Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section XII

René Baire

Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité

Vuibert et Nony, 1905 (p. 52-54).

XII

FONCTIONS INVERSES

47. Une fonction ${f(x)}$ d’une variable $x$, définie, soit pour toutes les valeurs d’un intervalle, soit seulement pour certaines de ces valeurs, est dite croissante si, $x'$ et $x''$ étant deux nombres pour lesquels elle est définie, la condition

(1)

${x'<x''}$

entraîne

(2)

${f(x')<f(x'')}$ ;

elle est décroissante si (1) entraîne

(3)

${f(x')>f(x'')}$.

Il est évident que si $f$ est croissante, $-f$ est décroissante ; à toute propriété des fonctions croissantes correspond une propriété des fonctions décroissantes.

Les fonctions ${a+x}$, ${a\times x}$ (celle-ci dans le cas de ${a>0}$) sont croissantes dans l’intervalle ${(-\infty ,+\infty )}$ en vertu du calcul des inégalités étendu. De même, les fonctions $-x$, ${a\times x}$ (dans le cas de ${a<0}$) sont décroissantes dans le même intervalle. La fonction ${\frac {1}{x}}$, dans l’intervalle ${(a,+\infty )}$, $a$ étant positif, est décroissante.

Soit $f$ une fonction d’un argument rationnel définie pour tous les points rationnels d’un intervalle $\mathrm {I}$ (borné ou non), croissante, et uniformément continue dans tout intervalle borné contenu dans $\mathrm {I}$. On sait que le principe d’extension s’applique à $f$ et donne une fonction $\mathrm {F}$ définie et continue dans l’intervalle $\mathrm {I}$. Je dis que $\mathrm {F}$ est croissante comme $f$. En effet, soient $x'$ et $x''$ deux valeurs quelconques de l’intervalle, et soit ${x'<x''}$. On peut trouver des nombres rationnels $x'_{1}$, $x'_{2}$, $\ldots$, $x'_{n}$, $\ldots$ et $x''_{1}$, $x''_{2}$, $\ldots$, $x''_{n}$, $\ldots$ tels qu’on ait

$x'<\ldots <x'_{n}<\ldots <x'_{1}<x''_{1}<\ldots <x''_{n}<\ldots x''$,

$\lim {x'_{n}}=x'$,$\lim {x''_{n}}=x''$.

On aura

$\mathrm {F} (x')=\lim {f(x'_{n})}<f(x'_{1})<f(x''_{1})<\lim {f(x''_{n})}=\mathrm {F} (x'')$,

c’est-à-dire

$\mathrm {F} (x')<\mathrm {F} (x'')$.

De même, le principe d’extension, appliqué à une fonction d’argument rationnel décroissante et uniformément continue dans tout intervalle borné, donne une fonction continue décroissante.

48. Soit $f$ une fonction continue croissante dans un intervalle borné ${(a,\,b)}$ ; soient $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$ les bornes inférieure et supérieure de $f$. La fonction doit atteindre la valeur $\mathrm {A}$ en un point de l’intervalle, qui ne peut être que $a$ ; ainsi ${f(a)=\mathrm {A} }$ ; de même ${f(b)=\mathrm {B} }$. La fonction étant croissante prend, pour deux valeurs distinctes de la variable, deux valeurs différentes ; d’après le § 44, elle passe au moins une fois par toute valeur intermédiaire entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ ; donc si $\lambda$ est tel que ${\mathrm {A} \leqslant \lambda \leqslant \mathrm {B} }$, il y a une valeur et une seule de $x$ pour laquelle $f$ prend la valeur $\lambda$.

Ces résultats s’appliquent, avec quelques modifications, si l’intervalle de variation de $x$ est non borné. Soit, par exemple, une fonction croissante dans l’intervalle ${(a,+\infty )}$ ; la borne inférieure $\mathrm {A}$ est atteinte pour $a$ ; tout nombre $\lambda$ tel que ${\mathrm {A} \leqslant \lambda <\mathrm {B} }$ est atteint ; la borne supérieure $\mathrm {B}$, qui peut être, soit finie, soit égale à ${+\infty }$, n’est pas atteinte ; mais si $x$ prend une suite de valeurs tendant vers $+\infty$ (sens étendu de la notion de limite), ${f(x)}$ tend vers $\mathrm {B}$. Par exemple, les fonctions croissantes ${a+x}$, ${a\times x}$ (si ${a>0}$), tendent vers $+\infty$ en même temps que $x$ ; la fonction décroissante ${\frac {1}{x}}$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$.

