ASTRONOMIE.
Sur la déclinaison des planètes ;
Par M. le professeur Kramp, doyen de la faculté des
sciences de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
I. Les déclinaisons des planètes, consignées dans nos éphémérides, forment des séries très-irrégulières, et dont il paraît fort difficile de déterminer la loi. Prenons pour exemple les années 1811, 1812, 1813, 1814, 1815, qui sont les cinq premières de la décade actuelle.
Pendant ces cinq années, la déclinaison d’Uranus a été constamment australe ; et on peut remarquer que, pendant une partie de l’année, elle a passé sans cesse de sa plus grande valeur à la plus petite, et que pendant l’autre, elle a repassé de la plus petite à la plus grande. Les plus grandes déclinaisons étaient renfermées entre les limites
et
celles des moindres déclinaisons ont été
et
la planète s’est donc écartée du plan de l’équateur.
La déclinaison constamment australe de Saturne a fait des oscillations semblables ; ses plus grandes déclinaisons ont diminué de
à
les plus petites ont diminué de même depuis
jusqu’à
la planète s’est donc rapprochée de l’équateur.
La déclinaison de Jupiter a été boréale pendant les quatre années
1181, 1812, 1813, 1814. Le 16 novembre de cette dernière année, la planète a traversé le plan de l’équateur ; le 9 avril 1815 ; elle l’a repassé une seconde fois ; et le 9 juillet de cette même année ; elle est redescendue de nouveau dans l’hémisphère australe,
Mars a traversé cinq fois le plan de l’équateur ; savoir, le 1.er février et le 25 octobre 1812 ; le 1.er janvier et le 7 octobre 1814, et le 10 juillet 1815. Les intervalles de temps de l’un de ces passages à l’autre ont été successivement
jours ; nombres dont l’inégalité ne saurait dépendre de l’ellipticité de l’orbite.
Vénus a traversé le même plan douze fois ; et, en exprimant en jours les intervalles de temps d’un passage à l’autre, on trouve les nombres qui suivent :
L’excentricité presque insensible de l’orbite de
Vénus n’a rien de commun avec l’inégalité de ces nombres.
Ces mêmes intervalles sont encore beaucoup plus inégaux pour
Mercure qui, pendant ces cinq années, a traversé seize fois le plan de l’équateur. La recherche des lois qui lient entr’eux les termes de ces séries irrégulières dépend du problème suivant :
2. PROBLÈME. Connaissant les élémens de l’orbite d’une planète, on demande l’expression générale de sa déclinaison, pour un temps quelconque proposé ?
Solution. Soient
l’écliptique (fig. 1)
le soleil ;
la terre ;
la ligne des équinoxes ;
la ligne menée du soleil au nœud ascendant de l’orbite de la planète : cette dernière étant supposée en
élevée au-dessus du plan de l’écliptique. Abaissons de
sur ce plan la perpendiculaire
et sur la ligne des nœuds la perpendiculaire
Menons de plus, dans le plan même de l’écliptique, la ligne
dont le prolongement rencontre en
la ligne des nœuds et la ligne
; ensuite les deux rayons vecteurs
et enfin la ligne
; de la terre
à la planète
Quant aux lignes auxiliaires, remarquons que
est parallèle à
; que
est parallèle à
et conséquemment perpendiculaire comme elle à la ligue des pœuds
; et qu’enfin
est parallèle à cette même ligne des nœuds, et conséquemment perpendiculaire à
3. Cela étant, soient,
l’angle
inclinaison de l’orbite ;
l’angle
longitude du nœud ascendant ;
l’angle
longitude héliocentrique de la terre ;
l’angle
que fait le rayon vecteur de la planète avec la ligne des nœuds ;
la ligne
rayon vecteur de la terre ;
la ligne
rayon vecteur de la planète ;
l’angle
longitude géocentrique de la planète ;
l’angle
latitude géocentrique de la planète ;
l’angle
que fait la ligne des nœuds avec
ou avec sa parallèle
4. Les élémens de l’orbite de la planète étant supposés connus, les deux rayons vecteurs
de même que les angles
seront donnés de même. Par leur moyen, on exprimera les angles
et
de la manière suivante
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .(\delta -L)={\frac {a\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )-r\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\omega }{r\operatorname {Cos} .\omega -a\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c5ba4d90006e8373c09d3ba69ca0073318ab54)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .L'={\frac {r\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Cos} .(\delta -L)}{r\operatorname {Cos} .\omega -a\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac3799b982d97475fdcdbd3b3c367ef7c249e02)
5. Pour abréger, désignons par
la somme des quarrés du numérateur et du dénominateur de la première de ces deux fractions, de celle qui exprime la tangente de l’angle
On aura ainsi :
![{\displaystyle R\operatorname {Sin} .(\delta -L)=a\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )-r\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Cos} .\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a931b489527171ae3c999a6c48adac16687eb19)
![{\displaystyle R\operatorname {Cos} .(\delta -L)=r\operatorname {Cos} .\omega -a\operatorname {Cos} .(\theta -\delta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c98942c04faae612ea210ab8e27fc134fbb663)
On trouvera de même, à cause de
![{\displaystyle R\operatorname {Sin} .L=r\operatorname {Sin} .\delta \operatorname {Cos} .\omega +r\operatorname {Cos} .\delta \operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Cos} .\beta -a\operatorname {Sin} .\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb047572517e5f4a756a0c69ff16e4e2c8a252cf)
