déformations compatibles avec la conservation parfaite des volumes aux divers instants. En effet, celle-ci revient, comme on sait, à établir, entre les vitesses effectives de dilatation dans les sens des axes, la relation linéaire

(3)

» Prenons, pour l’en retrancher ensuite, la valeur moyenne locale des termes, qui donne évidemment

(4)


il vient

(5)

» Or ces formules expriment que les vitesses moyennes locales prises séparément, et les vitesses d’agitation prises aussi séparément, vérifient, tant les unes que les autres, cette condition de conservation des volumes, si on les suppose se produisant aux divers points de l’espace, comme elles s’y produisent ensemble dans le mouvement effectif. Donc la relation (3) se dédouble en deux autres (4), (5), où les déformations d’agitation ne sont pas mêlées à celles du mouvement moyen local : en sorte que l’indépendance mutuelle de ces deux catégories de déformation subsiste.

» Nous pourrons ainsi, dans un petit espace entourant le point faire correspondre successivement toutes sortes de déformations moyennes locales à un même système de déformations d’agitation, entraînant par suite les mêmes petites parties accidentelles nulles en moyenne, de la densité et de la température.


§ IV. — Formules des pressions moyennes locales et équations indéfinies du mouvement


» 7. Imaginons, de la sorte, qu’un élément plan quelconque, par exemple celui qui est normal aux et sur lequel les composantes de la pression moyenne locale sont devienne principal au point de vue des déformations moyennes locales, c’est-à-dire tel, que l’on y ait Cela signifiera que les couches fluides de la particule normales aux n’éprouvent aucun glissement moyen local les unes devant les autres, les files de molécules parallèles aux ne s’inclinant pas plus souvent ni en plus d’endroits sur ces couches dans certains sens que dans les sens contraires. Autrement dit, les déformations actuelles se feront, en moyenne, symétriquement de part et d’autre de ces couches ; et les écarts moléculaires auxquels elles donneront lieu, entre la contexture idéale ou élastique de la particule pour les densité et température et sa contexture effective, ne pourront qu’être aussi, en moyenne, symétrique par rapport aux mêmes couches, si le fluide est pareillement constitué en tous sens dans l’état élastique. D’où il suit que les pressions moyennes locales égales et contraires, exercées sur les deux faces d’une couche, ne pourront aussi qu’être symétriques l’une de l’autre et normales à la couche.

» Mais plaçons-nous dans le cas exceptionnel où il s’agirait d’un fluide doué du pouvoir rotatoire, dont l’état élastique serait seulement isotrope et non symétrique, c’est-à-dire serait pareil relativement à tous les systèmes d’axes des qui se déduisent de l’un d’eux par une rotation quelconque du trièdre des coordonnées positives (sans échange de nom entre deux d’entre elles), ou pareil relativement à toutes les orientations possibles d’un observateur, auquel il offrirait cependant un aspect non symétrique à sa droite et à sa gauche. Alors on peut toujours remarquer que les déformations moyennes locales seront vues se faire de même, sur un côté quelconque d’une couche normale aux par deux observateurs ayant les pieds sur cette couche et tournés dos à dos, c’est-à-dire ayant deux orientations, autour de la normale, différentes de 180 degrés : en sorte que les écarts moléculaires entre l’état élastique et l’état effectif doivent leur paraître aussi moyennement pareil et, par suite, la pression moyenne locale exercée, à leurs pieds, sur l’élément plan normal aux pareillement située relativement à eux, c’est-à-dire normale à l’élément.

» En résumé, que le fluide soit ou non symétrique, comme il est toujours isotrope dans l’état élastique, l’on est conduit à admettre que tout élément plan principal, au point de vue des déformations moyennes locales, est aussi principal au point de vue des pressions moyennes locales, c’est-à-dire perpendiculaire à la pression exercée sur lui.


» 8. Mais revenons à notre élément normal aux Nous voyons que les composantes tangentielles de sa pression moyenne locale s’annulent dès que les vitesses de glissement s’annulent elles-mêmes. Donc, si l’on considère, par exemple, son développement linéaire suivant les six quantités indépendantes comprend tout au plus les deux termes en Mais, en considérant également comme composante tangentielle de la pression moyenne locale sur l’élément plan normal aux on verrait de même que ce développement de comprend tout au plus les deux termes en Il se réduit, par conséquent, aux terme affecté de et l’on a, en désignant par un coefficient fonction, d’une part, des densité et température moyennes locales d’autre part, de l’agitation telle qu’elle se produit autour de

(6)


» 9. L’agitation étant toujours supposée, autour de la même que précédemment, faisons varier les six vitesses moyennes locales de déformation de manière que les trois vitesses principales correspondantes de dilatation ou d’extension, auxquelles je donnerai les noms aient dans l’espace trois directions rectangulaires quelconques et prennent d’ailleurs, suivant ces directions, toutes les grandeurs relatives. Les pressions moyennes locales correspondantes également principales comme on a vu, pourront être exprimées dans un système de coordonnées ayant leur direction et puis être développées linéairement suivant les vitesses moyennes locales correspondantes de déformation, qui se réduisent aux trois dilatations Formons ensuite, pour tenir lieu de d’une part, leur moyenne arithmétique changée de signe (pression moyenne), que nous appellerons d’autre part, leurs demi-différences respectives Ce seront, avec des coefficients dépendant de et de l’agitation, quatre fonctions linéaires des trois variables ou, encore, de leur somme (vitesse de dilatation cubique) et de deux quelconques de leurs différences à somme algébrique nulle.

» Or, quand une de ces différences, celle de et par exemple, s’annule, on sait que toutes les directions comprises dans le plan des dilatations correspondantes sont principales au point de vue des déformations ; ce qui entraîne qu’elles le soient aussi pour les pressions et que l’ellipsoïde d’élasticité, devenu de révolution autour de ou de donne Donc la demi-différence que l’on peut concevoir exprimée en fonction linéaire de et de se réduit au terme affecté de math>\mathrm{D}_2-\mathrm{D}_3\ ;</math> et, en considérant aussi les deux autres demi-différences analogues, l’on a des formules comme

(7)


sont trois coefficients indépendants de

» La somme des formules (7) donne

» Comme cette relation a lieu quels que soient les rapports mutuels des deux différences arbitraires il en résulte


et les trois formules (7) reviennent à poser l’égalité continue

(8)


» 10. Si l’on appelle les cosinus directeurs de ceux de ceux de les formules connues, pour exprimer soit les six déformations soit les six pressions relatives aux axes des en fonction des déformations ou pressions analogues, relatives aux directions principales correspondantes et réduites à ou à donnent, d’une part, comme on sait,

(9)


d’une part, avec presque autant de facilité,

(10)

