ANALISE ALGÉBRIQUE.
Recherches sur le développement numérique des fonctions
que M. Kramp a dénotées par
et
dans son
Arithmétique universelle ;
Par M. Argand.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
1. L’emploi fréquent dont les fonctions désignées par M. Kramp par
et
sont susceptibles, est sans doute un motif pour chercher à en étendre la théorie. L’objet particulier de cet écrit est de recueillir quelques résultats tendant à faciliter la détermination numérique de la valeur de ces fonctions, lorsque la variable est donnée.
2. La fonction désignée par
(Arith. univ. n.o 560) est
![{\displaystyle \Lambda n=B_{1}n+B_{2}n^{2}+B_{4}n^{4}+B_{6}n^{6}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c101bbf0050323a425f76178f72227b24b86404)
(A)
étant les nombres de Bernouilli ; et on a le théorème suivant (ibid. n.o 573)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{a+2r}}+\ldots +{\tfrac {1}{a+(p-1)r}}={\frac {1}{r}}\left\{\operatorname {Log} .{\frac {a+pr}{a}}+\Lambda {\frac {r}{a}}-\Lambda {\frac {r}{a+pr}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957c8e6275e32be1a32d430b14fdc366a4ee7aec)
faisant
on obtient
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{1+n}}+{\frac {1}{1+2n}}+\ldots +{\frac {1}{1+(p-1)n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d66a0926b293929ae44dda3f535aa6e7be15ad9)
![{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left\{\operatorname {Log} .(1+pn)+\Lambda n-\Lambda {\frac {n}{1+pn}}\right\}.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008b14c5242fcf85adbaba6f36b57ca57bdc6e9a)
(B)
On tire de cette dernière équation, en faisant ![{\displaystyle n=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba4db03e5186e479ecd9611484b8657140a7ff0)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+p)=\Lambda {\frac {1}{1+p}}-\Lambda 1+(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{p}}).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9af5fca189fe01fe305b0740587756e30dabdd3)
(C)
Mettons
pour
dans l’équation (B), et nous aurons, en isolant
![{\displaystyle \Lambda (1+n)=(1+n)\left\{1+{\frac {1}{2+n}}+{\frac {1}{3+2n}}+\ldots +{\frac {1}{p+(p-1)n}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980e0af131ba17ff38f46ddacb28728d395d04ef)
![{\displaystyle -\operatorname {Log} .(1+p+pn)+\Lambda {\frac {1+n}{1+p+pn}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4817f07d63f3d2d23039edecfad54fed7125c6)
(D)
or,
![{\displaystyle 1+p+pn=(1+p)(1+n)-n=(1+p)(1+n)\left\{1-{\frac {n}{(1+p)(1+n)}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e5126476aa736adc35a5b40ff30f681721fa99)
donc, en employant la valeur de
(C),
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+p+pn)=\Lambda {\frac {1}{1+p}}-\Lambda 1+(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ddbeae9f83edb113268de51e4246fac66a3f985)
![{\displaystyle +\operatorname {Log} .(1+n)+\operatorname {Log} .\left[1-{\frac {n}{(1+p)(1+n)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b304e7400dd88f97a959f9835ead661be2782c7)
Réduisant les fractions de (D) en séries, procédant suivant les puissances positives de
et substituant la valeur que nous venons de trouver pour
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{array}{lrll}\Lambda (1+n)&=\Lambda 1&-\operatorname {Log} .\left[1-{\frac {n}{(1+p)(1+n)}}\right]&-\Lambda {\frac {1}{1+p}}\\&+1&+n+\ldots &-1\\&+{\frac {1}{2}}&-{\frac {n}{4}}+{\frac {n^{2}}{8}}-{\frac {n^{3}}{16}}+\ldots &-{\frac {1}{2}}\\&&+{\frac {n}{2}}-{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{3}}{8}}-\ldots &\\&+{\frac {1}{3}}&-{\frac {2n}{9}}+{\frac {4n^{2}}{27}}-{\frac {8n^{3}}{81}}+\ldots &-{\frac {1}{3}}\\&&+{\frac {n}{3}}-{\frac {2n^{2}}{9}}+{\frac {4n^{3}}{27}}-\ldots &\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ad7eb9d6014267e18a1b9c501f27b417718876)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779fa343d20d6a0c7949aeb5b5b6748ae7bd5215)
![{\displaystyle {\begin{array}{rrl}+{\frac {1}{p}}&-{\frac {(p-1)n}{p^{2}}}&+{\frac {(p-1)^{2}n^{2}}{p^{2}}}-{\frac {(p-1)^{3}n^{3}}{p^{4}}}+\ldots -{\frac {1}{p}}\\&+{\frac {n}{p}}&-{\frac {(p-1)n^{2}}{p^{2}}}+{\frac {(p-1)^{2}n^{3}}{p^{3}}}-\ldots \\&-n&+{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n^{3}}{3}}+\ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf61011ce0d6f3d3db30420e6bb0c0a157cffb64)
étant arbitraire, faisons-le infini ;
et
disparaîtront, et il restera
![{\displaystyle \Lambda (1+n)=\Lambda 1+n\left({\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\ldots \right)+n^{2}\left(+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{27}}-{\tfrac {1}{64}}-\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7aa9770019b8f36ff1cf77c50b5d7628979ae1f)
