ANALISE TRANSCENDANTE.
Solution d’une difficulté connue que présente la théorie
des fonctions angulaires, relativement au développement
des puissances fractionnaires des cosinus ;
Par
M. Crelle, docteur en philosophie, membre
du conseil supérieur des bâtimens civils de Prusse.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
1.
On a
![{\displaystyle 2\operatorname {Cos} .x=\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75a3baa5ea17ad72a299c6c7a7fa93d3e56230c)
mais
![{\displaystyle \left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d899c5447b103895a1acaec0e3a3af9f6198a8a)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x={\frac {1}{\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accfc8f6d75c95c0f23b2ce8f52659c0da0837a5)
donc
![{\displaystyle 2\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x+{\frac {1}{\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3264dba58666a7b9bfc7bcd28beaaf8592f3aa16)
Si donc, pour abréger, on pose
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b66f8212c9c2a51fe431aa4918710f16fbb2316)
on aura
![{\displaystyle 2\operatorname {Cos} .x=u+{\frac {1}{u}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c9ddb76d3a1eeec3ec5d6caae86a5f5ef6b340)
cela donne
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=\left(u+{\frac {1}{u}}\right)^{m}=u^{m}+{\frac {m}{1}}u^{m-2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}u^{m-4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf6491db9d6e7ffbe4f6208c8a856f858393f53)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}u^{m-6}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d008ec9f94c2da05bc9a17c02ca487e57a79c2dd)
ou bien
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=\left({\frac {1}{u}}+u\right)^{m}=u^{-m}+{\frac {m}{1}}u^{-m+2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}u^{-m+4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985d3d82f27dd81f8917a2c07de170d8b24ec32b)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}u^{-m+6}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0749c84f2f5b35305e6aef9532b1eb00fd9aba89)
Ces deux développemens ont évidemment lieu pour une valeur quelconque de ![{\displaystyle m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd92c867d56467c0f878ef318eefcd701b8ec1a)
Mais on a, comme l’on sait, aussi pour une valeur quelconque de
![{\displaystyle \left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=\operatorname {Cos} .mx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ebc11f50a064b4f18e7414d80e50feb75aeb5ca)
ce qui donne successivement
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}u^{m}&=\operatorname {Cos} .mx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx,\\u^{-m}&=\operatorname {Cos} .mx-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264e786884cce4007cd35df5ca6447d5636019bc)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}u^{m-2}&=\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x,\\u^{-m+2}&=\operatorname {Cos} .(m-2)x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x,\\u^{m-4}&=\operatorname {Cos} .(m-4)x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-4)x,\\u^{-m+4}&=\operatorname {Cos} .(m-4)x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-4)x,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78e595ccf45275994f665ea40e75b41343c078b)
ce qui donne, en substituant,
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=\operatorname {Cos} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea777074b77c3746e408ebacb1f32c29054e9909)
![{\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}\left[\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f41fc48d8fcca16c32510c8ca2a3fa2fea5f74)
2.
Telle est l’expression générale de la
me puissance de
en cosinus et sinus des multiples de
pour une valeur quelconque de
Si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x+\ldots =P\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadeab3e3e75959e952f0e95ac5eadda41abf0bc)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots =Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de378c807e27dc226567784abd888291c684d48f)
on aura
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=P\pm {\sqrt {-1}}Q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b40cf51339b4dfd0a8eaec954789925778f5e0)
3.
Euler, en observant qu’on a
suppose aussi
et par conséquent ![{\displaystyle P+{\sqrt {-1}}Q=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd07a45c2a2bd66c3f7e0e2fbc97f1900293980)
d’où
et, par suite
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=P,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64588500263a1192cf2cb56bd92e982206166a4)
pour une valeur quelconque de ![{\displaystyle m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd92c867d56467c0f878ef318eefcd701b8ec1a)
Lagrange, dans ses Leçons sur le calcul des fonctions, (Leçon XI), trouve aussi, par la voie des équations différentielles
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=P\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1bcf19335b64a9e8a4b956eb0bbfd7e86aa584)
mais cette expression est en défaut pour toutes les valeurs de
qui donnent des valeurs négatives pour
lorsque les valeurs de
sont fractionnaires et de numérateurs pairs, car alors
est une quantité imaginaire ; il est donc visible qu’on ne peut pas généralement supposer
La formule
![{\displaystyle P\pm {\sqrt {-1}}Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a92e252bb24ca3784ee7c7ba17da4e01c32b09b)
et non la formule
semble donc être précisément l’expression générale de ![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba02159b6e8b3a808e2439bf2ee2d02afe41de97)
Mais, lorsque
est une quantité réelle, la formule
n’est pas moins embarrassante que l’est la formule
pour le cas où
est imaginaire ; parce qu’on ne voit pas que
doive être nécessairement nul pour les diverses valeurs de
et
qui peuvent répondre à ce cas.