![{\displaystyle R\operatorname {\operatorname {Cos} } .L=r\operatorname {\operatorname {Cos} } .\delta \operatorname {\operatorname {Cos} } .\omega -r\operatorname {\operatorname {Sin} } .\delta \operatorname {\operatorname {Sin} } .\omega \operatorname {\operatorname {Cos} } .\beta -a\operatorname {\operatorname {Cos} } .\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9fc81de4a95cf8f93c211ef53837358c2b898c)
et enfin
![{\displaystyle R\operatorname {Tang} .L'=r\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e11b5aa2dd74c3dd0406f9f98ba23b0b02a1d7e)
6. Soit, en second lieu,
la somme des quarrés des deux termes de la seconde fraction, qui exprime la tangente de la latitude géocentrique
ou
On trouve, en développant,
![{\displaystyle {\mathcal {f}}^{2}=a^{2}-2ar\left\{\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )\operatorname {Cos} .\omega +\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Cos} .\beta \right\}+r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988b2be4cd655b73c80dcbec3c1154e734d407ad)
la lettre
désigne donc la ligne
distance de la terre à la planète. Il en résulte
![{\displaystyle {\mathcal {f}}\operatorname {Sin} .L'=r\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\omega ,\qquad {\mathcal {f}}\operatorname {Cos} .L'=R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2420a41125c9f13aad729abc2724936d5b647f)
7. Nous avons fait connaître ailleurs les formules par lesquelles on trouve l’ascension droite et la déclinaison d’un astre, dont on connaît la longitude et la latitude. Soient (fig. 2)
l’équateur,
l’écliptique,
un astre quelconque ; soit de plus
l’obliquité de l’écliptique,
l’ascension droite
la déclinaison
la longitude
la latitude
; cette dernière étant supposée boréale. On aura
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .A'=\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .L\operatorname {Cos} .L'+\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .L'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5aeece9f6c648b0de7b9e88353ee78cf2fc700)
8. Il ne reste qu’à développer cette expression, pour avoir celle de la déclinaison, au bout d’un temps donné on trouvera (4, 5, 6)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .A'={\tfrac {r\left(\operatorname {Sin} .\delta \operatorname {Cos} .\omega \operatorname {Sin} .\varepsilon +\operatorname {Cos} .\delta \operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\varepsilon +\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\varepsilon \right)-a\operatorname {Sin} .\theta \operatorname {Sin} .\varepsilon }{\mathcal {f}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5c84fa831953ca57924e1ba538389a7ee1c378)
9. On simplifiera cette expression, en introduisant un angle
tel que
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\lambda ={\frac {\operatorname {Sin} .\delta \operatorname {Sin} .\varepsilon }{\operatorname {Cos} .\delta \operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2bfe0a35d2d450e3e57b327eb47ead56ebf084)
on aura alors
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .A'={\frac {r\operatorname {Sin} .\delta \operatorname {Sin} .(\lambda +\omega )-a\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\theta }{{\mathcal {f}}\operatorname {Sin} .\lambda }}.\operatorname {Sin} .\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13360bbf4ca10e8eedf7052dfccb14346f7de4f)
10. Le soleil étant rapporté au centre de la sphère ; soit
le grand cercle de cette sphère déterminé par l’orbite de la planète ; ce grand cercle coupant l’équateur en
et l’écliptique en
et par conséquent
étant l’argument de la latitude
la distance à l’équinoxe et
le nœud ascendant ; l’arc
sera ce que nous avons désigné par
et l’argument de latitude
sera
on aura donc
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .A'={\frac {r\operatorname {Sin} .\mathrm {BE} \operatorname {Sin} .\mathrm {FS} -a\operatorname {Sin} .\mathrm {BF} \operatorname {Sin} .\theta }{{\mathcal {f}}\operatorname {Sin} .\mathrm {BF} }}.\operatorname {Sin} .\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be8797e663cd80fdbc4186fa748263438a5396c)
11. Comme l’angle
ou l’inclinaison de l’orbite vers l’écliptique, est un angle très-petit, pour toutes les planètes de notre système solaire, on voit que l’arc
ou
ne saurait différer beaucoup de l’arc
ou
qui est la longitude du nœud. On trouve effectivement
égale, à peu près, à
ce qui rend cette différence angulaire sensiblement proportionnelle au sinus de l’inclinaison de l’orbite. Si la planète se mouvait entièrement dans le plan de l’écliptique, on aurait exactement
et le sinus de la déclinaison de la planète, ou
se trouverait être
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .A'={\frac {r\operatorname {Sin} .(\delta +\omega )-a\operatorname {Sin} .\theta }{\mathcal {f}}}.\operatorname {Sin} .\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b653b0dc4e97aad282ebc67cfce2051ffc7bb1ae)
12. Dans le cas d’une planète infiniment éloignée, et qui rentrerait ainsi dans la classe des étoiles fixes, la distance
ferait disparaître
et il viendrait par conséquent
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .A'={\frac {\operatorname {Sin} .\mathrm {BE} \operatorname {Sin} .\mathrm {FS} \operatorname {Sin} .\varepsilon .}{\operatorname {Sin} .\mathrm {BF} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1cb1d3d1853f2b537efc5fee55e9c2b2f570aa)
Cette expression est une quantité constante, et indépendante du temps ; et on voit qu’elle ne veut dire autre chose que
l’arc
étant effectivement la déclinaison de l’étoile.
