Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Géométrie transcendante, article 4

Recherche des lignes et surfaces qui en touchent une infinité d’autres, se succédant suivant une loi uniforme ; par M. Gergonne.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 3, 1813 (p. 361-368).

GÉOMÉTRIE TRANSCENDANTE.

Recherche des lignes et surfaces qui en touchent une
infinité d’autres, se succédant suivant une loi uniforme ;

Par M. Gergonne.

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La recherche des lignes et surfaces limites d’une infinité d’autres lignes et surfaces liées entre elles par une loi commune, soit par son étroite liaison avec la théorie des solutions particulières, soit par la multitude des applications dont elle est susceptible, peut être regardée comme un des objets les plus intéressans de la haute géométrie.

Cette recherche n’a été déduite jusqu’ici que de la considération des infiniment petits ou des limites, ou enfin de la théorie même des solutions particulières. Je vais faire voir comment, la série de Taylor une fois admise, on peut la ramener, sans la compliquer davantage, aux notions les plus simples et les plus lumineuses.

§. I.

Recherche de la ligne qui en touche une infinité d’autres, dont
les équations ne diffèrent que par une constante.

Soit

$\phi (x,y,A)=V=0,$

l’équation commune à une infinité de courbes planes, rapportées aux mêmes axes, et ne différant entre elles que par la constante $A$ ; et proposons-nous de déterminer l’équation de la courbe à laquelle toutes celles-là sont tangentes.

Soit $\mathrm {MM}$ cette courbe cherchée (fig. 5), c’est-à-dire, la courbe enveloppante ; soit $\mathrm {GG}$ celle des courbes enveloppées qui répond à la valeur $A,$ et soit $\mathrm {T}$ le point où elle touche $\mathrm {MM}$ ; soient, de plus, $\mathrm {G'G'}$ celle des courbes enveloppées qui répond à la valeur $A'=A+\alpha ,$ $\mathrm {T'}$ le point où elle touche $\mathrm {MM} ,$ et $\mathrm {P}$ celui où elle coupe $\mathrm {GG} .$ On conçoit clairement que, plus $\alpha$ diminuera, et plus aussi le point $\mathrm {P}$ se rapprochera du point $\mathrm {T} ,$ en suivant l’arc de courbe $\mathrm {PT}$ ; en sorte que ces deux points se réuniront en un seul, lorsqu’enfin $\alpha$ sera devenu tout à fait nul ; mais alors les deux courbes $\mathrm {GG}$ et $\mathrm {G'G'}$ se confondront dans toute leur étendue.

Cela posé, on a, par le théorème de Taylor,

Équation de $\mathrm {GG} ,\qquad V=0,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(I)

Équation de $\mathrm {G'G'} ,\qquad V+{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots =0\,;\qquad$(II)

équations qui rentrent, en effet, l’une dans l’autre, lorsqu’on suppose $\alpha =0,$ et dont la combinaison, dans le cas contraire, fera connaître le point $\mathrm {P} .$

Or, on sait que, lorsque deux courbes passent par un même point, toute courbe qui a pour équation une combinaison quelconque des équations de ces deux courbes, passe aussi par ce point ; donc, en particulier, la différence entre les équations (I) et (II) est l’équation d’une courbe $\mathrm {H'H'}$ qui, comme $\mathrm {G'G'} ,$ coupe aussi $\mathrm {GG}$ au point $\mathrm {P} .$ Cette équation est

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots =0,$

ou, plus simplement,

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}+\alpha \left\{{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {1}{1.2}}+\ldots \right\}=0,\qquad$(III)

puisque $\alpha$ n’est point supposé nul. Ainsi, on pourra, pour la détermination du point $\mathrm {P} ,$ substituer la combinaison des équations (I) et (III) à celle des équations (I) et (II).

Mais, à mesure que $\alpha$ décroitra, le point $\mathrm {P}$ se rapprochant du point $\mathrm {T}$, la courbe $\mathrm {H'H'}$, exprimée par l’équation (III), tendra continuellement à devenir une courbe $\mathrm {HH}$ coupant $\mathrm {MM}$ ou $\mathrm {GG}$ en $\mathrm {T}$ ; on aura donc l’équation de $\mathrm {HH}$, en faisant $\alpha =0,$ dans l’équation (III), ce qui la réduit simplement à ${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0.$ Ainsi le point $\mathrm {T}$ de $\mathrm {MM}$, qui répond à la valeur $A$ de la constante, sera donné par le système des deux équations

$V=0,\qquad {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0\,;$

si donc on élimine $A$ entre elles, l’équation résultante, en $x$ et $y,$ devant être satisfaite par les coordonnées des points $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots$ qui répondent aux diverses valeurs $A,A',A'',\ldots$ de la constante, sera l’équation de la courbe $\mathrm {MM}$ qui les contient tous, c’est-à-dire, de la courbe cherchée.

