ANALISE APPLIQUÉE.
Problème général des engrenages à axes fixes ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Je me propose de montrer ici comment le problème des engrenages
à axes fixes peut être facilement ramené aux procédés généraux de
l’analise mathématique. Je pourrais aborder immédiatement le cas
le plus général de ce problème ; mais, pour en rendre la solution
plus facile à saisir, je pense qu’il ne sera pas hors de propos de
traiter d’abord un cas beaucoup plus simple : c’est celui où l’axe
du pignon ou de la lanterne étant parallèle à celui de la roue,
toutes les sections faites dans l’un et l’autre corps par des plans
perpendiculaires à la direction commune de leurs axes sont des
courbes égales, semblablement situées, et ayant pour points homologues les points où leurs plans sont rencontrés par leurs axes ;
c’est-à-dire, en d’autres termes, le cas où la roue et le pignon ou
lanterne sont des surfaces cylindriques, ayant leurs élémens rectilignes parallèles à la direction commune de leurs axes. Tout se
réduit alors, en effet, à remplir les conditions qui doivent être
satisfaites, pour l’un quelconque des plans perpendiculaires aux
axes ; et on a alors à résoudre simplement un problème de géométrie
plane qui peut être énoncé comme il suit :
PROBLÈME, Deux surfaces planes
situées dans un même plan, où elles doivent demeurer constamment, ne peuvent prendre d’autre mouvement qu’un mouvement de rotation autour de deux points fixes
du plan où elles sont situées. La courbe qui termine la surface
étant donnée, on demande par quelle courbe doit être terminée la surface
pour que ces deux courbes, tournant librement autour de leurs centres de rotation respectifs, avec des vitesses données quelconques, constantes ou variables, les courbes qui les terminent se trouvent continuellement tangentes l’une à l’autre ?
Solution, De quelque manière que soient mus les différens corps
d’un système, lorsqu’on n’a à s’occuper que de leur mouvement
relatif, il est toujours permis de supposer l’un d’eux immobile,
pourvu que l’on transporte aux autres son mouvement en sens
contraire. On peut, en effet, imaginer tout le système renfermé
dans un espace clos que l’on fait mouvoir dans l’espace indéfini,
de telle sorte que le corps que l’on veut supposer immobile le
soit en effet, dans ce dernier espace ; d’où l’on voit qu’alors les
autres corps du système, outre le mouvement qu’on avait d’abord
attribué à chacun d’eux, auront encore un mouvement commun,
égal à celui de l’espace clos, et par conséquent contraire au mouvement effectif du corps que l’on suppose immobile.
Pour appliquer ces considérations au problème qui nous occupe,
supposons que la surface
soit immobile ; il nous faudra, pour
légitimer cette supposition, attribuer au point
un mouvement
circulaire autour du point
et alors notre problème se trouvera
simplement réduit au suivant :
Pendant qu’une surface plane
terminée par une courbe donnée, tourne sur un plan, autour de l’un quelconque
de ses points, avec une vitesse donnée quelconque, constante ou variable, le point
décrit, dans le même plan, une circonférence d’un rayon donné, ayant pour centre un autre point
de ce plan, avec une vitesse constante ou variable, également donnée et quelconque ; on demande quelle est la courbe
à laquelle, dans ce mouvement, la courbe
est continuellement tangente ?
Or, le problème, ainsi envisagé, n’est qu’un cas particulier du
problème des enveloppes planes, et peut être facilement résolu
comme il suit.
Soit
la distance constante entre les deux points
Soit rapportée la courbe fixe cherchée
à des coordonnées rectangulaires
fixes sur le plan des deux courbes, et dont, pour plus
de simplicité, nous supposerons l’origine en
Soit rapportée la courbe mobile donnée
à des coordonnées
fixes sur cette courbe, mais mobiles avec elle sur le plan
des deux surfaces, tant autour du point
qu’autour du point
en prenant encore, pour plus de simplicité, le point
pour origine.
Soit, pour une époque quelconque,
l’angle variable que fait
la droite mobile
avec l’axe des
les équations du point
par rapport au premier système de coordonnées, seront ainsi,
pour la même époque,
![{\displaystyle x=a\operatorname {Cos} .t,\qquad y=a\operatorname {Sin} .t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f161fe9c49d5613a554872c974c80ecff8a2b6)
Si, dans la vue d’obtenir la courbe, lieu du point
dans toutes ses positions autour du point
on élimine, entre ces deux équations, il viendra
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bf051f7bef6105e59b04417401c9370fce85f0)
équation d’un cercle, comme on pouvait bien s’y attendre.