![{\displaystyle +n^{3}\left(-{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{16}}+{\tfrac {4}{81}}+\ldots \right)+n^{4}\left(+{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{32}}-\ldots \right)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b3be1c7f768d17616f5376969a1abc29d6a4a8)
équation que nous écrirons ainsi :
![{\displaystyle \Lambda (1+n)=\Lambda 1+\lambda _{1}n+\lambda _{2}n^{2}+\lambda _{3}n^{3}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114f872d00a802be01cca04ddc9d85cea02c972d)
(E)
3. Or, si l’on fait
![{\displaystyle S_{1}=1+{\frac {1}{2^{\varepsilon }}}+{\frac {1}{3^{\varepsilon }}}+{\frac {1}{4^{\varepsilon }}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068c13342646aca5eb2a3d215b2e6ce8ce75135b)
étant employé comme indice général, on trouvera
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\lambda _{1}&=-1+S_{2},\\\lambda _{2}&=+{\tfrac {1}{2}}-S_{2}+S_{3},\\\lambda _{3}&=+{\tfrac {1}{3}}+S_{2}-2S_{3}+S_{4},\\\lambda _{4}&=+{\tfrac {1}{4}}-S_{2}+3S_{3}-3S_{4}+S_{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92df0bb3fb05bb4c4c2f40abf18e0ff6d48e02c0)
(F)
or, les séries
sont sommables (Introd. d’Euler. Arith. univ. n.o 599) ; on peut donc déterminer les valeurs numériques des coefficiens ![{\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d15652fa8b7a79b724347e774404e80924d721e)
On tire des équations précédentes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{2}&=-{\tfrac {1}{2}}+S_{3}-\lambda _{1},\\\lambda _{3}&=-{\tfrac {1}{3}}+S_{4}-(\lambda _{1}+2\lambda _{2}),\\\lambda _{4}&=-{\tfrac {1}{4}}+S_{5}-(\lambda _{1}+3\lambda _{2}+3\lambda _{3}),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1eacd05e6a18baf53b4a27ca271550637f17715)
formules qu’on peut employer à vérifier le calcul fait par ïea équations (F).
Observons que, si l’on fait, en général,
on pourra substituer
à
dans les équations (F), excepté dans la première.
4. Quant à
on peut le calculer par la formule (C), en prenant pour
un nombrcr assez grand pour qu’en développant
par la formule primitive (A), on n’ait pas à craindre l’effet de l’augmentation progressive des nombres de Bernouilli.
On peut aussi faire
dans (E), ce qui donne
![{\displaystyle \Lambda _{1}=\lambda _{1}-\lambda _{2}+\lambda _{3}-\lambda _{4}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c536a930b28bc288a54f71d5d52a1121cee5ae3f)
(G)
enfin, on peut encore employer la formule
![{\displaystyle \Lambda _{1}=1-\operatorname {Log} .2+{\frac {T_{2}}{2}}-{\frac {T_{3}}{3}}+{\frac {T_{4}}{4}}-\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db54646c7026a4d0dde8b63a2f71b124b9364332)
(H)
pour vérifier les résultats précédens. Leur conformité servira d’ailleurs à garantir la justesse des valeurs employées pour ![{\displaystyle T_{2},T_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ebc77f6f5a617b74016d70386fa1e807ddf262)
Cette dernière équation se tire de la formule (B) qui donne, en faisant
![{\displaystyle 1={\frac {1}{n}}\left\{\operatorname {Log} .(1+n)+\Lambda n-\Lambda {\frac {n}{n+1}}\right\}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b935cc08f30aa09e3e7f9168e96d5811bc2665fc)
(I)
d’où l’on tire, en mettant
pour ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![{\displaystyle \Lambda {\frac {1}{n}}=\Lambda {\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n}}-\operatorname {Log} .\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7616484744d2d12343b13f3ba5f096262385e0d4)
Faisons successivement
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda 1&=\Lambda {\tfrac {1}{2}}+1-\operatorname {Log} .2,\\\Lambda {\tfrac {1}{2}}&=\Lambda {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}-\operatorname {Log} .\left(1+{\tfrac {1}{2}}\right),\\\Lambda {\tfrac {1}{3}}&=\Lambda {\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}-\operatorname {Log} .\left(1+{\tfrac {1}{3}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca2550b0d266bfd31cdb83c932a923ac242f502)
d’où résultera, en prenant la somme de ces équations,
![{\displaystyle \Lambda 1=1-\operatorname {Log} .2+{\tfrac {1}{2}}-\operatorname {Log} .\left(1+{\tfrac {1}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}-\operatorname {Log} .\left(1+{\tfrac {1}{3}}\right)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c491db37059515380acf70160fc27cb66f23f87c)
et en développant les logarithmes, excepté celui de 2,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda 1=1-\operatorname {Log} .2&+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.2^{2}}}-{\frac {1}{3.2^{3}}}+\ldots \\&+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2.3^{2}}}-{\frac {1}{3.3^{3}}}+\ldots \\&+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2.4^{2}}}-{\frac {1}{3.4^{3}}}+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca435dcafd71c9df182bc558f3bdb19759ce7b8d)
en sommant les séries verticales, on obtient l’équation (H).
