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Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Analise élémentaire, article 14

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ANALISE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration du principe qui sert de fondement au
calcul des fonctions symétriques ;
Par M. Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Le théorème dont je vais m’occuper ici, et que Newton a donné le premier, sans démonstration, peut être énoncé en ces termes :

Il y a entre les sommes de puissances semblables de plusieurs quantités et leurs sommes de produits deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, etc., des relations soumises à une loi régulière, et telles que les premières peuvent être exprimées en fonctions rationnelles et entières des dernières, et réciproquement.

Ce théorème étant proprement du domaine de la théorie des combinaisons, je vais en donner une démonstration fondée uniquement sur cette théorie, et qui me paraît plus courte et plus simple que celles que l’on déduit de la théorie des équations.

Soit des quantités quelconques, au nombre de Soient généralement désignées par la somme de leurs nmes puissances, et par la somme de leurs produits à  ; on aura Soient, en outre, désignées par la somme de ceux de leurs produits à n’entre pas, par la somme de ceux de ces produits ou n’entre pas, et ainsi de suite, ce qui donnera

Ces notations admises, il est facile de se convaincre qu’on doit avoir généralement

(1)

car, en prenant, au hasard, un produit de des lettres données, s’il renferme il se trouvera dans et ne s’y trouvera qu’une fois ; et, s’il ne renferme pas il se trouvera dans et ne s’y trouvera également qu’une fois ; d’où l’on voit que contient, et ne contient qu’une fois seulement, tous les produits à et est conséquemment égal à

Je dis, en second lieu, qu’on doit avoir aussi, généralement,

(2)

en effet, si chacune des quantités était précisément la somme des produits des quantités prises à leur somme serait égale à fois la somme de ces produits, c’est-à-dire, à  ; mais, parce que ces produits ont facteurs, chacun d’eux doit manquer, à son tour, dans des quantités La somme doit donc renfermer fois la somme des produits à moins fois cette somme, c’est-à-dire, qu’elle doit être égale à fois la somme de ces produits ou, ce qui revient au même, à

Cela posé, soient premièrement écrites les équations que voici, lesquelles sont déduites de l’équation (1), et en nombre moindre que

on en conclura facilement, en réduisant,

on aurait pareillement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

prenant donc la somme de ces équations, en ayant égard à l’équation (2), il viendra

ou, en transposant et réduisant,

(3)

Soit, en second lieu, et soient écrites les équations que voici :

on en déduira facilement

on aura pareillement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’où, en ajoutant

(4)

On déduit des équations (3) et (4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

équations qui mettent en évidence la vérité du théorème.