Si l’équation proposée était

$\phi (x,y,A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=V=0\,;$

les constantes $A_{1},A_{2},\ldots A_{n}$ étant liées par les équations suivantes

${\begin{aligned}&\mathrm {f_{1}} (A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=F_{1}=0,\\&\mathrm {f_{2}} (A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=F_{2}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {f_{n-1}} (A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=F_{n-1}=0\,;\\\end{aligned}}$

on pourrait, à l’aide de ces équations, éliminer de $V$ toutes les constantes, excepté une seule, ce qui ramènerait la question au cas précédent.

On pourrait aussi considérer toutes les constantes comme des fonctions de l’une d’elles, $A_{1}$ par exemple ; alors en différentiant sous ce point de vue, et éliminant

$A_{1},A_{2},\ldots A_{n},\ {\frac {\mathrm {d} A_{2}}{\mathrm {d} A_{1}}},\ {\frac {\mathrm {d} A_{3}}{\mathrm {d} A_{1}}},\ldots {\frac {\mathrm {d} A_{4}}{\mathrm {d} A_{1}}},$

entre les équations

$V=0,\ F_{1}=0,\ F_{2}=0,\ldots F_{n-1}=0,$

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A_{1}}}=0,\ {\frac {\mathrm {d} F_{1}}{\mathrm {d} A_{1}}}=0,\ {\frac {\mathrm {d} F_{2}}{\mathrm {d} A_{1}}}=0,\ldots {\frac {\mathrm {d} F_{n-1}}{\mathrm {d} A_{1}}}=0\,;$

l’équation résultante en $x$ et $y$ serait l’équation cherchée.

Mais il sera peut-être plus élégant encore d’opérer comme il suit. On formera l’équation

$\delta V+\lambda _{1}.\delta F_{1}+\lambda _{2}.\delta F_{2}+\ldots \lambda _{n-1}.\delta F_{n-1}=0\,;$

en y égalant à zéro les coefficiens des variations

$\delta A_{1},\delta A_{2},\ldots \delta A_{n},$

on obtiendra $n$ équations entre lesquelles on éliminera les $n-1$ multiplicateurs arbitraires $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots \lambda _{n-1}$ ; en supposant que $F_{n}=0$ soit l’équation résultante de l’élimination, il ne s’agira plus que d’éliminer

$A_{1},A_{2},A_{3},\ldots A_{n},$

entre les équations

$V=0,\ F_{1}=0,\ F_{2}=0,\ F_{3}=0,\ldots F_{n}=0.$

De ce qui précède se déduisent en particulier, d’une manière très-simple, la théorie des développées et celle des caustiques.

La théorie que je viens d’exposer m’a été présentée, il y a plus de six ans, à peu près telle que je la donne ici, par M. F. Journet, alors élève du lycée de Nismes^[1], et actuellement ingénieur des ponts et chaussées. Je vais indiquer brièvement de quelle manière elle peut être étendue aux surfaces courbes.

§. II.

Recherche de la surface qui en touche une infinité d’autres, dont
les équations ne diffèrent que par une constante.

Soit

$\phi (x,y,z,A)=V=0,$

l’équation commune à une infinité de surfaces courbes, rapportées aux mêmes axes, et ne différant entre elles que par la constante $A$ ; et proposons-nous de déterminer l’équation de la surface à laquelle toutes celles-là sont tangentes.