À la même époque, l’axe des
qui varie sans cesse de
position, fera, avec la droite mobile
un angle fonction de
l’angle
dont la grandeur dépendra du rapport des vitesses de
rotation des deux surfaces ; nous représenterons cet angle par
d’où l’on voit que l’angle des axes des
et des
sera
Par les formules connues à l’aide desquelles on passe, sur un
plan, d’un système rectangulaire à un autre système qui l’est
également, on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x'&=+(x-a\operatorname {Cos} .t)\operatorname {Cos} .(T+t)&&+(y-a\operatorname {Sin} .t)\operatorname {Sin} .(T+t),\\y'&=-(x-a\operatorname {Cos} .t)\operatorname {Sin} .(T+t)&&+(y-a\operatorname {Sin} .t)\operatorname {Cos} .(T+t)\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ee5b1d5ea220d63901fb09a4cabf4d853b0dbe)
ou, en développant et réduisant,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x'&=+a\operatorname {Cos} .(T+t)&&+y\operatorname {Sin} .(T+t)-a\operatorname {Cos} .T,\\y'&=-a\operatorname {Sin} .(T+t)&&+y\operatorname {Cos} .(T+t)+a\operatorname {Sin} .T.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f532f60e94dc04837607cf955cf815accfbcee)
Cela posé, soit
![{\displaystyle \operatorname {f} '(x',y')=S'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269e50ba132e910cd49db39432fe3d82f9e7a5fb)
l’équation de la courbe
rapportée à ses propres axes, et que l’on suppose donnée, dans l’énoncé du problème, en y substituant pour
les valeurs que nous venons de trouver en
l’équation résultante, de la forme
![{\displaystyle \operatorname {f} (x,y,t)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb2f7d97344856e267d28374f91d00fa93ba8d9)
sera celle de cette même courbe
dans toutes les positions
qu’elle peut prendre par rapport à la courbe
ou, ce qui revient
même, cette équation sera l’équation commune à une infinité de
courbes, dont chacune sera une des positions de la courbe
par
rapport à la courbe
et qu’on en déduirait en faisant varier la
valeur du paramètre
Puis donc que, dans toutes ces positions,
la courbe
doit continuellement être tangente à la courbe, cette
dernière ne sera autre chose que l’enveloppe de l’espace parcouru
par la première. En conséquence, et d’après la théorie connue des
enveloppes[1], si l’on élimine
entre cette dernière équation et sa différentielle prise par rapport à ce paramètre, l’équation résultante, de la forme
![{\displaystyle \operatorname {f} (x,y)=S=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789c25331419092faa3d26d6c1107811b5fe1064)
sera l’équation demandée de la courbe inconnue
Venons présentement à quelques applications.
Supposons, en premier lieu, que la courbe donnée
soit un
cercle ayant le point
pour centre et un rayon égal à
son
équation, par rapport à ses propres axes ; sera
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}=r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724c50fff8cd6f1c689e7c80c927ec0256d32afb)
en y substituant pour
leurs valeurs en
elle deviendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&x^{2}-2ax\left\{\operatorname {Cos} .(T+t)\operatorname {Cos} .T+\operatorname {Sin} .(T+t)\operatorname {Sin} .T\right\}\\+&y^{2}-2ay\left\{\operatorname {Sin} .(T+t)\operatorname {Cos} .T-\operatorname {Cos} .(T+t)\operatorname {Sin} .T\right\}\end{aligned}}\right\}=r^{2}-a^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd1bd650a99e92301122db54be318300dbcc5b2)
ou, plus simplement,
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2ax\operatorname {Cos} .t-2ay\operatorname {Sin} .t=r^{2}-a^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36273d3f295cf626004ccc6c8ac04a38663e2a8)
équation qu’on peut encore mettre sous cette forme
![{\displaystyle (x-a\operatorname {Cos} .t)^{2}+(y-a\operatorname {Sin} .t)^{2}=r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa9cf1a1c882e07822302078a0f7e9533594fb6)
Il ne s’agit donc plus présentement que d’éliminer
entre cette
équation et sa différentielle, prise uniquement par rapport à cette
lettre ; or, cette différentielle est
![{\displaystyle (x-a\operatorname {Cos} .t)\operatorname {Sin} .t=(y-a\operatorname {Sin} .t)\operatorname {Cos} .t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37607cbddf3aa9e9910f06fe898003d29f29205c)
ou, plus simplement,
![{\displaystyle x\operatorname {Sin} .t=y\operatorname {Cos} .t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62bf06a4f93e23b97136daa249de225d9f33a01)
combinant cette équation avec
il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .t={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\qquad \operatorname {Cos} .t={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496c1b966d28de6a05d6ccd6dc7f6ed3fae7241c)
ce qui donnera, en substituant dans l’équation, chassant les dénominateurs et réduisant,
![{\displaystyle \left\{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\right\}^{2}=r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459b1437910a696bed5034c884a53d63d1b1ee79)
d’où
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a=\pm r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3db173ed213c9fbd61f8e46868a7f8e5c09ef0a)
et, en transposant et quarrant,
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=(a\pm r)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f831d55fa3b97d4fcad9ec360c4f1e1fc508e4)
équation commune à deux cercles concentriques, ayant le point
pour centre commun, et ayant pour rayons la distance
augmentée ou diminuée du rayon
du cercle dont le centre est
; et cela quelque fonction d’ailleurs que
soit de
C’est, au surplus, un résultat qu’il était facile de prévoir ; il justifie complètement l’exactitude de notre procédé.
