TRIGONOMÉTRIE.
Exposition des principes fondamentaux de la théorie
des fonctions circulaires ;
Par
M. Frédéric Sarrus, docteur ès sciences.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
On sait que toute la théorie des fonctions circulaires est renfermée
dans les quatre formules qui donnent les sinus et cosinus de la
somme et de la différence de deux arcs en fonction des sinus et
cosinus de ces arcs eux-mêmes. Mais, si ces formules se démontrent avec assez de facilité, tant que les arcs dont il s’agit sont
moindres que le quart de cercle, il n’en est plus de même lorsqu’on suppose ces arcs d’une grandeur quelconque. Peut-être même
est-il permis de douter que les efforts qui ont été faits dans ces
derniers temps pour remplir cette lacune des élémens aient complètement atteint le but louable que leurs auteurs s’en étaient
promis ; et c’est ce qui nous enhardit à revenir de nouveau sur
cette doctrine fondamentale, pour la présenter d’une manière qui
nous parait à la fois très-simple, très-générale et très-rigoureuse.
Soient
deux arcs tout-à-fait arbitraires, et pouvant même
excéder une ou plusieurs circonférences ; par les mêmes considérations qui, dans la géométrie analitique, donnent la distance d’un
point à l’origine et la distance entre deux points, on aura, d’après
la définition des cordes, sinus et cosinus, et en prenant le rayon
pour unité.
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}x+\operatorname {Cos} .^{2}x=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bce365da56038c690b488453286d09e6cfed1d)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}y+\operatorname {Cos} .^{2}y=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df94bf2fcde30493e353a24c523348a8028c705)
![{\displaystyle (\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .y)^{2}+(\operatorname {Cos} .x-\operatorname {Cos} .y)^{2}=\operatorname {Cord} .^{2}(x-y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666c9c27ab2677576de45e143d4434cc7d03b65c)
En développant le premier membre de la dernière de ces trois équations, et ayant égard aux deux premières, il viendra
![{\displaystyle 2-2(\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y+\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y)=\operatorname {Cord} .^{2}(x-y),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2788702a025a6f045fc86c1bbd728a4169ef6fb0)
(A)
qui, en posant
d’où
, donne
![{\displaystyle 2-2\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cord} .^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f891615098e5e651ce4d18c1d66cfe2b0cc6f0)
d’où, en changeant
en
;
![{\displaystyle 2-2\operatorname {Cos} .(x-y)=\operatorname {Cord} .^{2}(x-y)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e17e1ddaddf78e1f09539deb3e8a08321959bb)
(B)
éliminant donc
entre les équations (A, B), il viendra, en réduisant,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(x-y)=\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbea9ecc565f79ceb9094053ae67fba2b942d51)
(I)
En changeant, dans cette dernière équation,
en
elle
deviendra
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .y=\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .(x-y)+\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .(x-y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c651d533d89e3fe72b2126cc2099edaa67399f)
ou, en mettant pour
sa valeur (I)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .y=\operatorname {Cos} .^{2}x\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y+\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .(x-y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1519b9c53783f084c621e94a403e3617d96e9a2)
En changeant
en
effaçant alors le terme
commun aux deux membres, divisant ensuite par
et transposant, on aura
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(x-y)=\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b474f49ceb90140b8e809c1e79acac96bfe88e)
(II)
Si, présentement, dans les équations (I, II), on change
en
elles deviendront, en renversant
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .(x+y)+\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .(x+y)=\operatorname {Cos} .x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a990b68dd75e5af237e49dd1f3adbebb10190aa2)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .y\operatorname {Sin} .(x+y)-\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .(x+y)=\operatorname {Sin} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78be18855cdaf3403da753d77e3d6d086cb553fd)
prenant la différence des produits de la première par
et de la seconde par
puis la somme des produits de la première par
et de la seconde par
en se rappelant chaque fois que
il viendra,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(x+y)=\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa353a2bfcb20b8820df58d39ae785ff032b20d)
(III)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(x+y)=\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c0de42c23d6d3d47134d2659422c8d4d26b0e6)
(IV)
de manière que nos quatre formules fondamentales se trouveront ainsi établies, sans avoir fait aucune supposition particulière sur la grandeur des arcs
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)