13. Le moment du passage de la planète par le plan de l’équateur est celui où la déclinaison
est nulle ; on a alors
![{\displaystyle r\operatorname {Sin} .\delta \operatorname {Sin} .(\lambda +\omega )=a\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f28bad77c4cc8b64dc75d2db48a1d4f85343f3)
équation dans laquelle les angles
et
de même que les deux rayons vecteurs
et
sont des fonctions très-connues, mais transcendantes du temps, et qui ne peuvent être développées qu’en séries infinies. Le problème est donc insoluble, dans le cas des orbites elliptiques ; et dans la supposition même d’un mouvement uniforme et circulaire, il exige l’emploi de la règle de fausse position.
14. En nous bornant au calcul des mouvemens moyens, essayons de déterminer (9) la déclinaison des planètes de notre système, telle qu’elle doit avoir été le 1.er janvier de l’année 1815, à midi.
Le logarithme de la distance de la terre au soleil était alors
et la longitude du soleil était
on aura donc
et
De plus, du
1.er janvier 1801 à minuit jusqu’au 1.er janvier 1815 à midi il s’est écoulé
jours et demi.
15. Il faudra connaître les mouvemens moyens journaliers de la terre, de la planète et du nœud de celle-ci. Soient donc
le mouvement moyen journalier de la terre,
le mouvement moyen journalier de la planète,
le mouvement moyen journalier du nœud.
Les trois moyens mouvemens seront exprimés en degrés et parties de degrés. Le mouvement
sera une fraction très-petite, et qui ne deviendra bien sensible qu’au bout d’un siècle.
16. Il faudra connaître aussi les longitudes héliocentriques moyennes de la terre, de la planète, et du nœud de celle-ci ; à l’époque dont on veut partir. Soient donc, pour cette époque,
la longitude de la terre ;
la longitude de la planète,
la longitude de son nœud.
Ainsi, les mouvemens étant supposés uniformes et circulaires, on aura :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=M+mt,\\\mathrm {EL} &=N+nt,\\\mathrm {EB} &=H-ht.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e30ae112fbf4c738104b64b4840516b462b6f9)
17. Il en résultera
![{\displaystyle \mathrm {BL=EL-EB} =N-H+(n+h)t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32bbf289f8ba1bf129e1328eb79f73320073546b)
ainsi,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {BS} =\operatorname {Tang} .\omega ={\frac {\operatorname {Tang} .\left[N-H+(n+h)t\right]}{\operatorname {Cos} .\beta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25cf5db3a0b7d27520e358bf73331b0dc1110ada)
La lettre
désigne ici le nombre des jours écoulés depuis l’époque fixe jusqu’à celle pour laquelle on veut déterminer la longitude de la planète. Comme l’angle
est très-petit, pour toutes les planètes de notre système, excepté Mercure, on aura sensiblement
ce qui donne
![{\displaystyle \omega =N-H+(n+h)t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d431e5c1b6854615ebdad802cc9786a2240451)
18. Les mouvemens moyens et journaliers des planètes sont exprimés dans la table qui suit :
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}&{\text{Mercure}}\ldots &4^{\circ },09237706,\\&\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &1\ \ ,60217659,\\&{\text{Terre}}\ldots &0\ \ ,98564716,\\&{\text{Mars}}\ldots &0\ \ ,52407126,\\&{\text{Jupiter}}\ldots &0\ \ ,08312916,\\&{\text{Saturne}}\ldots &0\ \ ,03349833,\\&{\text{Uranus}}\ldots &0\ \ ,01176895.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe10e6914f28e6d91b334fbc38cd5fef16a43b73)
La troisième de ces valeurs est celle de
; les autres appartiennent aux
des différentes planètes de notre système.