Pour second exemple, admettons que
soit une droite telle que
les coordonnées du pied de la perpendiculaire abaissée sur elle de
l’origine soient
et
son équation sera
![{\displaystyle gx'+hy'=g^{2}+h^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e57e4154862473c1c48d6e667cd9bb265d6075)
en y mettant pour
leurs valeurs en
elle deviendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(gy-hx)\operatorname {Sin} .(T+t)+ah\operatorname {Sin} .T\\+&(gx+hy)\operatorname {Cos} .(T+t)-ag\operatorname {Cos} .T\end{aligned}}\right\}=g^{2}+h^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e67f9cc63ac1f5bf85bd0e8a6c67c7afa510e8)
Supposons présentement que le rapport des vitesses de rotation
soit tel qu’en supposant celle de
uniforme, celle de
le soit
aussi, mais
fois plus rapide ; nous aurons alors
d’où
notre équation deviendra donc
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(gy-hx)\operatorname {Sin} .nt+ah\operatorname {Sin} .(n-1)t\\+&(gx+hy)\operatorname {Cos} .nt-ag\operatorname {Cos} .(n-1)t\end{aligned}}\right\}=g^{2}+h^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8380d97961520a43f0111fb09f8252afd585008)
sa différentielle, par rapport à
sera
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&n(gy-hx)\operatorname {Cos} .nt+(n-1)ah\operatorname {Cos} .(n-1)t\\-&n(gx+hy)\operatorname {Sin} .nt+(n-1)ag\operatorname {Cos} .(n-1)t\end{aligned}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12b2c00600158673ae299a5e16cb3f5f76a7922)
en joignant ces deux équations, les équations
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}nt+\operatorname {Cos} .^{2}nt=1,\qquad \operatorname {Sin} .^{2}(n-1)t+\operatorname {Cos} .^{2}(n-1)t=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd2bf3a556023e70aed09734b78ed5ad78fcc9f)
on en déduira les valeurs de
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .nt,\ \operatorname {Cos} .nt,\ \operatorname {Sin} .(n-1)t,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45cdb247b82d71f7873b909ee03162d2bb950d24)
et par suite celles de
En supposant donc qu’on trouve
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .nt=A,\qquad \operatorname {Tang} .(n-1)t=A',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf08d1b0f94f21aaf3c7b0898523ab1a774ccd2e)
ou en conclura
![{\displaystyle nt=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=A),\qquad (n-1)t=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=A'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd88ae0a7b951cc99a9e297406c564ce6e35a73)
d’où, en multipliant en croix
![{\displaystyle (n-1)\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=A)=n\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=A').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e787a025791f3c3318b46d07a4fcc67633d7b808)
Ce calcul ne présente rien de difficile, mais il conduit des formules finales extrêmement compliquées.