» Il en résulte immédiatement, vu l’égalité des rapports (8),

(11)


» 11. La valeur commune des six premiers rapports (11), étant en particulier celle du sixième d’entre eux, se confond avec le coefficient de la formule (6), et elle se trouve dès lors complètement indépendante de la manière dont sont orientées les trois vitesses principales de dilatation dans le mouvement moyen local. Mais on voit, par les formules (8) et (10), appliquées (avec d’autres valeurs des cosinus ) au passage du système des directions principales à un système quelconque d’axes rectangulaires, que ce coefficient serait encore le même si l’on rapportait le mouvement à des coordonnées rectangles arbitraires, de sorte qu’il constitue un coefficient de frottement intérieur dépendant des déformation d’agitation au point considéré sans dépendre nu de leurs valeurs à un instant plus qu’aux instants voisins, ni des angles de leurs directions ou de leurs plans avec aucuns autres. Et il resterait encore le même, par suite de l’isotropie du fluide à l’état élastique, si le système de déformations constituant l’agitation était autrement orienté dans l’espace.

» Il exprime d’ailleurs le rapport de quantités graduellement variables en comme et etc., et il est par suite, graduellement variable lui-même, très différent en cela des déformations d’agitation qui cependant le constituent. Il n’est donc fonction de celles-ci qu’à la manière d’une moyenne locale, où se confondent leurs détails tant de direction que de grandeur ; et l’on peut dire qu’il dépend uniquement (à part les variables de l’état élastique moyen local) du degré actuel moyen d’intensité de l’agitation au point considéré, comme les coefficients évaluant les propriétés physiques d’un corps dépendent en général du degré de son imperceptible agitation calorifique appelé température. Le degré de l’agitation sera comme une sorte de température de l’écoulement, plus grossière que la température proprement dite, et englobant peut-être les deux principaux attributs du pouls d’un cours d’eau, amplitude et fréquence, comme la température implique à la fois, par son élévation, l’amplitude du mouvement calorifique et la période de ses vibrations, du moins les plus multipliées.

» L’agitation paraît donc devoir à son extrême irrégularité la propriété d’influer sur les qualités mécaniques d’une particule fluide sans altérer en moyenne son isotropie, et elle se comporte comme si, en un court moment, elle présentait les mêmes circonstances générales par rapport à tous les systèmes d’axes qu’une rotation quelconque déduit d’un premier système rectangulaire des


» 12. Cela étant admis, le développement linéaire de la pression moyenne suivant et ne peut contenir les termes en et qui changent de signe, tandis que reste invariable, quand on permute et ou et c’est-à-dire quand on fait tourner de 90°, autour de la dilatation principale ou de la dilatation principale le système d’axes rectangulaires constitué par les directions de Donc la pression moyenne c’est-à-dire ne dépendra des vitesses moyennes locales de déformation que pour un terme proportionnel au trinôme c’est-à-dire à la vitesse actuelle avec laquelle se dilate, dans le mouvement moyen local, le volume des particules fluides considérées. Et le coefficient de ce terme sera d’ailleurs, tout comme la partie de indépendante du mouvement moyen local, fonction des deux variables et du degré d’agitation.

» Mais, vu l’ordinaire petitesse (du moins dans les fluides sans viscosité appréciable) des parties non élastiques des pressions, comparativement à la pression élastique ou normale de repos, la pression moyenne ne différera que peu de la pression élastique pour mêmes densité et température moyennes locales et l’on n'aura à peu près jamais besoin de l’en distinguer.


» 13. Si l’agitation s’affaiblissait au point que les déformations effectives ou totales devinssent seulement de l’ordre des le coefficient du frottement intérieur, et celui qui affecte dans ne dépendraient plus que de En effet, nos raisonnements s’appliquent évidemment à ce cas limite, où l’agitation s’élimine, comme nous avons vu, des dormules des pressions moyennes locales. Le coefficient en particulier, se réduirait donc alors à sa valeur déduite des expériences de Poiseuille sur l’écoulement dans les tubes fins et qui est, pour l’eau à 10°C., les unités de temps et de longueur étant la seconde et le mètre.


» 14. La comparaison des six premiers membres de (11) au septième fait connaître les formules définitives de et si l’on observe d’ailleurs que les trois composantes normales de pression s’expriment immédiatement en fonction linéire de leur moyenne arithmétique et du tiers de leurs différences respectives il vient, pour représenter les pressions moyennes locales au moyen de du coefficient de frottement intérieur et des vitesses moyennes locales de déformation, les triples formules

(12)

» Le second terme de en s’y trouvera évidemment négligeable, à côté des autres termes en dans les mouvements où les changements de forme des particules seront incomparablement plus grands que ceux de leur volume, notamment dans tous les écoulements de liquides, et même dans les écoulements de gaz sous des différences de pressions assez petites par rapport à la pression elle-même.

» Après avoir substitué, dans (12), les valeurs (2) des vitesses de déformation, on portera ces expressions des forces dans les équations indéfinies du mouvement moyen local,

(13)


sont les composantes de la pesanteur et celles de l’accélération moyenne locale, exprimables en et leurs dérivées à la manière ordinaire. L’on aura ainsi, sous forme explicite en les trois équations indéfinies du mouvement, si l’on parvient à connaître le mode de variation de en fonction des données du problème.


§ v. — Expression du frottement extérieur et conditions relatives aux surfaces limites.


» 15. À la surface limite du fluide, les trois composantes, suivant les axes, de la pression moyenne locale de celui-ci sur sa couche superficielle, exprimées par les formules habituelles en fonction linéaire des égaleront les composantes contraires de l’action du milieu extérieur sur la même couche.

» Quand le milieur extérieur est une paroi fixe, l’ignorance où l’on est de la composante normale de sa pression se trouve suppléée par la connaissance de la composante analogue de vitesse, alors nulle. Mais on ne peut se dispenser d’avoir une formule de ses composantes tangentielles, c’est-à-dire du frottement extérieur opposé en direction au glissement sur la paroi, des couches fluides presque contiguës, plus intérieurs toutefois que la couche extrêmement mince immobilisée par adhésion à la paroi. Si l’on prend celle d’entre elles qui sont à une distance de la paroi à peine perceptible, et néanmoins suffisante pour que leur vitesse moyenne locale n’éprouve plus de l’une à l’autre le très rapide accroissement local dû à leur voisinage même de la couche immobilisée, la vitesse à très peu près la même sur une épaisseur sensible, y sera ce que les hydrauliciens appellent la vitesse à la paroi.