5. Or, les valeurs de
présentent la série suivante, singulière par son irrégularité, tant dans la succession des valeurs absolues, que dans celles des signes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda 1=+0,57721566490,&\qquad \ \lambda _{8}=-0,0000576677.,\\\lambda _{1}=+0,64493406685,&\qquad \ \lambda _{9}=+0,0000121980.,\\\lambda _{2}=+0,05712283631,&\qquad \lambda _{10}=+0,000003454..,\\\lambda _{3}=-0,01018983909,&\qquad \lambda _{11}=-0,000006295..,\\\lambda _{4}=+0,00119469664,&\qquad \lambda _{12}=+0,000004948..,\\\lambda _{5}=+0,0002778979.,&\qquad \lambda _{13}=-0,000002950..,\\\lambda _{6}=-0,0003037026.,&\qquad \lambda _{14}=+0,00000141...,\\\lambda _{7}=+0,0001565295.,&\qquad \lambda _{15}=-0,00000047...,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1787a22f8781ecf33e91dc2646d69d52aac50130)
Faisons
ce qui revient à changer les signes des
indices impairs ; nous aurons, par les formules (F),
![{\displaystyle \mu _{\varepsilon }={\frac {1}{\varepsilon }}-\left\{S_{2}-{\frac {\varepsilon -1}{1}}S_{3}+{\frac {\varepsilon -1}{1}}.{\frac {\varepsilon -2}{2}}S_{4}-{\frac {\varepsilon -1}{1}}.{\frac {\varepsilon -2}{2}}.{\frac {\varepsilon -3}{3}}.S_{5}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2915b211b91900893f0c895583081fbb39cf4da5)
Or, la série entre les accolades est toujours positive ; car, en la désignant par
et en développant les
pour lesquels on peut prendre les
(n.o 3), on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{rllll}U_{\varepsilon +1}&={\frac {1}{4}}&+{\frac {1}{9}}&+{\frac {1}{16}}&+\ldots \\&-{\frac {\varepsilon }{8}}&-{\frac {\varepsilon }{27}}&-{\frac {\varepsilon }{64}}&-\ldots \\&+{\frac {\varepsilon }{1}}.{\frac {\varepsilon -1}{2}}.{\frac {1}{16}}&+{\frac {\varepsilon }{1}}.{\frac {\varepsilon -1}{2}}.{\frac {1}{81}}&+{\frac {\varepsilon }{1}}.{\frac {\varepsilon -1}{2}}.{\frac {1}{243}}&+\ldots \\&\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f2ab867a93c7152d0f86f29959f0af0ce08cb7)
et, en sommant verticalement
![{\displaystyle U_{\varepsilon +1}={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\varepsilon }+{\frac {1}{9}}\left({\frac {2}{3}}\right)^{\varepsilon }+{\frac {1}{16}}\left({\frac {3}{4}}\right)^{\varepsilon }+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecfabae48d5403236dad777792a244c15088878f)
(I)
On voit que les valeurs de
vont toujours en diminuant, et on peut même déterminer un indice
tel que
soit plus petit qu’une limite donnée
Pour cela, soit partagée cette limite en deux parties arbitraires
Un terme quelconque de (I) est plus petit que le terme correspondant de la série ![{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e3d46fda8e09540b4817bd713d58222a7dd13e)
mais la somme de celle-ci est finie, donc on peut prendre dans (I) un terme
tel que la somme de tous les termes suivans soit plus petite que
quel que soit
Le quantième
étant ainsi déterminé, on pourra prendre
de manière que la somme des premiers termes
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\varepsilon }+{\frac {1}{9}}\left({\frac {2}{3}}\right)^{\varepsilon }+\ldots +{\frac {1}{(z+1)^{2}}}.\left({\frac {z}{z+1}}\right)^{\varepsilon }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8411626abfa152d183bc2578d73b49718d30697b)
soit plus petite que
car il est visible que,
augmentant, cette somme décroit plus rapidement que celle des termes d’une progression géométrique qui aurait
pour raison.
On peut conclure de là que la série des
ou des
est convergente, mais la convergence est bien plus rapide qu’elle ne paraîtrait devoir l’être en raison des considérations sur lesquelles la démonstration précédente est appuyée.
Les signes de
présentent cette succession :
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrr}1,&2,&3,&4,&5,&6,&7,&8,&9,&10,&11,&12,&13,&14,&15\ldots \\-&+&+&+&-&-&-&-&-&+&+&+&+&+&+\ldots \\&&&&&{\text{★}}&&&&&{\text{★}}&&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b46900a839f40a4ff4d13a82dbdd7204abc59a9)
Or, les valeurs absolues de
décroissant beaucoup plus rapidement que celles de
il paraît que la valeur de
oscille, pour ainsi dire, autour de celle de
en la serrant toujours de plus près, et qu’il y a quelque chose de circulaire dans le caractère des coefficiens
considérés comme fonctions de leurs indices. Observons qu’il y a augmentation dans la valeur de deux
consécutifs,
aux endroits marqués ★ ; savoir, à l’exception de
et
aux deux premiers termes qui suivent chaque changement de signe.