Pour troisième exemple, supposons que la courbe
soit un
cercle, ayant
pour les coordonnées de son centre ; en
posant toujours l’origine en
son équation sera
![{\displaystyle (x'-g)^{2}+(y'-h)^{2}=r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3646bb0b0539c16276b99f5f1b7495c98e2cbf5)
en y mettant pour
leurs valeurs en
elle deviendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&2(gy-hx)\operatorname {Sin} .(T+t)+2ah\operatorname {Sin} .T+2ay\operatorname {Sin} .t\\+&2(gx+hy)\operatorname {Cos} .(T+t)-2ag\operatorname {Cos} .T+2ax\operatorname {Cos} .t\end{aligned}}\right\}=x^{2}+y^{2}+g^{2}+h^{2}+a^{2}-r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/952a97419eeac98496cbf181bdc737eed6e9d2c6)
Faisant, dans cet exemple, comme dans le précédent elle deviendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&2(gy-hx)\operatorname {Sin} .nt+2ah\operatorname {Sin} .(n-1)t+2ay\operatorname {Sin} .t\\+&2(gx+hy)\operatorname {Cos} .nt-2ag\operatorname {Cos} .(n-1)t+2ax\operatorname {Cos} .t\end{aligned}}\right\}=x^{2}+y^{2}+g^{2}+h^{2}+a^{2}-r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb042c44932a4aead0370b380a8df3d1b352f2c)
La différentielle de cette équation, par rapport à
sera
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&n(gy-hx)\operatorname {Cos} .nt+(n-1)ah\operatorname {Cos} .(n-1)t+2ay\operatorname {Cos} .t\\-&n(gx+hy)\operatorname {Sin} .nt-(n-1)ag\operatorname {Cos} .(n-1)t+2ax\operatorname {Sin} .t\end{aligned}}\right\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba134b639e15694384e45106f5e7cf9295cb0f7)
Il s’agira donc d’éliminer
entre cette équation et la précédente. Pour cela, on en éliminera d’abord
et
au moyen des formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .(n-1)t=\operatorname {Sin} .nt-\operatorname {Cos} .nt\operatorname {Sin} .t,\\&\operatorname {Cos} .(n-1)t=\operatorname {Cos} .nt+\operatorname {Sin} .nt\operatorname {Cos} .t\operatorname {Sin} .t\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b334a0a5a7c1b38c0b7574b507961895f77e091c)
ces équations ne renfermant plus alors que
en leur joignant les deux équation.
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}t+\operatorname {Cos} .^{2}t=1,\qquad \operatorname {Sin} .^{2}nt+\operatorname {Cos} .^{2}nt=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ef8c24118690d7a0e738f8d4a79611836adf09)
on parviendra aux valeurs de ces quatre quantités, et l’on achèvera comme il a été dit ci-dessus.
Passons présentement au problème général, que nous pouvons
énoncer comme il suit.
PROBLÈME. Deux corps
ne pouvant prendre d’autre mouvement qu’un mouvement de rotation autour de deux axes respectifs
fixes dans chacun d’eux, ainsi que dans l’espace, et situés ou non dans un même plan ; on suppose que la surface de
est donnée, et on demande quelle doit être la surface de
pour que, ces deux corps tournant librement autour de leurs axes respectifs, avec des vitesses angulaires données quelconques, constantes ou variables, leurs surfaces soient continuellement tangentes l’une à l’autre ?
Solution, ici encore, comme dans le premier problème, il nous
sera permis de supposer que le corps
est immobile, pourvu que
nous transportions au corps
dont l’axe est supposé invariablement lié au sien, un mouvement de rotation autour de ce dernier
axe, égal et contraire à celui du corps
autour de ce même axe.
Le problème se trouvera ainsi réduit au suivant :
Pendant qu’un corps
terminé par une surface donnée, tourne autour d’un axe
fixe dans ce corps, mais mobile dans l’espace, avec une vitesse donnée quelconque, constante ou variable, cet axe
lui-même tourne autour d’un autre axe
absolument fixe dans l’espace, situé ou non dans le même plan avec lui, et auquel on le suppose invariablement lié, avec une autre vitesse donnée quelconque, également constante ou variable ; on demande quelle est la surface
à laquelle, dans ce double mouvement, la surface
sera continuellement tangente ?
Or, le problème, ainsi envisagé, n’est plus qu’un cas particulier
du problème général des surfaces enveloppes, et peut se traiter
comme il suit.
Soit
la longueur de la perpendiculaire commune aux deux
axes
et soient
respectivement, les points de ces
axes où elle se termine. Soit, de plus,
l’angle des deux axes.