19. Voyons présentement quelles erreurs pourra entraîner, dans le calcul des latitudes au commencement de 1815, l’emploi des moyens mouvemens, On a d’abord les distances moyennes, c’est-à-dire,
ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle {\begin{array}{lrr}\mathrm {Mercure} \ldots &0{,}3870981,&\operatorname {Log} .r=9.5878210,\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &0{,}7233323,&9.8693399,\\\mathrm {Mars} \ldots &1{,}5236935,&0{,}1828978,\\\mathrm {Jupiter} \ldots &5{,}202794.\ ,&0{,}7162365,\\\mathrm {Saturne} \ldots &9{,}53877..\,\ ,&0{,}9794924,\\\mathrm {Uranus} \ldots &19{,}1833...\,\ \,;&1{,}2829233.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46bcb00d99b5237801b0c409335189e9eafaf62)
20. Les arcs décrits pendant 5113 jours
en rejetant les circonférences entières, seront respectivement (18)
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\mathrm {Mercure} \ldots &46^{\circ }.22'.12'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &272\ \ .43\ .48\ \ ,\\\mathrm {Mars} \ldots &159\ \ .56\ .16\ \ ,\\\mathrm {Jupiter} \ldots &65\ \ .\ 4\ .51\ \ ,\\\mathrm {Saturne} \ldots &271\,\ .17\ .37\ \ ,\\\mathrm {Uranus} \ldots &60\,\ .10\ .50\ \ ;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8cdb497746b341d15fa16e4ac2eb37122a4d84)
Mais, au commencement de 1801, les longitudes étaient
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\mathrm {Mercure} \ldots &163^{\circ }.56'.27'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &10\ \ .44\ .31\ \ ,\\\mathrm {Mars} \ldots &64\ \ .\,\ 7\ .\ 2\ \ ,\\\mathrm {Jupiter} \ldots &102\ \ .12\ .36\ \ ,\\\mathrm {Saturne} \ldots &135\ \ .20\ .32\ \ ,\\\mathrm {Uranus} \ldots &177\ \ .47\,.18\ \ ;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89234bfd60aa43b095a346d1ec6cc1fd49b46260)
ajoutant donc ces arcs aux précédens, en rejetant encore les circonférences entières, on obtiendra pour les longitudes, au commencement de 1815,
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\mathrm {Mercure} \ldots &210^{\circ }.18'.39'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &283\ \ .28\ .23\ \ ,\\\mathrm {Mars} \ldots &223\ \ .57\ .28\ \ ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a20f965a4abc420e314369b606c94bbfb46d163)
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Jupiter}}\ldots &167\ \ .17\ .27\ \ ,\\{\text{Saturne}}\ldots &306\ \ .38\ .\ 9\ \ ,\\{\text{Uranus}}\ldots &237\ \ .58\ .\ 8\ \ \,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6c29094160aa7cd56bc433cb94aeed3a3e805e)
21. Le mouvement séculaire rétrograde du nœud de chaque planète et le mouvement de ce nœud pour 5113 jours
sont ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Mercure}}\ldots &782^{\circ }.\ 1'.49'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &1870\ \ .\ 4\ .21\ \ ,\\{\text{Mars}}\ldots &2329\ \ .\ 5\ .26\ \ ,\\{\text{Jupiter}}\ldots &1578\ \ .\ 3\ .41\ \ ,\\{\text{Saturne}}\ldots &2260\ \ .\ 5\ .16\ \ ,\\{\text{Uranus}}\ldots &3598\ \ .\ 8\ .23\ \ \,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b31449fab3eeb322eac934dcf32754669e058f3)
mais la longitude du nœud, au commencement de 1801, était
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Mercure}}\ldots &45^{\circ }.57'.31'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &74\ \ .52\ .40\ \ ,\\{\text{Mars}}\ldots &48\ \ .\ 1\ .28\ \ ,\\{\text{Jupiter}}\ldots &98\ \ .25\ .34\ \ ,\\{\text{Saturne}}\ldots &111\ \ .55\ .47\ \ ,\\{\text{Uranus}}\ldots &72\ \ .51\ .14\ \ \,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c984764c5d25df764a4c18f719c9a692569bb42f)
cette longitude
devait donc être, au commencement de 1815,
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Mercure}}\ldots &\delta =45^{\circ }.55'.47'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &74\ \ .48\ .20\ \ ,\\{\text{Mars}}\ldots &47\ \ .56\ .\ 2\ \ ,\\{\text{Jupiter}}\ldots &98\ \ .21\ .53\ \ ,\\{\text{Saturne}}\ldots &111\ \ .50\ .31\ \ ,\\{\text{Uranus}}\ldots &72\ \ .42\ .51\ \ \,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ed3e9df06339da8d49e8a958738da4f1eba758)
ôtant donc cette dernière longitude de celle de la planète pour la même époque de 1815, on obtiendra pour l’arc
base du triangle sphérique rectangle ![{\displaystyle \mathrm {BLS} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c69569a16478980132cad7da34e0e3692a09c2a)
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Mercure}}\ldots &\mathrm {BL} =164^{\circ }.23'.\ 0'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &208\ \ .40\ .\ 0\ \ ,\\{\text{Mars}}\ldots &176\ \ .\ 1\ .16\ \ ,\\{\text{Jupiter}}\ldots &68\ \ .55\ .34\ \ ,\\{\text{Saturne}}\ldots &194\ \ .47\ .38\ \ ,\\{\text{Uranus}}\ldots &165\ \ .\ 6\ .54\ \ \,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f4d29fd574c5ebcedca2cea3cec3c76920fba6)
mais, les inclinaisons
des orbites sont respectivement
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Mercure}}\ldots &\beta =5^{\circ }.\ 0'.\ 0'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &3\ \ .23\ .35\ \ ,\\{\text{Mars}}\ldots &1\ \ .51\ .\ 0\ \ ,\\{\text{Jupiter}}\ldots &1\ \ .18\ .52\ \ ,\\{\text{Saturne}}\ldots &2\ \ .29\ .38\ \ ,\\{\text{Uranus}}\ldots &0\ \ .46\ .25\ \ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0c62640352b4e906d09035d583aac6a8bb4917)
Divisant donc par le cosinus de cette inclinaison
la tangente de
on obtiendra pour quotient la tangente de
ou
qu’on trouvera être ainsi