Nous retrouverons cette même circonstance dans le développement de la fonction
; et ce qui confirmerait le soupçon que nous élevons ici sur la nature des coefficiens
c’est la possibilité de trouver des fonctions circulaires qui présentent le même genre d’irrégularité dans la succession des valeurs et des signes. Soit, par exemple,
![{\displaystyle y_{x}={\frac {10^{5}.\operatorname {Sin} .\left\{{\frac {3x-2}{12}}\varpi \right\}}{2^{x}.(3x+1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315cec3fc9c4f768c97ffad68ce93450a81240a3)
En faisant successivement
on trouvera pour
les valeurs suivantes :
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}50000,&3235,&3093,&1207,&240,&51,&71,&34,&8,&2,&3,&1.\\-&+&+&+&+&-&-&-&-&+&+&+\\&&&&&{\text{★}}&&&&{\text{★}}&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779776f49c0edccfec74159134ddc313a49da24d)
série qui offre des particularités analogues à celle de la série des ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
6. La formule primitive (A) donne, en vertu de
,
![{\displaystyle \Lambda (-n)=\Lambda n-n,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce3e39480071cf0b21b203fc06c2bf1756959ad)
ou
![{\displaystyle \qquad \Lambda n=n+\Lambda (-n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e73ed84b835c1b056025a0adde9ba55603b1a6)
Faisant cette substitution dans (I), il vient
![{\displaystyle 0=\operatorname {Log} .(1+n)+\Lambda (-n)-\Lambda {\frac {n}{1+n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58066d171f347e550aec1f6ca3d094d8e8b76745)
Mettant
pour
et transposant, on obtient
![{\displaystyle \Lambda (1-n)=-\operatorname {Log} .n+\Lambda \left(1-{\frac {1}{n}}\right)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df11e6552fb71794bc98ba0622176564d5620bb9)
(K)
et, en développant
par la formule (E)
![{\displaystyle \Lambda (1-n)=\Lambda 1-\operatorname {Log} .n-{\frac {\lambda _{1}}{n}}+{\frac {\lambda _{2}}{n^{2}}}-{\frac {\lambda _{3}}{n^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589dcab0e995e857819b1221148be03fce261dec)
au moyen de quoi on peut avoir promptement la fonction
d’un nombre négatif très-grand.
Si l’on met
pour
dans (I) on obtiendra
![{\displaystyle \Lambda (n-1)=n-1-\operatorname {Log} .n+\Lambda \left(1-{\frac {1}{n}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd03b84b8a4d8314219675b46d10f2edea744801)
et, par le développement de ![{\displaystyle \Lambda \left(1-{\frac {1}{n}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8a4030b3a1d23adcc1efad148ed392eab48100)
![{\displaystyle \Lambda (n-1)=n-\operatorname {Log} .n-1+\Lambda 1-{\frac {\lambda _{1}}{n}}+{\frac {\lambda _{2}}{n^{2}}}-{\frac {\lambda _{3}}{n^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43e7a663b9c56222b3677df4ce069c929c469b7)
formule propre à calculer la fonction
d’un très-grand nombre positif.
7. Si l’on développe
dans la formule (E), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (1+n)=\Lambda 1&-n+nS_{2}\\&+{\frac {n^{2}}{2}}-n^{2}S_{2}+n^{2}S_{3}\\&-{\frac {n^{3}}{3}}+n^{3}S_{2}-2n^{3}S_{3}+n^{3}S_{4}\\&+{\frac {n^{4}}{4}}-n^{4}S_{2}+3n^{4}S_{3}-3n^{4}S_{4}+n^{4}S_{5}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \\=\Lambda 1-\operatorname {Log} .&(1+n)+{\frac {n}{1+n}}S_{2}+\left({\frac {n}{1+n}}\right)^{2}S_{3}+\left({\frac {n}{1+n}}\right)^{3}S_{4}+\ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9947c618cd20b094caddf7dd1e7e8eb8e5ab8556)
En mettant
pour
on tirera de cette équation
![{\displaystyle \Lambda {\frac {n}{n-1}}-\Lambda 1+\operatorname {Log} .{\frac {n}{n-1}}={\frac {S_{2}}{n}}+{\frac {S_{3}}{n^{2}}}+{\frac {S_{4}}{n^{3}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b04ea415f173dbc9ef52219df624f68c18a987)
et, en faisant
négatif,
![{\displaystyle \Lambda {\frac {n}{n+1}}-\Lambda 1+\operatorname {Log} .{\frac {n}{n+1}}=-{\frac {S_{2}}{n}}+{\frac {S_{3}}{n^{2}}}-{\frac {S_{4}}{n^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a782f2eb67d3d91627755056f2ffa58d46167d)
La différence de ces deux équations donne
![{\displaystyle \Lambda {\tfrac {n}{n-1}}+\operatorname {Log} .{\tfrac {n}{n-1}}-\Lambda {\tfrac {n}{n+1}}-\operatorname {Log} .{\tfrac {n}{n+1}}=2\left({\frac {S_{2}}{n}}+{\frac {S_{4}}{n^{3}}}+{\frac {S_{6}}{n^{5}}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315b23cd799fd5829839217d80c1727c958a7100)
Mais on sait d’ailleurs (Introd. d’Euler, n.o 179) que le second membre de cette dernière équation est la valeur de
donc