Rapportons la surface fixe cherchée
à des coordonnées rectangulaires,
immobiles dans l’espace ; en prenant, pour
plus de simplicité ; l’axe
pour l’axe des
et le point
pour
origine ; sans rien statuer d’ailleurs sur la direction des deux autres
axes.
Dans le mouvement de l’axe
autour de l’axe
le point
décrira, sur le plan des
un cercle ayant l’origine
pour
centre et la longueur
pour rayon. Il percera constamment le
plan des
en quelque point de cette circonférence ; et si l’on
désigne par
l’angle que fait avec l’axe des
la perpendiculaire
commune
pour une époque quelconque, les équations du point
seront, pour cette époque,
![{\displaystyle x=a\operatorname {Cos} .t,\qquad y=a\operatorname {Sin} .t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f161fe9c49d5613a554872c974c80ecff8a2b6)
Quant à l’axe
puisqu’il passe par ce point, qu’il est constamment perpendiculaire à
et qu’il fait continuellement un angle
avec l’axe
ou l’axe des
ses équations, pour la même époque, seront,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=a\operatorname {Cos} .t-z\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Sin} .t,\\&y=a\operatorname {Sin} .t+z\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cos} .t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd21928cbac5e4296550eb77576d33523c64417)
Si, dans la vue d’obtenir la surface courbe, lieu de l’axe
dans toutes ses positions autour de l’axe
on élimine
entre ces deux équations, il viendra
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+z^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f8478b694f8a186c7342c78ff1896f5a95cae6)
équation d’une hyperboloïde de révolution à une nappe, ainsi cela doit être.
Rapportons présentement la surface donnée
à un autre système
de coordonnées rectangulaires
fixes dans cette surface,
mais mobiles avec elle dans l’espace, tant autour de son axe propre
qu’autour de l’axe fixe
mais encore ici, pour plus de simplicité, prenons l’axe de révolution
lui-même pour axe des
et le point
pour origine. Le plan des
coupera constamment
celui des
suivant la droite mobile
et fera avec lui un angle
constamment égal à
Quant à l’axe des
l’angle qu’il fera avec
cette droite
sera un angle variable, fonction de
dont la relation
avec cet autre angle dépendra de la nature des deux mouvemens
de rotation. Nous représenterons cet angle par
d’après quoi l’axe
des
fera avec les
un angle pour lequel on aura
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(x,x')=\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .T-\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .T\operatorname {Cos} .\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d26da8a5de4ff56cc43d6b8e5f39cf6d97fb51)
Ces choses ainsi entendues, supposons que l’on veuille amener
le système des
à coïncider avec celui des
on pourra y procéder par degrés, ainsi qu’il suit ; 1.o on fera d’abord
tourner le système autour de l’axe des
de la quantité angulaire
soient alors
les dénominations respectives des nouvelles coordonnées ; l’axe des
se trouvera coïncider avec la droite
2.o on fera ensuite tourner le second système autour de l’axe
des
de la quantité angulaire
soient alors
les
dénominations respectives des nouvelles coordonnées ; alors le plan
des
coïncidera avec celui des
de sorte que, pour compléter
la coïncidence, il ne sera plus question, 3.o que de faire tourner
ce dernier système autour de l’axe des
de la quantité angulaire
et de transporter ensuite l’origine de
en
Donc, par les formules à l’aide desquelles on passe, sur un
plan, d’un système rectangulaire, à un autre qui l’est également,
on aura successivement
![{\displaystyle x'=+p\operatorname {Cos} .T+q\operatorname {Sin} .T,\qquad r=+r'\operatorname {Cos} .\alpha +q'\operatorname {Sin} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ed1b5a707205df213865ae500f13fe28f866ef)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}y'=-p\operatorname {Sin} .T+q\operatorname {Cos} .T,&q=-r'\operatorname {Sin} .\alpha +q'\operatorname {Cos} .\alpha ,\\z'=+r\,;&p=+p'\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35caed2abb6debd5ad417bf20e65f8bcc6661822)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p'=+(x-a\operatorname {Cos} .t)\operatorname {Cos} .t+(y-a\operatorname {Sin} .t)\operatorname {Sin} .t,\\&q'=-(x-a\operatorname {Cos} .t)\operatorname {Sin} .t+(y-a\operatorname {Sin} .t)\operatorname {Cos} .t,\\&r'=+z\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4226f16227484416d1c02973eb4ae15244e05197)
substituant donc les valeurs de
dans celles de
