Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section V

René Baire

Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité

Vuibert et Nony, 1905 (p. 25).

V

DIFFÉRENCE DE DEUX NOMBRES

20. Soient deux nombres différents $x$ et $y$ ; soit ${x<y}$. Considérons tous les couples de nombres rationnels ${(a,b)}$ vérifiant les conditions

(1)

$x\leqslant a<b\leqslant y$,

et formons les différences ${b-a}$ ; ce sont des nombres positifs dont l’ensemble $\mathrm {A}$ est borné ; car il y a des nombres rationnels $\alpha ,\beta$, tels que ${\alpha <x}$, ${y<\beta }$, et toutes les différences ${b-a}$ sont inférieures à ${\beta -\alpha }$. L’ensemble $\mathrm {A}$ a donc une borne supérieure, qui est un nombre positif $\lambda$.

Dans le cas où $x$ et $y$ sont rationnels, parmi les couples ${(a,b)}$ vérifiant (1) se trouve le couple ${a=x}$, ${b=y}$, et la différence correspondante ${y-x}$ est supérieure à toutes les autres différences de $\mathrm {A}$. On a donc dans ce cas

(2)

$y-x=\lambda$,$x-y=-\lambda$.

Dans le cas où $x$ et $y$ ne sont pas tous deux rationnels, nous conviendrons de définir leur différence par les équations (2).

Si ${x=y}$, nous posons

$x-y=y-x=0$.

Ainsi, étant donnés deux nombres quelconques, la différence de ces deux nombres est parfaitement définie.

21. Les conditions

$x'\leqslant x\leqslant y\leqslant y'$

entraînent

$y-x\leqslant y'-x'$,

car tous les nombres qui figurent dans l’ensemble $\mathrm {A}$ relatif à $x$ et $y$ figurent aussi dans l’ensemble analogue $\mathrm {A'}$ relatif à $x'$ et $y'$.

Si l’on sait que deux nombres $x$ et $y$ sont compris entre deux nombres $x'$ et $y'$, on a certainement

$|y-x|\leqslant |y'-x'|$.

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