» C’est surtout d’elle et du degré de rugosité de la paroi, que dépendra dans les mouvements tumultueux le frottement extérieur par unité d’aire. En effet, à travers la mince couche fluide tapissant la paroi et immobilisée sur une épaisseur imperceptible, les rugosités subissent, par leur côté exposé au courant, l’impulsion vive ou le choc des particules intérieures qu’elles dévient, dont chacune les presse d’autant plus, suivant le sens de la vitesse moyenne locale qu’elles sont plus grosses et qu’elles est elle-même, à volume égal, plus massive ou d’un poids proportionnel plus fort, et, en outre, animée d’une vitesse plus grande, l’impulsion ou pression totale produite ainsi sur l’unité d’aire de la paroi étant, d’ailleurs, d’autant plus forte encore que les rugosités sont plus multipliées et qu’il y passe devant chacune plus de particules fluides par unité de temps, ou que la vitesse est plus grande.

» Le frottement dû à ces impulsions ou, encore, à l’aspiration corrélative (dite non-pression) qu’elles provoquent sur la face aval et protégée des aspérités, sera donc, d’une part, proportionnel aux deux facteurs constituant en quelque sorte, par leur produit, le degré de rugosité, savoir fréquence et ampleur des inégalités de la paroi ; d’autre part, proportionnel deux fois à la vitesse à la paroi et une fois au poids de l’unité de volume du fluide, en admettant, ce qui est l’hypothèse la plus naturelle et la plus simple, que chaque circonstance quantitative distincte dont l’annulation entraînerait celle de l’impulsion soit en raison directe de celle-ci [5].

» 16. Si donc désigne un coefficient très notablement croissant avec le degré de rugosité, l’on aura une formule comme pour exprimer la partie du frottement extérieur due à l’impulsion des particules contre la paroi et liée aux petites sinuosités de leurs trajectoires, c’est-à-dire, en définitive, à l’agitation du fluide. Or, dans les écoulements tumultueux où la vitesse à la paroi sera un peu grande, cette partie principale du frottement extérieur masquera complètement l’autre partie qui seule le constituerait dans des mouvements bien continus, c’est-à-dire celle que donnerait la composante, suivant le sens général de l’écoulement tout autour, du frottement de la couche immobilisée, sur le fluide intérieur, si celui-ci prenait des mouvements réguliers tout en conservant la même vitesse moyenne locale à la distance de la paroi où cette vitesse se produit effectivement. En effet, dans un tube capillaire où pareille vitesse s’observerait à pareille distance de la paroi, mais avec mouvements bien continus, le frottement extérieur ne serait certainement presque rien à côté de ce qu’il est dans le lit à grande section considéré ici.

» Nous aurons donc, pour l’expression approchée du frottement d’une paroi,

(14)

» 17. À une surface libre, où le milieu extérieur sera une atmosphère très mobile et très peu dense, presque sans inertie, l’extrême facilité qu’aura le liquide sous-jacent à l’entraîner empêchera le frottement d’acquérir des valeurs sensibles ; et l’on aura ou dans la formule (14), encore applicable ainsi.

» L’action du liquide sur sa couche superficielle se réduira donc à sa composante normale, que l’on égalera à la pression donnée de l’atmosphère ; et, inversement à ce qui arrivait auprès d’une paroi fixe, la connaissance de cette pression suppléera à celle de la vitesse de déplacement de la surface, c’est-à-dire à la connaissance de la composante de la vitesse moyenne locale, suivant le sens normal.

» 18. D’ailleurs, l’expérience montre que la liberté même de la surface, ou le peu de résistance du gaz extérieur aux déplacements brusques, entraîne, surtout dans les couches liquides supérieures, des perturbations incessantes, cause d’extrêmes complications dans le mode de variation des vitesses.

» Toutefois, ces perturbations et complications paraissent n’altérer les vitesses moyennes locales que de quantités peu appréciables, et en quelque sorte de second ordre de petitesse. C’est ce qu’ont prouvé des observations comparatives très précises du débit, faites par M. Bazin, dans des canaux et des tuyaux à sections rectangulaires de mêmes contours mouillés par unité d’aire et de même largeur, où il a été impossible de constater aucune influence, sur la vitesse moyenne, des perturbations signalées[6]. Mais, comme des variations locales du second ordre de petitesse, chez une fonction de point, suffisent pour y changer de quantités du premier ordre la situation d’un maximum ou minimum, ces perturbations déplacent d’une manière très sensible le filet le plus rapide. Elles l’abaissent au-dessous de la surface, et d’autant plus que la section est moins large comparativement à sa profondeur, comme si le voisinage de cette surface libre déterminait un léger accroissement de l’agitation et du coefficient sur le haut des parois latérales.

» Mais la suite prouvera que nous pourrons, sans grand inconvénient, négliger ces perturbations compliquées.


§ vi. — Formules du coefficient des frottements intérieurs dans un régime graduellement varié.


» 19. Il ne nous reste plus, pour avoir mis complètement le problème en équation, qu’à savoir comment variera le coefficient des frottements intérieurs. Et d’abord les écoulements étudiés se feront à température constant, ce qui dispensera d’y considérer la variable Quant à la densité qui n’y changera que très peu, ces légers changements le feront ils varier autant qu’ils modifient la pression élastique ou moyenne  ? Des expériences de du Buat, Darcy, etc., ont prouvé, comme on sait, qu’il n’en est rien et que les frottements provoqués par les mêmes mouvements relatifs de couches fluides voisines ne sont pas plus grands sous forte pression que sous une pression presque nulle. Et on le conçoit. Car, si le fluide donné se dilate, chacun de ses groupes moléculaires s’étale dans un plus grand espace, où les écarts absolus entre la contexture interne élastique et la contexture interne effective ont plus de champ pour se produire, donc aussi plus d’amplitude, à égales rapidités de déformation ; d’où suivent, entre molécules prises en même nombre, des frottements intérieurs plus forts. Mais, par contre, il y a, aux distances où les frottements se produisent, moins de molécules de part et d’autre d’un élément plan d’étendue donnée, et, par conséquent, un nombre moindre d’actions élémentaires à travers son unité de surface. L’on s’explique que ces deux causes contraires se compensent sensiblement, surtout dans les si étroites limites où varie la densité des liquides.

» Le degré d’agitation, voilà la vraie variable dont dépend. L’observation, même la plus superficielle, des grands écoulements, comparés à ceux qu’offrent les tubes capillaires et dont les lois ont été données par Poiseuille, montre que la valeur de ce coefficient pour des mouvements bien continus n’est presque rien par rapport à celles qu’il prend dès que l’agitation devient notable. Nous pourrons donc le supposer nul avec elle et proportionnel à chacune des circonstances quantitatives indispensables pour la produire, conformément au principe de bon sens déjà émis à propos du frottement extérieur, qui consiste à adopter dans chaque cas l’hypothèse la plus naturelle et la plus simple, sous la réserve du contrôle ultérieur de l’observation.