et ensuite celles-ci dans celle de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'=&+x(\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .T-\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .T)\\&+y(\operatorname {Sin} .t\operatorname {Cos} .T+\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .t\operatorname {Sin} .T)\\&-z\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .T-a\operatorname {Cos} .T,\\y'=&-x(\operatorname {Cos} .t\operatorname {Sin} .T+\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .t\operatorname {Cos} .T)\\&-y(\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .T-\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .T)\\&-z\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .T+a\operatorname {Sin} .T,\\z'=&-x\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t+y\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t+z\operatorname {Cos} .\alpha \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da4e33a4e4f4870cec144e2b1ceef9f9ffdc460)
Cela posé, soit
![{\displaystyle \operatorname {f} '(x'y'z')=S'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adc58ab632abdff1580775d57b9dee30c3d0805)
l’équation de la surface
rapportée à ses propres axes, et que l’on suppose donnée dans l’énoncé du problème ; en y substituant pour
les valeurs que nous venons de trouver, en
l’équation résultante, de la forme
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,t)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d972de1726b0a5626005cfaef68f31051d821a2)
sera celle de cette même surface
dans toutes les positions qu’elle peut prendre, par rapport à la surface cherchée
ou, ce qui revient au même, cette équation sera l’équation commune à une infinité de surfaces, dont chacune sera une des positions de la surface, par rapport à la surface, et qu’on en déduirait en faisant varier la valeur du paramètre
Puis donc que, dans toutes ces positions, la surface
doit être continuellement tangente à la surface
cette dernière ne sera autre chos»e que l’enveloppe de l’espace parcouru par la première. En conséquence, et d’après la théorie connue des surfaces enveloppes[2], si l’on élimine
entre cette dernière équation et sa différentielle prise par rapport à ce paramètre, l’équation résultante, de la forme
![{\displaystyle \operatorname {f} (x,y,z)=S=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13033a831d69e1fef52c1e572733c6470a73e45)
sera l’équation demandée de la surface inconnue ![{\displaystyle S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bbb1f0f6ebdfa78b4fed06049640f7386bb44b)
Avant de passer aux applications, considérons, en particulier, le
cas où les deux axes
sont parallèles ; on a alors
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\alpha =0,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec6b08e18e88e5a8b1787365d3ee1c91fc7b624)
et nos formules deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x'=+x\operatorname {Cos} .(T+t)+y\operatorname {Sin} .(T+t)-a\operatorname {Cos} .T,\\&y'=-x\operatorname {Sin} .(T+t)+y\operatorname {Cos} .(T+t)+a\operatorname {Sin} .T,\\&z'=+z\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671cc1d03e08ff3dcbe18100b434774421547aa3)
formules qui coïncident parfaitement avec celle du premier problème, ainsi qu’il doit en effet arriver dans ce cas.
Pour premier exemple, supposons que la surface
soit une sphère
dont le centre soit sur l’axe
son équation sera de la forme
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+(z'-c)^{2}=r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65511c8a834da06cec92e7fda2d6101454da78e5)
en y mettant pour
leurs valeurs en
elle deviendra, toutes réductions faites,
![{\displaystyle \left\{x-(a\operatorname {Cos} .t-c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t)\right\}^{2}+\left\{y-(a\operatorname {Sin} .t+c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t)\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6725bb3471d49bc831c8420ec27a27499df59e9)
![{\displaystyle +(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}=r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e969c4f0e89df00a9004c4375335e1dafa3fbd4)
La différentielle de cette équation, prise par rapport à
est
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(a\operatorname {Sin} .t+c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t)\left\{x-(a\operatorname {Cos} .t-c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t)\right\}\\+&(a\operatorname {Cos} .t-c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t)\left\{y-(a\operatorname {Sin} .t+c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t)\right\}\end{aligned}}\right\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc8d847451f16232f99d7eefe4ae87a16cc531e)
si, dans ces deux équations, on considère
et
comme deux inconnues, on en tirera
![{\displaystyle {\begin{aligned}+&(a\operatorname {Cos} .t-c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t)={\frac {x{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}}{{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}\pm {\sqrt {r^{2}-(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}}}}},\\&(a\operatorname {Sin} .t+c\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t)={\frac {y{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}}{{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}\mp {\sqrt {r^{2}-(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fe1d026d2e20213f30e08d734ee660139c9126)
prenant la somme des quarrés de ces deux équations,
