Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section V
V
DIFFÉRENCE DE DEUX NOMBRES
20. Soient deux nombres différents et ; soit . Considérons tous les couples de nombres rationnels vérifiant les conditions
(1) |
, |
et formons les différences ; ce sont des nombres positifs dont l’ensemble est borné ; car il y a des nombres rationnels , tels que , , et toutes les différences sont inférieures à . L’ensemble a donc une borne supérieure, qui est un nombre positif .
Dans le cas où et sont rationnels, parmi les couples vérifiant (1) se trouve le couple , , et la différence correspondante est supérieure à toutes les autres différences de . On a donc dans ce cas
(2) |
,. |
Dans le cas où et ne sont pas tous deux rationnels, nous conviendrons de définir leur différence par les équations (2).
Si , nous posons
Ainsi, étant donnés deux nombres quelconques, la différence de ces deux nombres est parfaitement définie.
21. Les conditions
entraînent
car tous les nombres qui figurent dans l’ensemble relatif à et figurent aussi dans l’ensemble analogue relatif à et .
Si l’on sait que deux nombres et sont compris entre deux nombres et , on a certainement