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Mercure}}\ldots &\omega =164^{\circ }.16'.29'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &208\ \ .42\ .36\ \ ,\\{\text{Mars}}\ldots &176\ \ .\ 1\ .\ 9\ \ ,\\{\text{Jupiter}}\ldots &68\ \ .55\ .24\ \ ,\\{\text{Saturne}}\ldots &194\ \ .48\ .30\ \ ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107f5857f2773b8e2bf392025ae099aa80d54652)
22. On a d’ailleurs, pour le commencement de 1815, le logarithme du rayon vecteur terrestre ou
la longitude héliocentrique de la terre ou
et l’obliquité de l’écliptique
d’après quoi on trouvera
ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\mathrm {Mercure} \ldots &\theta -\delta =54^{\circ }.20'.48'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &25\ \ .28\ .10\ \ ,\\\mathrm {Mars} \ldots &52\ \ .20\ .28\ \ ,\\\mathrm {Jupiter} \ldots &1\ \ .54\ .37\ \ ,\\\mathrm {Saturne} \ldots &348\ \ .24\ .\ 0\ \ ,\\\mathrm {Uranus} \ldots &27\ \ .33\ .39\ \,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e383845c841f3726660f2e7b1590b48798b02f5)
23. Avec toutes ces données, et à l’aide des formules du commencement de ce mémoire, on trouvera, pour la distance, de la
terre à la planète et pour l’angle
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\mathrm {Mercure} \ldots &{\mathcal {f}}=1{,}173566,&\lambda =38^{\circ }.14'.14'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &1{,}705748,&67\ \ .35\ .20\ \ ,\\\mathrm {Mars} \ldots &2{,}208150,&40\ \ .32\ .54\ \ ,\\\mathrm {Jupiter} \ldots &4{,}903223,&95\ \ .59\ .14\ \ ,\\\mathrm {Saturne} \ldots &9{,}676540,&107\ \ .29\ .48\ \ ,\\\mathrm {Uranus} \ldots &19{,}919737,&71\ \ .23\ .\ 0\ \ \,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e05e484fc2cb1d168ef5d7e7b25183f5a60578)
et on aura enfin pour la déclinaison
que nous mettons en
regard avec celle des éphémérides,
![{\displaystyle {\begin{array}{lr|r|r}&\mathrm {Suiv.\ not.\ cal.} &\mathrm {Suiv.\ les\ {\acute {e}}ph{\acute {e}}m.} &\mathrm {Diff.} \\\mathrm {Mercure} \ldots &22^{\circ }.44'.37''.A&23^{\circ }.13&+28'.23'',\\\mathrm {V{\acute {e}}nus} \ldots &23\ \ .38\ .20\ \ .A&23\ \ .38&-\ 0\ .20\ \ ,\\\mathrm {Mars} \ldots &19\ \ .35\ .40\ \ .B&19\ \ .34&-\ 1\ .40\ \ ,\\\mathrm {Jupiter} \ldots &1\ \ .50\ .\ 0\ \ .A&2\ \ .29&+29\ .\ 0\ \ ,\\\mathrm {Saturne} \ldots &21\ \ .16\ .\ 0\ \ .A&20\ \ .28&-48\ .\ 0\ \ ,\\\mathrm {Uranus} \ldots &19\ \ .58\ .\ 0\ \ .A&21\ \ .\ 1&-63\ .\ 0\ \ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751b2475aa833d477ed2da36ec6d353b38afd101)
24. En comparant successivement ces différences avec la plus grande équation du centre de la planète, on trouve qu’elles en sont respectivement, du moins à peu de chose près, les fractions suivantes
![{\displaystyle {\tfrac {1}{50}},{\tfrac {1}{150}},{\tfrac {1}{384}},{\tfrac {1}{8}},{\tfrac {1}{8}},{\tfrac {1}{5}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7f7e2aa8bbf34a2d92df08a902b9dcd5939d28)
Ces résultats, et sur-tout celui qui répond à Mercure, la plus excentrique de toutes les planètes, conduisent à conjecturer, avec beaucoup de vraisemblance, que l’ellipticité des orbites influe moins qu’on ne le croirait sur la déclinaison des planètes, que cependant l’erreur qui résulte du simple emploi des moyens mouvemens, dans le calcul de cette déclinaison, augmente avec les dimensions de l’orbite.
25. La condition du passage de la planète par le plan de l’équateur est renfermée dans l’équation
(13). L’état insoluble de cette équation, dans la supposition du mouvement elliptique, nous oblige à nous contenter de l’emploi des mouvemens moyens. Encore serons-nous obligés de profiter de la circonstance favorable que nous présente l’inclinaison des orbites qui, dans notre système solaire, est partout assez petite pour qu’on puisse, sans erreur sensible, supposer
ce qui donne simplement (17)
![{\displaystyle \omega =N-H+(n+h)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6fe8550e4d09b40c4cfc18f72992a5a5c54c31)
26. L’extrême lenteur du mouvement des nœuds nous permet en outre, du moins pour un nombre d’années limité, de supposer
nulle ; il résultera de là
Dans cette même supposition, l’angle
deviendra une quantité constante, et indépendante du temps. Ainsi désignant par
ce que devient
lorsque dans l’expression générale de
(9), on remplace la lettre
par
(17), ce qui donnera
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .L={\frac {\operatorname {Sin} .H\operatorname {Sin} .\varepsilon }{\operatorname {Cos} .H\operatorname {Sin} .\varepsilon +\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4a043d239bbe3e3162e5ff08f7487f1f25f594)
l’équation finale du problème sera
![{\displaystyle r\operatorname {Sin} .H\operatorname {Sin} .(L+N-H+nt)=a\operatorname {Sin} .L\operatorname {Sin} .(M+mt).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b511f24a4a377c4e56a4e22a5954645d59c3b0)
27. Cette équation ne renferme que la seule inconnue
c’est le nombre des jours comptés depuis l’époque fixe jusqu’à l’époque où se fera quelque passage de la planète par le plan de l’équateur. Les quantités
seront liées entr’elles par la loi de Képler
Mais, comme les rapports
sont incommensurables, l’équation, malgré sa simplicité apparente, sera transcendante, et exigera, pour sa résolution l’emploi de la règle de fausse position. On sait de plus que la série que forment les racines de cette équation n’a rien de commun, même dans les cas les plus simples, avec les progressions arithmétiques, géométriques, récurrentes, etc.