disparaîtra de lui-même, et, en réduisant, on obtiendra, pour l’équation de la surface cherchée,
![{\displaystyle {\begin{aligned}1&={\frac {x^{2}}{\left\{{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}\pm {\sqrt {r^{2}-(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}}}\right\}}}\\&+{\frac {y^{2}}{\left\{{\sqrt {a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }}\mp {\sqrt {r^{2}-(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}}}\right\}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256055f66bc5efb808920ddf7c944a22c0adf512)
ou, en chassant les dénominateurs et développant,
![{\displaystyle \left\{\left[r^{2}-a^{2}-c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}\right]^{2}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e2d610a541fa9f4156553f56f0f4c9b7574760)
![{\displaystyle \left.-\left[r^{2}+a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}\right]\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb1b44775adcb80b62658a0168878ac1962574c)
![{\displaystyle =4\left(a^{2}+c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \right)\left[r^{2}-(z-c\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}\right](x^{2}-y^{2})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8696e56b2e996fcb64560cf72cf1d5de60eb95)
équation que l’on reconnaîtra aisément pour être celle d’un canal circulo-cylindrique incliné au plan des ![{\displaystyle xy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0add5fb23e378ec970ad47ea154f8a6431843a8f)
Si l’on suppose le centre de la sphère au point
on aura
et l’équation deviendra
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+a^{2}\pm 2a{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f898d5f3068a8a935da91f873c3f759c3434b64e)
équation d’un canal circulo-cylindrique de révolution autour de l’axe des
quel que soit d’ailleurs l’angle ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Soit, en général, la surface
une surface de révolution autour
de l’axe des
son équation sera de la forme
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}=\phi (z')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd7b8133ed933caf0d14d8db0a41f197898757f)
ce qui donnera, en substituant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Sin} .^{2}t\right)x^{2}+2yz\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .t-2ax\operatorname {Cos} .t+a^{2}\\+&\left(1-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .^{2}t\right)y^{2}-2xz\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .t-2ay\operatorname {Sin} .t\\&\qquad \qquad +\operatorname {Sin} .^{2}\alpha z^{2}-2xy\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Sin} .t\operatorname {Cos} .t\\&\qquad \qquad =\phi (-x\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .t+y\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .t+z\operatorname {Cos} .\alpha ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f953b2216e3c4ad2ba9e3e5b6f0f22a2e7525950)
équation indépendante de
comme on pouvait bien s’y attendre.
Si la surface
est un cylindre, nous aurons simplement
et l’équation sera
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +a^{2}-r^{2}\right)-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha (x\operatorname {Sin} .t-y\operatorname {Cos} .t)^{2}\\+&2z\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha (x\operatorname {Sin} .t-y\operatorname {Cos} .t)-2a(x\operatorname {Cos} .t+y\operatorname {Sin} .t)\end{aligned}}\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d278bf880208dd956f15e7ce13824aab2a7c9a10)
sa différentielle, par rapport à
sera
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha (x\operatorname {Cos} .t+y\operatorname {Sin} .t)&\\&-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha (x\operatorname {Sin} .t-y\operatorname {Cos} .t)(x\operatorname {Cos} .t+y\operatorname {Sin} .t)=0\,;\\\qquad \qquad +a(x\operatorname {Sin} .t-y\operatorname {Cos} .t)&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca3e42da0f62735343b19175497b8da7c3f6393)
Il ne s’agira donc plus que d’éliminer
et
entre ces deux équations et l’équation
Ces applications n’ont, comme l’on voit, d’autre difficulté que
la longueur et la complication des calculs ; et, pour cette
raison, nous ne les étendrons pas davantage. Nous terminerons donc
en observant que, communément, le mouvement des pignons et
lanternes étant beaucoup plus rapide que celui des roues ; la
moindre défectuosité dans la construction de leurs ailes ou fuseaux
peut entraîner de graves irrégularités dans la marche des machines ;
c’est donc principalement sur la parfaite exécution de ces ailes ou
fuseaux que l’attention de l’artiste doit se porter ; puis donc que,
d’après la théorie qui vient d’être développée, leur forme est arbitraire, nous conseillerons de tailler les ailes des pignons en
triangles isocèles, ou pour mieux dire en prismes triangulaires
isocèles, et de faire les fuseaux des lanternes cylindriques ; attendu
que, ces formes étant d’une exécution facile, ce doit être aussi
celles qu’on peut se promettre d’exécuter
avec le plus de
perfection.