Soit $\mathrm {MMM}$ la surface cherchée^[2], c’est-à-dire, la surface enveloppe ; soit $\mathrm {GGG}$ celle des surfaces enveloppées qui répond à la valeur $A,$ et soit $\mathrm {TT}$ la courbe suivant laquelle elle touche $\mathrm {MMM}$ ; soient, de plus, $\mathrm {G'G'G'}$ celle des surfaces enveloppées qui répond à la valeur $A'=A+\alpha ,\ \mathrm {T'T'}$ la courbe suivant laquelle elle touche $\mathrm {MMM}$, et $\mathrm {PP}$ celle suivant laquelle elle coupe $\mathrm {GGG}$. On conçoit clairement que plus $\alpha$ diminuera, et plus aussi la courbe $\mathrm {PP}$ se rapprochera de $\mathrm {TT}$, en suivant la surface $\mathrm {GGG}$ ; en sorte que ces deux courbes se réuniront en une seule, lorsqu’enfin $\alpha$ sera devenu tout à fait nul ; mais alors les deux surfaces $\mathrm {GGG}$ et $\mathrm {G'G'G'}$ se confondront dans toute leur étendue.

Cela posé, on a, par le théorème de Taylor,

Équation de $\mathrm {GGG} ,\qquad V=0,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad$(I)

Équation de $\mathrm {G'G'G'} ,\quad V+{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots =0\,;\qquad$(II)

équations qui rentrent, en effet, l’une dans l’autre, lorsqu’on suppose $\alpha =0,$ et dont la combinaison, dans le cas contraire, fera connaître la courbe $\mathrm {PP}$.

Or, on sait que, lorsque deux surfaces se coupent suivant une certaine courbe, toute surface qui a pour équation une combinaison quelconque des équations de ces deux surfaces, passe aussi par cette courbe ; donc, en particulier, la différence entre les équations (I) et (II) est l’équation d’une surface $\mathrm {H'H'H'}$ qui, comme $\mathrm {G'G'G'}$, coupe $\mathrm {GGG}$ suivant la courbe $\mathrm {PP}$. Cette équation est

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots =0,$

ou, plus simplement,

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}+\alpha \left\{{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {1}{1.2}}+\ldots \right\}=0,\qquad$(III)

puisque $\alpha$ n’est point supposé nul. Ainsi, on pourra, pour la détermination de la courbe $\mathrm {PP}$, substituer la combinaison des équations (I) et (III) à celle des équations (I) et (II).

Mais, à mesure que $\alpha$ décroitra, la courbe $\mathrm {PP}$ se rapprochant de la courbe $\mathrm {TT}$, la surface $\mathrm {H'H'H'}$, exprimée par l’équation (III), tendra continuellement à devenir une surface $\mathrm {HHH}$, coupant $\mathrm {MMM}$ ou $\mathrm {GGG}$ suivant $\mathrm {TT}$ ; on aura donc l’équation de $\mathrm {HHH}$, en faisant $\alpha =0,$ dans l’équation (III), ce qui la réduit simplement à ${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0.$ Ainsi, la courbe $\mathrm {TT}$, tracée sur $\mathrm {MMM}$, qui répond à la valeur $A.$ de la constante, sera donnée par le système des deux équations

$V=0,\qquad {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0\,;$

si donc on élimine $A$ entre elles, l’équation résultante, en $x,y,z,$ devant être satisfaite par les coordonnées des courbes $\mathrm {TT,T'T',T''T''} ,\ldots$ qui répondent aux diverses valeurs $A,A',A'',\ldots$ de la constante, sera l’équation de la surface $\mathrm {MMM}$ qui les contient toutes, c’est-à-dire, de la surface cherchée.

Ces lignes $\mathrm {TT,T'T',T''T''} ,\ldots$ qui répondent aux diverses valeurs de la constante, sont ce qu’on appelle les Caractéristiques de la surface limite. Comme elles se succèdent suivant une loi uniforme, on peut demander de déterminer la courbe à laquelle elles sont toutes tangentes, et qui est dite l’arête de rebroussement de la surface limite, Voici par quelles considérations on obtiendra cette courbe.

Soit $mm$ la courbe cherchée ; soit $gg$ celle des caractéristiques qui répond à la valeur $A$ de la constante, cette caractéristique touchant $mm$ au point $t.$ Soit de plus $\mathrm {g'g'}$ celle des caractéristiques qui répond à la valeur $A'=A+\alpha$ ; soient $t'$ le point où elle touche $mm,$ et $p$ celui où elle coupe $gg.$ Plus $\alpha$ diminuera, et plus aussi le point $p$ se rapprochera du point $t,$ en suivant l’arc de courbe $pt$ ; en sorte que ces deux points se réuniront en un seul, lorsqu’enfin $\alpha$ sera devenu tout à fait nul, mais alors les deux courbes $gg$ et $g'g'$ se confondront dans toute leur étendue.