28. La simplicité de l’équation finale (26) rend au moins l’emploi des fausses positions très-facile ; et on pourra s’en servir avec avantage, pour trouver les valeurs approchées des passages d’une planète par le plan de l’équateur, pour une année quelconque qui ne serait pas trop éloignée.
29. Après avoir discuté les cas où la déclinaison devient nulle, examinons les époques où elle parvient à son maximum ou minimum. Les notations précédentes seront conservées ; nous supposerons toujours
sensiblement nul, ce qui donnera
et nous ferons la longitude de la planète
ou
30. Le quarré de la distance de la terre à la planète ou,
a été trouvé (6),
![{\displaystyle {\mathcal {f}}^{2}=a^{2}-2ar\left[\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )\operatorname {Cos} .\omega +\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Cos} .\beta \right]+r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ece5b1c9aef119672d503240c058a663d543e14)
En faisant
cette formule deviendra
![{\displaystyle {\mathcal {f}}^{2}=a^{2}-2ar\operatorname {Cos} .(\theta -\delta -\omega )+r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3667f98036aafdbde533639250913a8ed46bea)
ou bien
![{\displaystyle {\mathcal {f}}^{2}=a^{2}-2ar\operatorname {Cos} .\left[M-N+(m-n)t\right]+r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88559ee7d28af0df208f12c83ade5dff4aaf955)
et, en différentiant,
![{\displaystyle f\operatorname {d} f=ar(m-n)\operatorname {Sin} .(\theta -\delta -\omega )\operatorname {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8141d6c9323b9b4588fabca070fcf4f89f6b180a)
31. L’expression générale du sinus de la déclinaison a été trouvée
(9). Pour remplir la condition proposée, il faut égaler à zéro la différentielle de cette quantité. En y regardant
comme constants, nous n’y aurons que les trois seules variables
qui toutes dépendent du temps ; nous aurons ainsi
![{\displaystyle \operatorname {d} \theta =m\operatorname {d} t,\qquad \operatorname {d} \omega =n\operatorname {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e68a39d01ddc0c04f25c194532146fee3a43ed)
et nous venons de trouver
(30).
32. Nous parviendrons ainsi à une équation composée de huit termes, et qui a au moins l’apparence d’être compliquée. On y reconnaît bientôt les deux facteurs suivans
![{\displaystyle r\operatorname {Sin} .\delta \operatorname {Sin} .(\varkappa +\lambda -\delta )-a\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\theta =F,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002484904b37a5e579ed8b907fcd9ae85bd07754)
![{\displaystyle nr\operatorname {Sin} .\delta \operatorname {Cos} .(\varkappa +\lambda -\delta )-ma\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\theta =G\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7f1b13a62e694d7038922362ebfa1e4d0c7cb4)
et l’équation devient ainsi
![{\displaystyle {\mathcal {f}}^{2}G=arF(m-n)\operatorname {Sin} .(\theta -\varkappa ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073be95a4ea102c8462c5d3c9bdb2e87c7dcd934)
33. Pour en tirer l’inconnue
voyons ce qu’elle deviendrait dans le cas d’une planète dont l’orbite serait couchée dans le plan de l’écliptique. L’angle
alors serait égal à zéro ; la différence angulaire
s’évanouirait ; et toute l’équation serait divisible par
Supprimant ce facteur commun, on aurait
![{\displaystyle F=r\operatorname {Sin} .\varkappa -a\operatorname {Sin} .\theta ,\qquad G=nr\operatorname {Cos} .\varkappa -ma\operatorname {Cos} .\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918f044b122f387dc3c506c9b582c61f52948f0a)
L’équation serait alors décomposable dans les deux facteurs qui suivent
![{\displaystyle r\operatorname {Cos} .\varkappa -a\operatorname {Cos} .\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cf24f09e41b7648983e9d2a08a32992f3a2757)
![{\displaystyle nr^{2}-ar(m+n)\operatorname {Cos} .(\theta -\varkappa )+ma^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bfba228a6cd98be3a19148c6674032400d679b)
34. En égalant le premier facteur à zéro, on obtient l’équation
![{\displaystyle r\operatorname {Cos} .(N+nt)=a\operatorname {Cos} .(M+mt)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d47adf75a4d97743d5861b2635e7c954fa4067)
elle répond naturellement à l’équation trouvée (26) qui dans la même hypothèse, se réduit à
![{\displaystyle r\operatorname {Sin} .(N+nt)=a\operatorname {Sin} .(M+mt),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e480904b6e92acaf2c59442a412a7886762186)
et fait connaître les passages de la planète par le plan de l’équateur.