![{\displaystyle \Lambda {\frac {n}{n-1}}+\operatorname {Log} .{\frac {n}{n-1}}-\Lambda {\frac {n}{n+1}}-\operatorname {Log} .{\frac {n}{n+1}}=n-\varpi \operatorname {Cot} .{\frac {\varpi }{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b609327aec77906369d4a1908a56895db8729562)
On peut réunir
et
dans une seule fonction
en posant généralement
![{\displaystyle \mathrm {M} x=\Lambda x+\operatorname {Log} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b395b2814c17e420a44a763b5da0408c0a7f076)
l’équation précédente prend alors la forme plus simple
![{\displaystyle \mathrm {M} {\frac {n}{n-1}}-\mathrm {M} {\frac {n}{n+1}}=n-\varpi \operatorname {Cot} .{\frac {\varpi }{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33ac6cb01064956474c741fbd331bc6028e7e48)
On aura d’ailleurs, en reprenant l’expression de
(n.o 5),
![{\displaystyle \mathrm {M} (1+n)=\Lambda 1+U_{1}n-U_{2}n^{2}+U_{3}n^{3}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83618bc90045160ae60f5b8a5d061ea981592b16)
8. La fonction
est (Arith. univ. n.o 601)
![{\displaystyle \Gamma n=B_{2}n+{\frac {B_{4}n^{3}}{3}}+{\frac {B_{6}n^{5}}{5}}+{\frac {B_{8}n^{7}}{7}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac85b02e6f3d2cc27f64ecc330a0bbeefad4a138)
et on a (Ibid. n.o 603) le théorème général
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rrr}\operatorname {Log} .\left\{1(1+n)(1+2n)\ldots \left[1+(p-1)n\right]\right\}=&\\-p+\left({\frac {1}{n}}+p-{\frac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .(1+pn)+\Gamma {\frac {n}{1+pn}}-\Gamma n\,&:\\\end{array}}\right.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b397f4528b49522ce6b026ddff0e71dfe171489)
(L)
En faisant
![{\displaystyle \Gamma (1+n)=\Gamma 1+\gamma _{1}n+\gamma _{2}n^{2}+\gamma _{3}n^{3}+\gamma _{4}n^{4}+\ldots ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00144500b1f95670399a1484b1de1976b9bba59)
(M)
on pourrait, au moyen du théorème précédent, déterminer les coefficiens
par une méthode analogue à celle du n.o 2 ; mais le calcul est prolixe, et il est plus simple de les faire dépendre des coefficiens
en employant la relation
![{\displaystyle n^{2}\operatorname {d} (\Gamma n)=\left(\Lambda n-B_{1}n\right)\operatorname {d} n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7776fc2409b81730abe685358409b6cd3116d261)
qui existe entre ces fonctions. On trouve alors
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rll}\gamma _{1}&=\Lambda 1-\ {\tfrac {1}{2}}&=+\ \Lambda 1-{\tfrac {1}{2}},\\2\gamma _{2}&=\lambda _{1}-\ \ {\tfrac {1}{2}}-2\gamma _{1}&=-2\Lambda 1+{\tfrac {1}{2}}+\ \lambda _{1},\\3\gamma _{3}&=\lambda _{2}-\ \ \gamma _{1}-4\gamma _{2}&=+3\Lambda 1-{\tfrac {1}{2}}-2\lambda _{1}+\lambda _{2},\\4\gamma _{4}&=\lambda _{3}-2\gamma _{2}-6\gamma _{3}&=-4\Lambda 1+{\tfrac {1}{2}}+3\lambda _{1}-2\lambda _{2}+\lambda _{3},\\5\gamma _{5}&=\lambda _{4}-3\gamma _{3}-8\gamma _{4}&=+5\Lambda 1-{\tfrac {1}{2}}-4\lambda _{1}+3\lambda _{2}-2\lambda _{3}+\lambda _{4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f711726a2b8b33cbd79f5d3e7b6c01fb7d5f7b)
(N)
La méthode directe du n.o 2 donnerait
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\gamma _{1}&=+\Lambda 1\ \ -{\tfrac {1}{2}},\\2\gamma _{2}&=-2\Lambda 1+T_{2}\quad +{\tfrac {3}{2}}\qquad -2.{\tfrac {1}{2}},\\3\gamma _{3}&=+3\Lambda 1-3T_{2}\ \ +T_{3}\qquad -{\tfrac {5}{2}}+3\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}\right),\\4\gamma _{4}&=-4\Lambda 1+6T_{2}\ \ -4T_{3}\quad +T_{4}+{\tfrac {7}{2}}-4\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}\right),\\5\gamma _{5}&=+5\Lambda 1-10T_{2}+10T_{3}-5T_{4}+T_{5}-{\tfrac {9}{2}}+5\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7d0f702ec7d56def258a13aa9578a8115a4c83)
formules moins simples, mais qui dépendent immédiatement des
; on pourrait d’ailleurs les tirer des précédentes, par le développement des ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
On aurait encore
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\gamma _{1}&=\lambda _{2}-2\lambda _{3}+3\lambda _{4}-4\lambda _{5}+\ldots ,\\2\gamma _{2}&=\lambda _{3}-2\lambda _{4}+3\lambda _{5}-4\lambda _{6}+\ldots ,\\3\gamma _{3}&=\lambda _{4}-2\lambda _{5}+3\lambda _{6}-4\lambda _{7}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6fb0507c66a4f25d019de2613a382c696f06b47)
Ces formules se tirent des équations (N), en partant de la troisième, par des substitutions successives. On peut aussi les en faire dériver comme il suit.