» 20. Cela admis, supposons le lit de notre courant fluide assez voisin de la forme cylindrique ou prismatique pour que les vitesses moyennes locales aient pu devenir, sur une grande longueur, presque parallèles à une même direction, suivant laquelle on prendra les positifs. Les vitesses latérales ou transversales seront donc, comparativement à la vitesse longitudinale des quantités du premier ordre de petitesse, ayant leurs carrés et produits négligeables ; et, comme toutes ces vitesses ne changeront dans un rapport sensible qu’au bout de temps assez longs ou sur de grands parcours, l’on pourra négliger aussi les accélérations et les dérivées en tandis que l’accélération longitudinale et la dérivée de en seront du premier ordre de petitesse.

» Un tel régime est dit graduellement varié. Nous y appellerons la section du fluide, sensiblement normale, faite parallèlement aux par le plan d’abscisse et le contour mouillé de cette section, c’est-à-dire la portion de son contour total occupée par les parois.

» 21. L’agitation se formant surtout près de celles-ci, voyons quels éléments essentiels concourent à faire naître celle qui se produit, en un point quelconque de sur un rectangle élémentaire de paroi. Et d’abord, une certaine vitesse moyenne locale à la paroi, que nous pourrons confondre avec sa composante y sera nécessaire ; car sans cette vitesse, sans quelque énergie translatoire, aux dépens de laquelle puisse s’engendrer la demi-force vive d’agitation, celle-ci ne naîtrait pas. En effet, des expériences de Darcv, Osborne Revnolds, M. Couette, ont montré que les mouvements sont bien continus, même dans des tubes de plus d’un centimètre carré de section (mais polis), jusqu’à une limite supérieure de vitesse qui est inverse du diamètre.

» De plus, comme le prouve cette dernière loi, une certaine ampleur de la section, une certaine aire occupée par le fluide au devant ou en face de l’élément du contour, et par unité de sa longueur n’est pas moins indispensable ; car elle seule donne du jeu au ballottement du fluide, aux mouvements oscillatoires normaux à la paroi, qui provoquent et puis entretiennent l’agitation en écartant ou rapprochant de la paroi les particules affluentes dans le voisinage et en les faisant, dès lors, par leur engrènement avec les inégalités de celle-ci tour à tour diminué et accru, tournoyer en sens divers.

» 22. Il y a quatre cas simples où, par raison de symétrie, la vitesse à la paroi, que nous appellerons alors est la même sur tout le contour mouillé et où, de plus, l’aire de la section se répartit pareillement entre tous les éléments égaux de ce contour ou en face de chacun d’eux dans l’espace qu’interceptent les normales issues de ses extrémités ; de manière qu’il en corresponde à tous d’égales portions et que l’ampleur soit constante, égale par conséquent au rayon moyen Ce sont, d’une part, les deux cas, où l’influence des bords est négligeable, d’un canal rectangulaire très large, d’une profondeur donnée et d’un tuyau à section rectangulaire aussi très large, de hauteur double d’autre part, les cas d’un tuyau circulaire, de rayon et d’un canal demi-circulaire de largeur coulant à pleins bords.

» L’agitation créée à la paroi, ou plutôt son influence sur la valeur de y sera donc proportionnelle à et au rayon moyen ou


» 23. Les inégalités de la paroi, qui provoquent les ballottements et engrènement dont il vient d’être parlé, y interviendront aussi. Mais leur effet sur la masse fluide intérieure considérée ici ne sera pas localisé à une couche mince, comme il arrivait pour l’influence des mêmes inégalités sur le frottement extérieur, et il se trouvera d’autant plus amorti relativement, qu’il sera plus grand et se fera sentir plus loin à l’intérieur. Donc le degré de rugosité entrera comme facteur, dans avec un exposant notablement moindre que dans le coefficient de la formule (14). Autrement dit, devra être proportionnel à une puissance fractionnaire de et l’hypothèse la plus simple que nous puissions faire à cet égard, est de le supposer en raison directe de

» À partir des parois, l’agitation se propage à l’intérieur des sections, sur des plans parallèles au fond ou aux deux bases dans les canaux et tuyaux larges de hauteur ou et sur des cylindres ou demi-cylindres conaxiques de rayons décroissants dans le tuyau circulaire ou le canal demi-circulaire. Il est naturel de supposer que son degré se conserve sensiblement de couche en couche dans les deux premiers cas, où elle ne se concentre suivant le rapport inverse de celui de leurs aires. Enfin, l’on peut admettre à une première approximation que, dans un canal découvert, l’agitation partie du fond ou des bords se réfléchit, en arrivant à la surface libre, de manière à produire, au-dessous de celle-ci, sensiblement les mêmes effets qu’y produirait l’agitation partie de la moitié supérieure des parois, dans un tuyau plein, de même rayon moyen, dont la section comprendrait, outre la proposée sa symétrique par rapport au plan de la surface libre donnée.

» Si donc nous appelons un coefficient indépendant du degré de rugosité des parois, mais pouvant varier avec la nature du fluide, et où, pour simplifier plus loin certaines formules, nous avons mis en facteur le poids de l’unité de volume, sensiblement constant, les expressions approchées de dans les quatre cas simples dont il s’agit, seront

(15)


» 24. Dans les cas de la section circulaire et demi-circulaire, la loi simple d’accroissement de vers l’axe, exprimée par le dernier facteur ne peut plus s’appliquer aux petites distances de l’axe, où elle conduirait à supposer une agitation presque infinie, physiquement inadmissible. Mais elle n’y donne aucun frottement très grand par unité d’aire, vu que la vitesse relative du glissement moyen local des couches y décroît jusqu'à zéro, par raison de continuité et de symétrie. Aussi n’en résulte-t-il, dans le mode de distribution des vitesses, qu’une altération locale à peine perceptible. Il est toutefois désirable, en vue de l’approximation plus grande que rendent possibles les récentes observations, de corriger cette loi trop simple de la proportionnalité inverse de au rapport nous le ferons par la substitution, à ce rapport, d’une fonction un peu différente où la petite partie inconnue restera finie et distincte de zéro sur l’axe. Mais nous serons réduits à la déterminer par les données seules de l’expérience, dans la mesure très imparfaite que permettra leur précision (difficile cependant à surpasser). Nous remplacerons donc, à une deuxième approximation, la seconde formule (15) par celle-ci,

(16)