35. Le second facteur égalé à zéro donne
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(\theta -\varkappa )=\operatorname {Cos} .\left[M-N+(m-n)t\right]={\frac {ma^{2}+nr^{2}}{(m+n)ar}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6115d2d5c7189902d2ee7c2b7503e872b6f015e)
Cette formule est connue ; c’est celle qui détermine l’époque où la planète devient stationnaire. Ainsi donc, en supposant le mouvement de la planète uniforme et circulaire, et son orbite couchée dans le plan même de l’éclîptique, elle parviendra à sa plus grande ou à sa moindre déclinaison au moment même où elle deviendra stationnaire.
36. On sait que le cosinus de tout angle
est aussi celui des angles
etc. En conséquence, en désignant par
le moindre des angles qui aura
pour cosinus, et par
les valeurs consécutives de l’inconnue
on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{lrlr}(m-n)t\ \ \ =&A-M+N,&(m-n)t'\ =&2\varpi -A-M+N,\\(m-n)t''\ =&2\varpi +A-M+N,&(m-n)t'''=&4\varpi -A-M+N,\\(m-n)t^{IV}=&4\varpi +A-M+N,&(m-n)t^{V}=&6\varpi -A-M+N,\\\ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2baebf2b5eeee30e3f1a08a5b56decd4e168e667)
Ces racines formeront ainsi deux progressions arithmétiques ayant pour différence commune
c’est la durée d’une révolution synodique.
37. Donc, en supposant la planète mue dans le plan de l’écliptique, d’un mouvement uniforme et circulaire, les époques des plus grandes et des moindres déclinaisons forment trois progressions très-distinctes. La première comprend les racines de l’équation ![{\displaystyle r\operatorname {Cos} .(N+nt)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707c68bccfdb6e14d3d228d7d8d5f6091be5a9fb)
Les déclinaisons que cette équation fait connaître sont
toutes du genre des maxima ; elles précèdent et elles suivent les
passages de la planète par l’équateur, et elles sont ainsi alternativement boréales et australes. Les deux autres forment deux progressions arithmétiques, indépendantes de cette première, qui ont pour
différence commune la durée de la révolution synodique, et dans
lesquelles la différence de deux termes correspondans
sera partout la même, savoir
38. Nous avons rassemblé dans les deux tables qui suivent les
plus grandes et les moindres déclinaisons, de même que les passages par
l’équateur, de la planète de Mars, pendant les cinq années 1811,
1812, 1813, 1814, 1815. Les jours sont comptés d’une série continue, depuis le 1.er de l’an 1811.
39. La première table contient les passages de Mars par l’équateur,
ainsi que les plus grandes déclinaisons dont ils sont précédés et
suivis ; ces dernières, qui résultent de l’équation
sont alternativement désignées par les lettres
et
; les passages le sont alternativement par
et
suivant que l’astre entre dans
l’hémisphère boréal ou dans l’hémisphère austral.
![{\displaystyle {\begin{array}{rrc}{\mathit {Plus\ grandes\ d{\acute {e}}clinais}}.&&\\{\mathit {et\ passages\ par\ l'\!{\acute {e}}quat.}}&{\mathit {Jours.\ \ }}&{\mathit {Diff{\acute {e}}renc}}.\\26^{\circ }.\ 1'\ \mathrm {A} \ldots &265\ \quad &\\\mathrm {AB} \ldots &394\ldots &129\\24^{\circ }.22'\ \mathrm {B} \ldots &524\ldots &130\\\mathrm {BA} \ldots &666\ldots &142\\23^{\circ }.38'\ \mathrm {A} \ldots &815\ldots &149\\\mathrm {AB} \ldots &1096\ldots &282\\24^{\circ }.36'\ \mathrm {B} \ldots &1235\ldots &138\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7975e434ca788e99f1d62f7a8591cb7bf21e5e)
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\mathrm {BA} \ldots &1377\ldots &142\\23^{\circ }.44'\ \mathrm {A} \ldots &1511\ldots &134\\\mathrm {AB} \ldots &1652\ldots &141\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b48339d25fdb58ae8bce40f631778e9036f907b)
La plupart de ces différences varient, il est vrai, entre des limites assez resserrées
et
mais la différence
suffit seule pour exclure tout soupçon d’une presque égalité qui pourrait exister entre elles.
La seconde table contient les époques où la planète parvient à sa plus grande ou à sa moindre déclinaison, sans traverser le plan de l’équateur, conformément aux formules (35, 36) ; ces époques sont celles qui suivent :
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}{\text{Plus grande}}\ldots &\mathrm {A} \ldots &136{\text{ jours.}}\\{\text{Moindre}}\ldots &\mathrm {A} \ldots &175\ \ \qquad \\{\text{Plus grande}}\ldots &\mathrm {A} \ldots &891\ \ \qquad \\{\text{Moindre}}\ldots &\mathrm {A} \ldots &962\ \ \qquad \\{\text{Plus grande}}\ldots &\mathrm {B} \ldots &1718\ \ \qquad \\{\text{Moindre}}\ldots &\mathrm {B} \ldots &1770\ \ \qquad \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9846e5b726a71383231421d00cbbd349370a5d)
Les plus grandes déclinaisons ont lieu aux époques
jours, et les plus petites aux époques
Les différences des premiers nombres sont
et
dont la moyenne est
les différences des derniers sont
et
dont la moyenne est
Le milieu entre ces deux moyennes
et la durée de la révolution synodique est seulement
la différence de
jours doit être rejetée sur l’ellipticité de l’orbite et sur l’angle d’environ deux degrés que fait le plan de cette orbite avec celui de l’écliptique.