L’équation (K) donne
![{\displaystyle \operatorname {Log} .n=\Lambda \left(1-{\frac {1}{n}}\right)-\Lambda (1-n)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3078f0d0f71d3d3930100e158ace2f50e400a1f)
(O)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Log} .n=\lambda _{1}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)-\lambda _{2}\left(n^{2}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)+\lambda _{3}\left(n^{3}-{\frac {1}{n^{3}}}\right)-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4faaab3727723445c5a566f52afe737d88232f4)
Nous remarquerons, en passant, que le développement de
se fait ici suivant les puissances entières de
sous une forme très-simple quoique peu usitée ; et c’est un fait d’analise assez singulier que les coefficiens d’un tel développement, pour une fonction qui doit également être regardée comme fort simple, soit soumis à une marche aussi irrégulière que celle des ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
Soit fait, dans l’équation précédente, n=1+i d’où ![{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}=1-i+i^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89950a853f0ac53dd09449fa7312e599c0ae9855)
on aura
![{\displaystyle i-{\frac {i^{2}}{2}}+{\frac {i^{3}}{3}}-{\frac {i^{4}}{4}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85604a8973a3c58f0a00a3d7739fb64d5f8bef0f)
![{\displaystyle =\lambda _{1}\left(2i-i^{2}+\ldots \right)-\lambda _{2}\left(4i-2i^{2}+\ldots \right)+\lambda _{3}\left(6i-3i^{2}+\ldots \right)-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fad5df2c86af148428ae9f4e5cb4e71f4a2038)
La comparaison des termes qui multiplient les différentes puissances de
fournira des équations dont les deux premières donneront également
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}=\lambda _{1}-2\lambda _{2}+3\lambda _{3}-4\lambda _{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cab2201cc72f33f853b775c403af00e87e60f0f)
Or, on a, par exemple
![{\displaystyle {\begin{array}{lrl}{\text{Par (N) }}5\gamma _{5}=&5\Lambda 1-{\tfrac {1}{2}}&-4\lambda _{1}+3\lambda _{2}-2\lambda _{3}+\lambda _{4}\\{\text{Par (G) }}5\Lambda 1=&&+5\lambda _{1}-5\lambda _{2}+5\lambda _{3}-5\lambda _{4}+5\lambda _{5}-5\lambda _{6}+\ldots \\{\text{Par (P) }}-{\tfrac {1}{2}}=&&-\lambda _{1}+2\lambda _{2}-3\lambda _{3}+4\lambda _{4}-5\lambda _{5}+6\lambda _{6}-\ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107c6a124f0199f3aaccbfc3d3db1c80f328f435)
donc
![{\displaystyle 5\gamma _{5}=\lambda _{6}-2\lambda _{7}+3\lambda _{8}-4\lambda _{9}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6746134381c4408b9c8de0db58661f49bb80bff3)
et, en général,
![{\displaystyle m\gamma _{m}=\lambda _{m+1}-2\lambda _{m+2}+3\lambda _{m+3}-4\lambda _{m+4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a26c82a340eb699d1a4d4eb614474c0a25b85bc)
Nous pouvons remarquer que l’équation (O) donne, en vertu de
(n.o 6)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .n=\Lambda \left(1-{\frac {1}{n}}\right)-\Lambda (n-1)+(n-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef620c17d3e8ff2abdb2b9769ecacc46840aa6e)
mais
![{\displaystyle \operatorname {Log} .n=-\operatorname {Log} .\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\operatorname {Log} .(n-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e90c7739440e37fe2649dce470c322b671a77d)
donc
![{\displaystyle 0=\Lambda \left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\operatorname {Log} .\left(1-{\frac {1}{n}}\right)-\Lambda (n-1)-\operatorname {Log} .(n-1)+(n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6012cc9a390903d6b4d2c42124d6ccda92b3a139)
ou, en reprenant l’expression de M,
![{\displaystyle \mathrm {M} {\frac {n}{n+1}}=\mathrm {M} n-n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7f80a2c81ceed0719bc2ec9f57a38396eb63c5)
9. M. Kramp a fait voir que
(Annales, tom. 3, pag. 11). On pourra encore calculer ce même nombre en faisant
dans l’équation (M), ce qui donnera
![{\displaystyle \Gamma 1=\gamma _{1}-\gamma _{2}+\gamma _{3}-\gamma _{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0913200c84046f85df56e0cc2d01c7fa55c11d)
10. La suite
présente les mêmes irrégularités que celle des coefficiens
, comme les valeurs suivantes le font voir