» 25. Passons au cas plus général de tuyaux ayant leur contour d’une même forme quelconque, définie par une relation donnée entre les rapports des coordonnées de leurs divers points au rayon moyeu et comprenons-y d’ailleurs celui d’un canal découvert, en imaginant alors, comme il a été indiqué ci-dessus, un tuyau de section double où le contour mouillé, double également, se composerait du proposé et de son symétrique par rapport à la surface libre. Pour donner à ces cas toute la généralité possible, supposons même le degré de rugosité ou, par suite, le coefficient du frottement extérieur, variables avec la génératrice considérée de la paroi, c’est-à-dire en fonction arbitraire de et

» Ici, la vitesse à la paroi, encore réductible à sa composante ne sera plus constante le long du contour mouillé mais nous pourrons admettre avec quelque approximation qu’elle y varie d’une certaine manière ou, autrement dit, en appelant sa valeur en un endroit déterminé, par exemple au point le plus bas de qu’elle est partout ailleurs le produit de par une fonction toujours la même de L’ampleur au devant de chaque élément du contour, entre les deux normales menées à ses extrémités et prolongées jusqu’à la rencontre de la surface libre ou du plus grand diamètre (dans une section elliptique), n’égalera plus mais bien le produit de par une autre fonction de Il semble, au reste, difficile, en l’étal actuel de nos connaissances, et sauf dans les sections rectangulaire large et circulaire ou demi-circulaire, de définir cette ampleur aux divers points du contour mouillé vu l’incertitude portant sur les limites de l’aire qui doit constituer son numérateur . Le rayon moyeu sera cependant comme sa valeur moyenne, puisqu’il exprimera le volume fluide existant, dans le courant, par unité de surface des parois, ou l’aire de section normale par unité de longueur du contour mouillé.

» Les trois facteurs distincts caractérisant l’agitation engendrée près du auront donc pour produit l’expression multipliée encore par une fonction analogue. Et comme enfin l’agitation, à partir des parois, se transmettra dans la masse en se concentrant ou se disséminant suivant les mêmes proportions aux points homologues des surfaces-limites, il est naturel qu’on puisse exprimer le rapport de sa valeur en chaque point de à ce qu’elle est au point du fond où et sont et par une certaine fonction positive de la forme la même pour toutes les sections dont il s’agit. Il viendra donc, comme généralisation des formules (15) et (16),

(17)

» Nous aurons plus loin à considérer le produit des deux fonctions, censées connues, prises aux divers points du contour mouillé En appelant ce produit positif, qui se réduit à l’unité dans les cas des formules (15) et (16), nous poserons ainsi

(18) (sur le contour mouillé )


§ vii. — Équations d’un tel régime indispensables pour traiter le cas particulier du régime uniforme.


» 26. Portons l’expression (17) du coefficient de frottement intérieur dans les formules (12) des forces où les ont d’ailleurs les valeurs (2). La petitesse du coefficient rendra négligeables les termes où il multipliera des dérivées de autre que celles de en les seules de grandeur notable. Il viendra donc

(19)

» On en déduit d’abord aisément, à raison de la petitesse des angles faits par les normales à la surface-limite avec les plans des ou des sections que la pression exercée sur la masse fluide par un élément quelconque de sa couche superficielle ne comprend de sensible, à part une partie principale valant et perpendiculaire à la surface, qu’un frottement, dirigé à très peu près suivant les négatifs, et exprimé par est la dérivée de suivant une petite normale tirée, dans le plan de la section sur son contour, à partir du point intérieur voisin que l’on considère. Si désigne l’angle de cette normale, menée ainsi vers le dehors, avec les positifs, on a

(20)

» Près d’une surface libre, le frottement étant nul, la fonction vérifiera donc la condition et égalera la pression constante donnée de l’atmosphère contiguë. Près d’une paroi, où le frottement est régi par la formule (14), il viendra pour vu finalement (18), la condition

(21)


» 27. Voyons maintenant ce que deviennent les équations indéfinies (13) et, d’abord, les deux dernières. Les dérivées en de qui y figurent, auront, d’après (19), à l’un de leurs deux termes, le facteur en même temps que la dérivée très petite de en (différentiée en ou ), et, à l’autre, la dérivée même de en d’un ordre de petitesse plus élevé que celui de à raison de la graduelle variation supposée du régime. Ces dérivées de seront donc négligeables, et, comme les accélérations transversales le sont aussi, les deux dernières équations (13), débarrassées de tout terme rappelant le mouvement, signifieront que la pression moyenne varie hydrostatiquement sur toute l’étendue de la section normale S’il y a une surface libre, devra égaler la pressions constante de l’atmosphère, son profil en travers, limite supérieur de sera donc horizontal.


» 28. Dans tous les cas, la dérivée en de ou de indépendante de et se réduit à celle de la pression moyenne mesurée le long de l’axe des entre les deux sections normales d’abscisses Nous supposerons qu’on prenne cet axe, tangent, dans le cas d’un tuyau, à l’élément même compris entre ces deux sections, de l’axe du tuyau, et, dans le cas d’un canal découvert, à l’élément analogue d’une coupe longitudinale de la surface libre, telle qu’elle est à l’époque Alors, si, par analogie avec l’on appelle l’altitude des divers points de l’axe du tuyau ou de la coupe longitudinale de la surface libre, la dérivée sera la pente de l’élément sinus de son angle avec le plan horizontal[7], et l’on aura, dans la première équation (13), Par suite, dans cette première équation (13), la somme des deux termes en et en divisés par pourra s’écrire simplement et, dans le cas d’un canal découvert (où ), elle ne sera autre chose que la pente de superficie, cause unique de l’écoulement lorsqu’il devient uniforme. Donnons, en général, à cette expression, indépendante de et de le nom de pente motrice, et désignons-la, suivant l’usage, par en posant ainsi

(22)

» La première équation (13), divisée elle-même par sera l’équation indéfinie en

(23)


» 29. Pour la rendre, ainsi que les conditions aux limites, indépendante des dimensions absolues de la section, prenons comme variables, au lieu de les coordonnées du point homologue de dans une section de rayon moyen 1, et appelons la petite normale homologue de dans cette section. Autrement dit, posons

(24) d’où et

» En même temps, substituons à sa valeur (19) et divisons chaque équation par le facteur, indépendant de et qui lui donne la forme la plus simple. Nous aurons

(25)
(26)

» Ces relations sont complètement indépendantes du choix des axes. En effet, leurs deux seuls termes qui paraissent en dépendre, savoir, les deux premiers de (25), si l’on y effectue les différentiations en puis qu’on y introduise les parmètres différentiels des deux premiers ordres des fonctions de point qui y figurent, reviennent ensemble à


désigne l’angle des deux normales aux courbes

» Il suffit de supposer à la surface libre, pour que la condition (26) au contour comprenne celle qui régit sur une telle surface. L’on voit d’ailleurs que cette dernière condition sera satisfaite d’elle-même, si l’on peut former la solution pour le cas d’un tuyau plein ayant sa section composée de la proposée et de sa symétrique par rapport à son bord supérieur (ou profil en travers horizontal de la surface libre), avec symétrie de structure des parois de part et d’autre ; car la fonction de point y prendre naturellement mêmes valeurs de part et d’autre de cette droite, sur laquelle s’annulera dès lors sa dérivée suivant le sens normal, continue dans tout l’intérieur du contour total