Cela posé, on a, par le théorème de Taylor,

Équations de $gg\left\{{\begin{aligned}V&=0,&&(1)\\{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}&=0\,;&&(2)\\\end{aligned}}\right.$

Équations de $g'g'\left\{{\begin{aligned}V+{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots &=0,&&(3)\\{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{3}V}{\mathrm {d} A^{3}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots &=0\,;&&(4)\\\end{aligned}}\right.$

équations dont les dernières rentrent, en effet, dans les premières, lorsqu’on suppose $\alpha =0$ ; et dont la combinaison, dans le cas contraire, fera connaître le point $p.$ Elles sont au nombre de quatre, parce que, généralement parlant, deux courbes ne se coupent pas dans l’espace, mais, comme $gg$ et $g'g'$ sont ici situées toutes deux sur la surface $\mathrm {MMM} ,$ elles doivent se rencontrer et ces quatre équations doivent équivaloir à trois seulement.

En rejetant donc la troisième, le point $p$ sera donné par le système des équations (1), (2), (4). Mais, lorsque trois surfaces passent par un même point, toute surface qui a pour équation une combinaison quelconque des équations de celle-là, passe aussi par ce point ; donc, en particulier, la différence entre les équations (2) et (4) est l’équation d’une surface qui, combinée avec celle qu’exprime l’équation (1), exprimera une courbe $h'h'$ qui, comme $g'g',$ coupera $gg$ au point $p.$ Cette équation est

${\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{3}V}{\mathrm {d} A^{3}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots =0,$

ou, plus simplement,

${\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}+\alpha \left\{{\frac {\mathrm {d} ^{3}V}{\mathrm {d} A^{3}}}+\ldots \right\}=0,\qquad$(5)

puisque $\alpha$ n’est point supposé nul. Ainsi on pourra, pour la détermination du point $p,$ substituer le système des équations (1), (2), (5) au système des équations (1), (2), (4).

Mais, à mesure que $\alpha$ décroitra, la courbe $h'h'$ exprimée par le système des équations (1) et (5), tendra continuellement à devenir une courbe $hh,$ coupant $mm$ ou $gg$ en $t$ ; on aura donc les équations de $hh$, en faisant $\alpha =0,$ dans l’équation (5), et combinant l’équation résultante avec l’équation (1) ; ainsi le point $t$ de $mm,$ qui répond à la valeur $A$ de la constante, sera donné par le système des trois équations

$V=0,\qquad {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0,\qquad {\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}=0,$

si donc on élimine $A$ entre elles, les deux équations résultantes, en $x,y,z,$ devant être satisfaites à la fois par les coordonnées des points $t,t',t'',\ldots$ qui répondent aux diverses valeurs $A,A',A'',\ldots$ de la constante, seront les équations de la courbe $mm$ qui les contient tous, c’est-à-dire, de l’arête de rebroussement.

Si l’équation $V=0$ renfermait $n$ constantes $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots A_{n}$ liées entre elles par $n-1$ équations ; on se conduirait absolument comme il a été expliqué dans le § précédent.^[3]

1. C’était, comme l’on voit, dans un temps, déjà bien loin de nous, où il y avait des cours publics de calcul différentiel, même dans les lycées de provinces ; et où l’on pensait que l’étude de la haute géométrie et de la mécanique, seule véritable introduction à celle des sciences physiques, devait, tout aussi bien que tant d’autres études, entrer dans le plan d’une éducation vraiment libérale.
2. Je sous-entends la figure, qu’il est plus aisé de concevoir que de représenter, sans confusion.
3. Ce qui précède me paraît établir, d’une manière nette, un point assez délicat de la géométrie transcendante, et pourrait, à la rigueur, être ramené eux simples élémens. Je n’ignore pas, au surplus, que l’opinion, toujours vacillante, semble maintenant repousser ces doctrines lumineuses, appelées vainement, pendant plus d’un siècle, par les vœux des géomètres, et dont la découverte fait tant d’honneur à l’époque où nous vivons. Mais, je n’en demeure pas moins fermement persuadé que, s’il peut être utile de se familiariser avec la considération des infiniment petits, il est beaucoup plus important encore, sur-tout dans l’enseignement élémentaire, de n’appuyer les théories fondamentales que sur les notions les plus rigoureuses, du moins, lorsqu’on aspire à quelque chose de plus qu’à enseigner ou à apprendre un métier.