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma 1=+0,08106146679,&\qquad \gamma _{9}=+0,000005266.,\\\gamma _{1}=+0,07721566490,&\qquad \gamma _{10}=-0,000002837..,\\\gamma _{2}=-0,00474863148,&\qquad \gamma _{11}=+0,000001163..,\\\gamma _{3}=-0,00036610089,&\qquad \gamma _{13}=-0,000000293..,\\\gamma _{4}=+0,000376007.3,&\qquad \gamma _{13}=-0,000000062..,\\\gamma _{5}=-0,0001430118.,&\qquad \gamma _{14}=+0,00000016...,\\\gamma _{6}=+0,0000339978.,&\qquad \gamma _{15}=-0,00000014...,\\\gamma _{7}=+0,0000004832.,&\qquad \gamma _{16}=+0,00000010...,\\\gamma _{8}=-0,0000067778.,&\qquad \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f002e8320918ca6dbcc43f981602ae129cb899f)
Si on change le signe des
à indices impairs, on aura cette succession
![{\displaystyle {\begin{array}{llllllllllllllll}1.&2.&3.&4.&5.&6.&7.&8.&9.&10.&11.&12.&13.&14.&15.&16\ldots \\-&-&+&+&+&+&-&-&-&-&-&-&+&+&+&+\ldots \\&&&{\text{★}}&&&&{\text{★}}&&&&&&{\text{★}}&&\ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7972b4eea4f53416ad81c9d1c4f6542e1d04dce)
Le signe ★ indique qu’il y a augmentation dans la valeur absolue de deux
consécutifs. Cette circonstance a lieu, comme pour les
aux deux premiers termes qui suivent chaque changement de signe.
11. En faisant
dans l’équation (L), on en tirera
![{\displaystyle \Gamma n=-1+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .(1+n)+\Gamma {\frac {n}{n+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929b16d268318d2821a9d089a0525e72f07d0efb)
et, en mettant
pour ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![{\displaystyle \Gamma (n-1)=-1+\left({\frac {n}{n-1}}+{\frac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .n+\Gamma \left(1-{\frac {1}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d559e982d1a907a272356d868ea30dc27e3dc831)
puis, développant
par la formule (M),
![{\displaystyle \Gamma (n-1)=-1+\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .n+\Gamma 1-{\frac {\gamma _{1}}{n}}+{\frac {\gamma _{2}}{n^{2}}}-{\frac {\gamma _{3}}{n^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5573cd36fa0b894bcc4050464cc44d60e52f60)
expression au moyen de laquelle on pourra calculer facilement la fonction
d’un très-grand nombre.
12. Une observation qui se présente naturellement est que les équations précédentes, qui contiennent des logarithmes, donnent des résultats absurdes, lorsque les nombres de ces logarithmes sont négatifs ; ce qui tient sans doute aux mêmes causes qui ont conduit
M. Kramp à des conclusions paradoxales (Annales, tom. 3, pag. 3 et 343). Il a donné à ses lecteurs (Ibid. pag. 344) l’espoir d’une solution satisfaisante de ces difficultés. Les géomètres ne peuvent que désirer avec un vif intérêt les éclaircissemens promis par ce célèbre professeur. Ils seront d’ailleurs une sorte de mémoire justificatif en faveur de l’algèbre qui, à cet égard, se trouve en quelque sorte in reatu.
13. Nous rapporterons ici, par occasion, des formules analogues à celles de la page 118 (Annales, tom. 3)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\frac {e^{y}-e^{-y}}{e^{y}-2\operatorname {Cos} .a+e^{-y}}}={\frac {y}{y^{2}+a^{2}}}+B_{2}y+B_{4}{\frac {y^{3}-3a^{2}y}{1.2.3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ddbc008b64b1abfb07d6e5c36d8df02b8c05ec)
![{\displaystyle +B_{6}{\frac {y^{5}-10a^{2}y^{3}+5a^{4}y}{1.2.3.4.5}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34564d16b54ec91fe40ce8121d90ab713ef4515f)
(Q)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .a}{e^{y}-2\operatorname {Cos} .a+e^{-y}}}={\frac {a}{y^{2}+a^{2}}}-B_{2}a+B_{4}{\frac {a^{3}-3ay^{2}}{1.2.3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff7f4a21b298a4ec4e4055972484ce5f244056e)
![{\displaystyle -B_{6}{\frac {a^{5}-10a^{3}y^{2}+5ay^{4}}{1.2.3.4.5}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ae244e82ba9199e4f0e5ba69a43689e0b2f2a2)
(R)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Sin} .y}{\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .a}}={\frac {y}{a^{2}-y^{2}}}+B_{2}y-B_{4}{\frac {y^{3}+3a^{2}y}{1.2.3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1767f2a8fcd399fce377d70deb76fe826d05c3e)
![{\displaystyle +B_{6}{\frac {y^{5}+10a^{2}y^{3}+5a^{4}y}{1.2.3.4.5}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592e532554a716c09a4bcb0e47325c15a1013d40)
(S)
En faisant
dans (Q), on a la secondée des séries de la page 118, dont les autres sont tirées. Nous démontrerons ces formules comme il suit.