» 30. La vitesse absolue au point du contour où s’obtient en appliquant le principe des quantités de mouvement, suivant les à la tranche fluide comprise entre les deux sections d’abscisses ou, ce qui revient au même, en multipliant (25) par et puis intégrant dans toute l’étendue de la section sans négliger de convertir les deux premiers termes, à la manière ordinaire, en intégrales sur le contour de que la relation (26) conduit à ne prendre que pour la partie mouillée de ce contour. L’introduction sous les signes des rapports indépendants des dimensions absolues de donne enfin, après quelques transformations évidentes,

(27)

» Le coefficient de dans le premier terme, est tout connu, puisque la fonction s’y trouve donnée en ou le long du contour mouillé Cette formule fera donc connaître dès que la pente motrice et les accélérations seront données. Puis le système (25), (26) déterminera complètement le rapport déjà égal à 1 au point du contour mouillé où et, par suite, il déterminera la vitesse pour tous les points de la section. En effet, s’il pouvait admettre deux solutions distinctes, leur différence, que j’appellerai vérifierait évidemment les deux équations

Or la première, multipliée par et intégrée par parties dans toute l’étendue d’une section, en y détachant à la manière ordinaire des intégrales prises sur le contour, donne, vu la seconde, un premier membre tout composé d’éléments non positifs, et dont l’annulation identique exige que l’on pose dans tout l’intérieur de la section. Or cette différence s’annule au point ou et où elle se réduit à 1-1. Donc elle s’annule partout.


§ VIII. — Lois générales du régime uniforme dans des lits semblables à grande section.


» 31. Mais bornons-nous au cas du régime uniforme, où sont nulles les accélérations moyennes locales Alors l’équation (27) se réduit à

(28)


Servons-nous-en pour éliminer la pente motrice de (25), et puis divisons (25) et (26) par Le système (25), (26) ne contiendra plus comme fonction inconnue, au lieu de que l’expression tenue de s’annuler au point du contour mouillé où et, d’ailleurs, dans ces équations (25), (26) qui la déterminent, il ne figurera plus ni ni le rayon moyen. La nouvelle fonction inconnue dépendra donc uniquement des deux coordonnées relatives Désignons-la par ce qui revient à poser, comme formule exprimant le mode de distribution des vitesses,

(29)


et la fonction sera définie par le système

(30)


» 32. Prenons les moyennes des deux membres de (29) dans toute l’étendue de la section et, en appelant la vitesse moyenne ou vitesse de débit, la valeur moyenne de dans toute cette étendue, il viendra

(31)


équation qui permet d’éliminer de (28) et de relier ainsi la vitesse moyenne au produit de la pente mortice par le rayon moyen. Si nous appelons dans (28), la valeur moyenne de le long du contour mouillé et que nous posions, pour abréger,

(32) ou


nous aurons ainsi la formule usuelle des hydrauliciens,

(33) ou

» D’après la seconde relation (32), l’inverse de c’est-à-dire le coefficient indiquant combien de fois la vitesse contient la racine carrée du produit de la pente par le rayon moyen, se compose d’une première partie réciproquement proportionnelle à ou variable en sens contraire du degré de rugosité des parois, et d’une autre partie indépendante de ce degré. L’étude des cas simples d’une section rectangulaire large et d’une section circulaire ou demi-circulaire, entre lesquels se trouvent à peu près compris tous ceux de la pratique, nous montrera que ce coefficient, ou même l’inverse de son carré, est peut variable avec la forme de la section.


» 33. Si désigne la vitesse maxima, et les coordonnées relatives du point de où elle se produit, la formule (29), retranchée de ce qu’elle devient en ce point, puis divisée par donnera, vu l’égalité de à d’après (28) et (33),

(34)

» Cette relation, où les deux derniers membres sont indépendants du degré absolu de rugosité des parois, a précisément la forme de celle que l’ensemble des observations a suggérée à Darcy et à M. Bazin pour représenter le mode de variation des vitesses aux divers points des sections[8]. Enfin, si l’on appelle la valeur moyenne du second membre dans toute l’étendue de il vient, pour relier la vitesse moyenne à la vitesse maxima la formule de M. Bazin,

(35) ou

» Nous verrons que a des valeurs notablement différentes dans les deux cas simples d’une section rectangulaire large et d’une section circulaire ou demi-circulaire ; il est donc beaucoup plus variable que avec la forme de la section, comme l’a, du reste, indiqué l’expérience.


» 34. La formule (29) montre que les inégalités relatives de vitesse aux divers points varient, avec le degré absolu de rugosité, proportionnellement à Donc, en toute rigueur, nous n’aurions pas dû admettre la forme simple pour l’expression le long du contour mouillé à moins de faire varier, sur chaque génératrice de la paroi, en raison inverse des valeurs qu’y prend quand change. Or alors une nouvelle difficulté proviendrait de ce que, les degrés relatifs de rugosité aux divers points ne restant plus les mêmes, l’agitation dans l’intérieur se distribuerait autrement et la fonction changerait. Mais, pour des formes très diverses de la section, le rapport varie bien moins avec et par suite, d’après (29), avec le long du contour mouillé que dans l’intérieur, puisque même il s’y réduit à 1 dans les cas élémentaires de tuyaux ou canaux rectangulaires larges et circulaires ou demi-circulaires, à parois homogènes. On peut donc, pour toutes les formes dont il s’agit, supposer ce rapport à très peu près indépendant sur le contour mouillé entre de bien plus larges limites de variation de qu’on ne le pourrait dans l’intérieur ; et cela suffit pour justifier en pratique les formules précédentes[9].

» Si l’on voulait plus de précision, il faudrait regarder le rapport en question comme inconnu, et donner au second membre de (26) la forme désignerait Mais alors cette condition au contour ne serait plus linéaire, et le problème, même en attribuant à les expressions les plus simples, comme 1, par exemple, deviendrait inabordable, sauf par des procédés d’approximation ou d’interpolation, dans lesquels on ne s’astreindrait qu’à peu près à vérifier la condition au contour[10]. Et il y aurait même encore, comme ci-dessus, à faire varier la fonction sur laquelle se répercutent les changements survenus dans le rapport des vitesses aux divers points de la paroi, non moins que ceux du rapport des rugosités.


§ IX. — Du régime uniforme, quand la largeur et la profondeur sont insuffisantes pour que l’agitation masque entièrement l’effet des frottements réguliers.