40. On peut remarquer que les plus grandes et les moindres longitudes géocentriques ont lieu aux jours qui suivent :
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}{\text{Plus grande}}\ldots &\mathrm {A} \ldots &110{\text{ jours.}}\\{\text{Moindre}}\ldots &\mathrm {A} \ldots &176\ \ \qquad \\{\text{Plus grande}}\ldots &\mathrm {A} \ldots &912\ \ \qquad \\{\text{Moindre}}\ldots &\mathrm {A} \ldots &973\ \ \qquad \\{\text{Plus grande}}\ldots &\mathrm {B} \ldots &1717\ \ \qquad \\{\text{Moindre}}\ldots &\mathrm {B} \ldots &1780\ \ \qquad \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0862844f860de658eb172139619cf2196d7e6124)
Ainsi les jours des plus grandes et des moindres longitudes ne sont
pas éloignés de ceux des plus grandes et des moindres décîinaisons,
conformément à la remarque déjà faite (35). Les plus grandes et les
moindres déclinaisons, tirées de l’équation
n’ont rien de commun avec les plus grandes et les moindres longitudes géocentriques, ce qui nous apprend à les distinguer facilement,
par la simple observation des longitudes, de celles qui répondent à
l’autre équation
![{\displaystyle nr^{2}-(m+n)ar\operatorname {Cos} .(\theta -\varkappa )+ma^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405d19031e190389fda9f27b94087a6aefb2e46e)
41. Pour déterminer, d’après les tables ou les observations, le
jour et même l’heure où les plus grandes ou moindres déclinaisons
ont dû avoir lieu, on peut employer la méthode qui suit. Soient
le temps et
la déclinaison qui y répond, aux environ du
maximum ou du minimum. il sera permis de supposer
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afc283097a4f0dbf6517675b7a7ce8b11804909)
La déclinaison
parviendra à son maximum ou minimum, lorsque
on aura dans ce cas
![{\displaystyle y={\frac {4AC-B^{2}}{4C}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3e4fe6bc42c3630fa8a49880a2b07b94783d39)
42. Pour déterminer les coefficiens
on emploira
les déclinaisons, calculées ou observées,
répondant
respectivement aux temps …
de manière que la déclinaison
moyenne
soit plus grande ou moindre que chacune des extrêmes
Alors on aura les trois équations
![{\displaystyle \alpha =A+Ba+Ca^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18349664507ebc1183c6a2a1e4855ab1c292a11)
![{\displaystyle \beta =A+Bb+Cb^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d9d0a5846ec1c5124a11fed0409c58a888bcf9)
![{\displaystyle \gamma =A+Bc+Cc^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71810c05da4f86b6c3f8a1f6e85bf2aa1292a8c2)
desquelles on tirera
![{\displaystyle A=-{\frac {bc(b-c)\alpha +ca(c-a)\beta +ab(a-b)\gamma }{(b-c)(c-a)(a-b)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d26e572e723684edaaa60e751d6ad11c873a919)
![{\displaystyle B=+{\frac {(b^{2}-c^{2})\alpha +(c^{2}-a^{2})\beta +(a^{2}-b^{2})\gamma }{(b-c)(c-a)(a-b)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0adb50b63eee93d4d21e300420bed91d94f3b3d6)
![{\displaystyle C=-{\frac {(b-c)\alpha +(c-a)\beta +(a-b)\gamma }{(b-c)(c-a)(a-b)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ff564c146c536e48f3126a115030fce98568dc)
Le temps au bout duquel la plus grande ou la moindre déclinaison
aura lieu sera
![{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}.{\frac {(b^{2}-c^{2})\alpha +(c^{2}-a^{2})\beta +(a^{2}-b^{2})\gamma }{(b-c)\alpha +(c-a)\beta +(a-b)\gamma }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ebeb1b9fa3619a491a68865a7b602331ca5608)
et cette déclinaison sera
![{\displaystyle y={\tfrac {(b-c)^{4}\alpha ^{2}+(c-a)^{4}\beta ^{2}+(a-b)^{4}\gamma ^{2}-2(b-c)^{2}(c-a)^{2}\alpha \beta -2(c-a)^{2}(a-b)^{2}\beta \gamma -2(a-b)^{2}(b-c)^{2}\gamma \alpha }{4(b-c)(c-a)(a-b)\left[(b-c)\alpha +(c-a)\beta +(a-b)\gamma \right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33dac000373a14146c28cfb91298b2d3207202d)
Si l’on prend les temps en progression arithmétique, ce qui permettra de supposer
ces formules deviendront
![{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}{\frac {\alpha -\gamma }{\alpha -2\beta +\gamma }},\qquad y={\tfrac {1}{8}}.{\frac {\alpha ^{2}+16\beta ^{2}+\gamma ^{2}-8\alpha \beta -8\beta \gamma -2\gamma \alpha }{\alpha -2\beta +\gamma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94bc02b5f894d2fe3828c1115a98ae6723ddc23)
43. Les formules qui ont été l’objet de ce mémoire, fondées sur
ce que l’orbite de la planète était supposée dans le plan de l’écliptique, subissent quelques modifications lorsqu’elle est hors de ce
plan ; ce qui sera l’objet d’un autre mémoire.