Si l’intervalle de variation est ${(-\infty ,+\infty )}$, aucune des deux bornes n’est atteinte.

49. Dans tous les cas, qu’il s’agisse d’un intervalle borné ou non, désignons par $e$ l’ensemble des valeurs que prend $x$, par $\mathrm {E}$ l’ensemble des valeurs que prend $f(x)$ supposée continue et croissante ; à toute valeur $x$ de $e$ correspond une valeur $\mathrm {X}$ de $\mathrm {E}$ ; et réciproquement, si on se donne un nombre $\mathrm {X}$ de $\mathrm {E}$, il y a un et un seul nombre $x$ de $e$ tel que ${f(x)=\mathrm {X} }$ ; donc ce nombre $x$ peut être considéré comme une fonction de $\mathrm {X}$ que je désigne par ${\varphi (\mathrm {X} )}$. $\mathrm {E}$ constitue un intervalle, avec cette réserve que l’une des bornes de cet intervalle, même si elle est finie, peut ne pas faire partie de $\mathrm {E}$.

${\varphi (\mathrm {X} )}$ est croissante, car il y a équivalence entre les conditions

$x'<x''$et$f(x')<f(x'')$,

c’est-à-dire, si ${f(x')=\mathrm {X'} }$,${f(x'')=\mathrm {X''} }$,entre

$\mathrm {X'} <\mathrm {X''}$et$\varphi (\mathrm {X'} )<\varphi (\mathrm {X''} )$.

Je dis que $\varphi$ est continue, c’est-à-dire que si $\mathrm {X} _{0}$, $\mathrm {X} _{1}$, $\mathrm {X} _{2}$, $\ldots$, $\mathrm {X} _{n}$, $\ldots$ sont des nombres de $\mathrm {E}$ tels que ${\lim {\mathrm {X} _{n}}=\mathrm {X} _{0}}$, on a ${\lim {\varphi (\mathrm {X} _{n})}=\varphi (\mathrm {X} _{0})}$. Nous posons ${x_{0}=\varphi (\mathrm {X} _{0})}$, ${x_{n}=\varphi (\mathrm {X} _{n})}$. Supposons d’abord que $x_{0}$ ne soit pas une borne de l’ensemble $e$, et prenons deux nombres $x'$ et $x''$ de $e$ tels que

$x'<x_{0}<x''$.

Ces conditions entraînent, en posant ${\mathrm {X'} =f(x')}$, ${\mathrm {X''} =f(x'')}$,

$\mathrm {X'} <\mathrm {X} _{0}<\mathrm {X} ''$.

Quand $n$ dépasse une certaine valeur $p$, on a

$\mathrm {X'} <\mathrm {X} _{n}<\mathrm {X} ''$,

d’où résulte

$x'<x_{n}<x''$.

Cela exprime que $x_{n}$ tend vers $x_{0}$ ; donc ${\varphi (\mathrm {X} _{n})}$ tend vers ${\varphi (\mathrm {X} _{0})}$.

Si $x_{0}$ est, par exemple, la borne supérieure de l’ensemble $e$, il suffit de remarquer que l’on a alors ${x_{n}\leqslant x_{0}}$ et de conserver seulement, dans les doubles inégalités précédentes, la première inégalité.

Il est donc établi que $\varphi$ est continue. La fonction ${\varphi (\mathrm {X} )}$ est dite la fonction inverse de ${f(x)}$.

De même, si ${f(x)}$ est une fonction continue décroissante, en posant ${\mathrm {X} =f(x)}$, ${x=\varphi (\mathrm {X} )}$, on reconnaît que ${\varphi (\mathrm {X} )}$ est une fonction continue décroissante.

---