» 35. Nous avons admis jusqu’ici, dans le fluide, une ampleur et une agitation tourbillonnaire suffisantes pour que la partie tant du frottement extérieur que du coefficient des frottements intérieurs, due à cette agitation, excède dans une forte proportion celle qui subsisterait seule avec des mouvements bien continus, où les vitesses moyennes locales sciaient du même ordre. C’est un cas extrême ou limite, relativement simple, opposé au cas plus simple encore de mouvements bien continus, accessible théoriquement depuis Navier et expérimentalement résolu par Poiseuille. Il y a lieu de supposer que, dans le cas intermédiaire, moins abordable, mais très usuel, de rayons moyens ou de vitesses moyennes assez faibles pour que l’agitation masque en majeure partie les effets du frottement régulier sans les annihiler, les lois de l’écoulement s’écartent un peu des précédentes, dans le sens indiqué par celles de Poiseuille.

» C’est surtout la vitesse moyenne dont se déduit le débit, qui offre de l’intérêt. Or, d’après la formule (33) qui la donne, le produit de la pente motrice par le rayon moyen et par l’inverse du carré de la vitesse est constant, tandis que les lois de Poiseuille font ce même produit, lorsqu’on en élimine la pente réciproquement proportionnel (pour chaque forme de section) au rayon moyen et à la vitesse Donc, dans le cas intermédiaire considéré ici, croîtra avec les inverses de ces deux quantités ; et, s’ils sont assez petits, son développement par la formule de Mac-Laurin, réduit à la partie linéaire, sera, en appelant ce qui reste de quand ils s’annulent, et deux coefficients positifs,

(36) ou


» 36. Les hydrauliciens, jugeant sans doute le trinôme trop complexe dans cette formule, ont supprimé l’un des deux derniers termes. C’est le dernier, en qu’ils avaient conservé d’abord ; mais Darcy et M. Bazin ont reconnu que l’approximation était bien meilleure en gardant, au contraire, le précédent, et ils ont posé mais croissants avec le degré de rugosité des parois. Par exemple, la seconde et le mètre étant les unités de temps et de longueur, Darcy trouve dans le cas de tuyaux circulaires en fer étiré ou en fonte lisse, et M. Bazin, pour les canaux à parois très unies, mais pour les canaux en terre et les grands cours d’eau[11].

§ X. — Retour au cas des grandes sections : lois spéciales aux sections rectangulaires larges et circulaires ou demi-circulaires.


» 37. Passons maintenant aux cas particulièrement intéressants où la vitesse à la paroi peut être supposée constante.

» Le plus simple est celui d’une section rectangulaire large, suivant la profondeur ou de laquelle nous dirigerons vers le bas l’axe des à partir du centre s’il s’agit d’un tuyau de hauteur intérieure et à partir de la surface libre s’il s’agit d’un canal découvert de profondeur Le premier as, vu la symétrie des vitesses de part et d’autre du diamètre ou de la médiane parallèle aux se ramène au second, plus pratique, où ne varie que de zéro à et où la dérivée de en s’annule aussi pour en vertu de la condition spéciale à la surface libre. Bornons-nous donc à ce cas.

» La largeur est supposée assez grande pour que ne dépende pas, dans (30), de la première variable et l’autre variable, y représente le rapport de au rayon moyen c’est-à-dire la distance des divers points à la surface libre en prenant pour unité la profondeur totale. D’ailleurs, la première formule (15) de donne dans le système (30), où l’on a déjà et enfin, pour Il vient donc immédiatement et les formules (32), (34), (35) sont

(37)

» L’avant-dernière est précisément celle que M. Bazin a obtenue par l’observation des vitesses à diverses profondeurs, sur une verticale équidistante des deux bords, dans un grand nombre de canaux dont la largeur, il est vrai, contenant seulement de 5 à 8 fois la profondeur, était insuffisante pour qu’on pût négliger l’action retardatrice du frottement des bords sur la vitesse maxima au milieu de la surface. Le coefficient, 20 environ, qui y affectait est donc moindre que de sorte que le nombre de nos formules doit excéder assez sensiblement 40.


» 38. Supposons actuellement qu’il s’agisse d’un tuyau circulaire ou, ce qu’on sait revenir au même, d’un canal demi-circulaire coulant à pleins bords, avec c’est-à-dire avec homogénéité des parois dans les deux cas. Appelons le rapport, au rayon de la distance à l’axe, ou de autrement dit, posons

(38) d’où

» Les fonctions dépendront uniquement de et la première d’entre elles, sera, d’après (16), l’inverse de D’ailleurs, se réduisant à l’unité, tandis que ou (à la limite ), ne sera autre chose que le système (30) deviendra aisément

(39)

» La première, multipliée par s’intègre immédiatement, à une constante arbitraire près que détermine la seconde. Après quoi, une nouvelle intégration donne, vu la troisième relation (39),

(40) ou


en posant, pour abréger,

(41)

» Telle est la valeur qu’il faudra substituer à dans les relations (32) à (35), et dont la moyenne s’obtiendra, comme celle de toute autre fonction de aux divers points d’un cercle de rayon en multipliant par et intégrant de zéro à 1. Si l’on observe que la vitesse maxima se produit, par raison de symétrie, sur l’axe les formules (32), (34), (35) deviendront

(42)


§ xi. — Confrontations expérimentales et réflexions diverses.


» 39. Mais bornons-nous d’abord à l’approximation, presque satisfaisante déjà, où l’expression de est la seconde (15) ; ce qui revient à prendre Alors ces formules (42), où nous diviserons toutefois la deuxième par se réduisent à

(43)

» La seconde de celles-ci sera précisément celle que M. Bazin a obtenue par l’observation des canaux découverts demi-circulaires, si l’on pose (les unités de temps et de longueur étant la seconde et le mètre)

(44) ou et

» On obtient donc, pour le coefficient de dans la seconde formule (37), la valeur 22,27, supérieure à 20, comme on l’avait prévu. Toutefois, M. Bazin avait été conduit, par un ensemble d’inductions paraissant assez motivées, à le prendre encore un peu plus fort, jusqu’à 24 environ[12] ; c’est bien la valeur que nous lui trouverons à la deuxième approximation.