En faisant
on a
![{\displaystyle \Delta \left(e^{nx}\operatorname {Sin} .ax\right)=e^{nx}\left\{\left(e^{n}\operatorname {Cos} .a-1\right)\operatorname {Sin} .ax+e^{n}\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .ax\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355b92b144567290bf9a938a74d74a7a72f445fd)
![{\displaystyle \Delta \left(e^{nx}\operatorname {Cos} .ax\right)=e^{nx}\left\{\left(e^{n}\operatorname {Cos} .a-1\right)\operatorname {Cos} .ax-e^{n}\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .ax\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba3d27877fe1231f5a0ad8a10e6c5e272f0149a)
d’où on conclut qu’on peut supposer
![{\displaystyle \Sigma \left(e^{nx}\operatorname {Sin} .ax\right)=e^{nx}\left(A\operatorname {Sin} .ax+B\operatorname {Cos} .ax\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/788a4fe0089f04d4feee1060e1639a9e2627b673)
![{\displaystyle \Sigma \left(e^{nx}\operatorname {Cos} .ax\right)=e^{nx}\left(C\operatorname {Cos} .ax+D\operatorname {Sin} .ax\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed77f60eb736cb6aa64a11d4b9874e2437f4097)
étant des constantes.
En effet, différenciant et comparant aux valeurs précédentes ; on trouve
![{\displaystyle A=C={\frac {e^{n}\operatorname {Cos} .a-1}{e^{2n}-2e^{n}\operatorname {Cos} .a+1}},\quad B=D={\frac {e^{n}\operatorname {Sin} .a}{e^{2n}-2e^{n}\operatorname {Cos} .a+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fee81c06379822fc84607482837268db95729fc)
(T)
D’un autre côté, si l’on applique à
et
(ou seulement à la première de ces deux fonctions, car elles conduisent toutes deux au même résultat) la formule d’intégration
![{\displaystyle \Sigma z={\frac {1}{x}}z-{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}z}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81be1b132ff5f31759d5cbff600566bd4d41db2c)
![{\displaystyle -{\frac {z}{x}}+{\frac {B_{2}}{1}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {B_{4}}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}z}{\operatorname {d} x^{3}}}+{\frac {B_{6}}{1.2.3.4.5}}{\frac {\operatorname {d} ^{5}z}{\operatorname {d} x^{5}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5e2897a546430daa329bdb4134be3039fc2b43)
on obtient un résultat de la forme
![{\displaystyle \Sigma \left(e^{nx}\operatorname {Sin} .ax\right)=e^{nx}\left(A\operatorname {Sin} .ax+B\operatorname {Cos} .ax\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/788a4fe0089f04d4feee1060e1639a9e2627b673)
et
étant les séries (Q-
) et (R). Ainsi, ces valeurs peuvent être égalées aux valeurs (T).
Dans les valeurs (Q) nous avons fait passer la fraction
dans le premier membre, pour plus de symétrie, ce qui a donné, pour ce premier membre,
![{\displaystyle {\frac {e^{n}\operatorname {Cos} .a-1}{e^{2n}-2e^{n}\operatorname {Cos} .a+1}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}.{\frac {e^{2n}-1}{e^{2n}-2e^{n}\operatorname {Cos} .a+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ada2d8892f048616a650d0b6539518874ea9ff)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}.{\frac {e^{n}-e^{-n}}{e^{n}-2\operatorname {Cos} .a+e^{-n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eee979e767f7c167207e05b8d98b55d881b509b)
La formule (S) dérive de l’une des deux premières, en y mettant
pour ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Observons que les coefficiens de
dans les expressions de la somme des séries de la page 118, peuvent se déterminer d’une manière indépendante par les formules
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}A_{n}=&1^{n-1},\\B_{n}=&2^{n-1}-{\frac {n}{1}}1^{n-1},\\C_{n}=&3^{n-1}-{\frac {n}{1}}2^{n-1}+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}1^{n-1},\\D_{n}=&4^{n-1}-{\frac {n}{1}}3^{n-1}+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}2^{n-1}-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}1^{n-1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ea42d3933bff3b22a2917fba488792bd3c5f05)
Ainsi, dans l’exemple de la page 119. on aurait
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}A_{7}=&1\ =1,\\B_{7}=&2^{6}-7.1\ =57,\\C_{7}=&3^{6}-7.2^{6}+21.1\ =302,\\D_{7}=&4^{6}-7.3^{6}+21.2^{6}-35.1=302,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e160ff1e778cdd6ac801e298a99cebfc6ade927)
Au reste, la suite des coefficiens
étant symétrique, il suffit de calculer la moitié des termes.