» 40. De plus, l’inverse de qui indique combien de fois la vitesse moyenne contient la racine carrée du produit de la pente par le rayon moyen, est, d’après les premières formules (43) et (37) comparées, plus grand dans la section circulaire que dans la section rectangulaire large, mais seulement de ou environ 3 unités ; ce qui est peu de chose comparativement au plus petit de ces inverses, dont une assez bonne moyenne, fournie par la valeur usuelle de pour les grands cours d’eau, 0,0004, attribuée à Tadini, est 50. Donc, pour deux formes de section aussi différentes que la forme rectangulaire large et la forme circulaire ou demi-circulaire, entre lesquelles se placent la plupart de celles de la pratique, les valeurs de différent à peine ; et il est dès lors naturel que l’observation les donne presque les mêmes que celles-là, que celle de la première formule (37) en particulier, dans tous les cas de sections rectangulaires, trapézoïdales, triangulaires, etc., affectes d’angles où se fait sentir plus que dans le cercle l’influence retardatrice des parois.


» 41. Toutefois, d’après les anciennes observations de M. Bazin[13], l’écart entre les deux valeurs de l’inverse de pour des sections rectangulaires larges et circulaires ou demi-circulaires, devrait être un peu supérieur à 2,97, et probablement voisin de 5.

» En effet, malgré la difficulté qu’on éprouve à réaliser des tuyaux ou canaux de ces deux formes, avec des parois assez homogènes pour que les inégalités accidentelles de leur degré de rugosité ne produisent pas, dans l’inverse de des variations comparables à celle qu’entraîne la dissemblance même des sections, cependant deux des séries d’expériences de M. Bazin, faites sur des canaux à parois polies (respectivement en ciment et en planches), ses séries nos 24 et 26, permettent jusqu’à un certain point la comparaison dont il s’agit ici, principalement la série 26 où le rayon atteignait 0m,70, la plus complète, et signalée par M. Bazin comme de beaucoup la plus régulière. Servons-nous donc, pour déterminer l’écart considéré, des six dernières observations de la série 26, savoir, de celles où la profondeur de l’eau excédait sous l’axe les du rayon et où, par suite, la forme demi-circulaire était le mieux admissible. Les valeurs de y varient (p. 102) de 0,000200 à 0,000185, tandis qu’elles auraient varié de 0,000235 à 0,000221 dans certaines sections rectangulaires passablement larges expérimentées par M. Bazin. Leurs deux moyennes respectives sont 0,000193 et 0,0002272, donnant, comme racines carrées de leurs inverses, 71,98 et 66,34. Or la différence de ces deux nombres est 5,64, presque identique à la moyenne, 5,64…, des six différences analogues (comprises entre 4,91 et 6,25) fournies séparément par les six observations.

» Et si, pour avoir plus de résultats à combiner en vue d’éliminer les anomalies accidentelles, on prend, tant dans cette série 26 que dans la série 24, toutes les observations où la profondeur de l’eau sous l’axe atteignait au moins les du rayon observations au nombre de huit dans la série 26 et sept dans la série 24, alors les valeurs de varient respectivement de 0,000211 à 0,000185 et de 0,000243 à 0,0002009, auxquelles correspondent, comme racines carrées de leurs inverses, 76,18 et 70,55. Or la différence de ceux-ci, 5,63, s’écarte bien peu des valeurs précédentes, 5,64 ; et elle se confond presque aussi avec la moyenne, 5,66… des quinze différences analogues, calculées séparément d’après les résultats de chacune des observations.

» La vraie grandeur de l’écart considéré serait donc environ 5,64, si les valeurs de obtenues par M. Bazin pour ses canaux rectangulaires de plus grande largeur (2m), étaient rigoureusement applicables à notre cas théorique d’une largeur infinie. Mais on voit, par un tableau relatif aux valeurs expérimentales comparées de dans des lits rectangulaires plus ou moins larges en planches[14], que, du moins pour des rayons moyens n’excédant pas 0m,25, décroît légèrement quand la largeur grandit ; et qu’il se rapproche ainsi de sa valeur dans le cercle, de manière à diminuer alors l’écart entre les inverses de leurs racines carrées. Donc cet écart doit, à la limite, être un peu au-dessous de 5,64, d’une fraction assez sensible, pourtant, de sa valeur[15], et approcher environ de 5. Les nouvelles expériences de M. Bazin nous permettront de reconnaître qu’il en est bien ainsi[16].

» 42. Les dernières formules (37) et (43) montrent que le rapport de la vitesse maxima à la vitesse moyenne excède très inégalement l’unité suivant la forme de la section, puisque cet excédent varie dans le rapport de à ou de 5 à 8, quand la section devient, de rectangulaire large, circulaire ou demi-circulaire. Aussi, les deux valeurs respectives 7,42 et 11,88 que prend alors, d’après les relations (37) et (43), le nombre de la formule générale (35), sont-elles, surtout la première, assez éloignées de la valeur, 14, attribuée à ce coefficient par M. Bazin comme moyenne d’un grand nombre de valeurs, fort divergentes en effet, observées dans des sections relativement peu larges de formes variées.

» 43. Remarquons encore que la vitesse moyenne doit, d’après les deux dernières formules (43), se trouver réalisée (ou égaler ), pour c’est-à-dire aux environ des rayons Or, les récentes observations de M. Bazin montrent que c’est très sensiblement aux des rayons, c’est-à-dire pour Nous verrons, en effet, que la mise en compte de la petite fonction accroît d’un peu plus que 0,01 la valeur théorique approchée


§ XII. — Lois de deuxième approximation du régime uniforme dans un tuyau circulaire, telles qu’elles résultent des récents observations de M. Bazin.


» 44. Mais passons justement, grâce aux récentes expériences de M. Bazin, à cette approximation plus élevée pour le cas de la section circulaire ou demi-circulaire. Les expériences dont il s’agit ont consisté dans la mesure des vitesses, par le tube de Pitot-Darcy, au centre et aux des rayons dans une conduite en ciment très lissé (donnant ), de 0m,80 de diamètre et 80m de longueur, sur les 40 derniers mètres où régnait l’uniformité du régime ; car le rapport de à y était invariable, 1,1675 à très peu près[17].

» Comme nous déterminons notre coefficient par la comparaison de la deuxième formule (42) aux résultats d’observation, et que le terme principal seul connu de forme théoriquement, du second membre de cette formule, doit exprimer le mieux possible la fonction empirique de (voisine de ) indiquée par les expériences pour représenter le second membre tout entier, il sera naturel de réduire au minimum d’importance le terme correctif en annulant sa valeur moyenne par un choix convenable de Et les formules (42) acquerront d’ailleurs ainsi leur plus haut degré de simplicité ; car l’intégrale définie qui y figure s’évanouira.

» Mais, d’abord, divisons la seconde équation (42) par comme nous avons fait pour avoir la deuxième (43), et appelons l’expression empirique du second membre, où la petite correction indiquée par les nouvelles expériences à l’expression approchée obtenue antérieurement. Nous aurons

(45)

» Les très nombreuses différences de vitesse, obtenues par M. Bazin aux diverses distances relatives de l’axe[18], donnent (en moyenne), comme valeurs observées de