Il y a donc là une sorte de paradoxe dont l’explication était à désirer.
4.
M. Poisson paraît être le premier qui ait fait voir que la formule
est réellement la véritable expression générale de
que cette expression ne rentre dans la formule d’Euler
) que dans le cas où
est un nombre entier, et qu’elle peut donner toutes les différentes valeurs de
qui existent pour une valeur fractionnaire de
si l’on met successivement pour
et généralement
désignant deux angles droits, et
un nombre entier quelconque. Il a montré en nombres l’exactitude de l’expression
pour le cas particulier de
et
(voyez la Correspondance sur l’école polytechnique, tome II, page 212).
C’était là sans doute un grand pas vers l’explication du paradoxe ; car une grande partie de la difficulté consistait en ce qu’on ne voyait pas comment la formule
![{\displaystyle (\operatorname {Cos} .x)^{m}=P\pm {\sqrt {-1}}Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987ae556365f1ff1b25d79172317f68b843565e6)
pourrait donner plusieurs valeurs différentes pour
et seulement une valeur unique pour
L’heureuse idée de M. Poisson de mettre
au lieu de
ce qui est toujours permis, puisque les expressions
et
sont identiques, lève entièrement cette partie de la difficulté.
5.
Mais il faut avouer que la question n’était pas encore complètement éclaircie, puisqu’on ne voyait pas encore comment, pour une valeur quelconque de
la formule générale
pourrait donner tantôt une quantité réelle et tantôt une quantité imaginaire. Les travaux de M. Deflers, dont on trouve une notice dans le troisième volume de la nouvelle édition du Traité de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix (page 606) et ceux de M. Plana, dans le XI.e volume des Annales de mathématiques (page 84) ne semblent pas lever toutes les difficultés ; et il reste encore à faire voir comment la formule générale
s’applique à tous les cas, et sur-tout à trouver les valeurs du nombre
dans
auxquelles correspondent les valeurs purement imaginaires et les valeurs purement réelles de
[1].
Tel est, principalement le but que je me propose dans cet écrit.
6.
Soit
égal à la fraction
où
peut être un nombre entier quelconque. Pour plus de simplicité, nous supposerons ce nombre positif. L’application à d’autres cas n’aura aucune difficulté.
On sait, par la théorie des équations, que, dans le cas de
fractionnaire et égal à
la quantité
a toujours
valeurs différentes, savoir, les valeurs des
racines de la quantité
Si
est positif et
impair, une de ces racines est entièrement réelle, ou de la forme
d’autres peuvent être entièrement imaginaires, ou de la forme
le reste des racines est de la forme
Si
est positif et
pair, deux de ces racines sont de la forme
le reste est de la forme
Si
est négatif et
impair, une seule racine est réelle, ou de la forme
les autres sont de la forme
Si enfin
est négatif et
pair, aucune racine n’est réelle ; mais deux racines sont entièrement imaginaires, ou de la forme
et le reste est de la forme
La forme générale des racines de
est donc
![{\displaystyle p\pm {\sqrt {-1}}q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba42e9c013db5da5390ee4a076e5e671bb104e1d)
et c’est précisément la forme de l’expression générale
trouvée ci-dessus pour
Mais, dans les cas particuliers, il faut que tantôt
ou
et tantôt
ou
s’évanouissent, pour donner, suivant ces différens cas, des racines entièrement réelles, ou des racines entièrement imaginaires.
Il s’agit donc de trouver les valeurs de
dans
pour lesquelles
ou
devient égal à zéro.
7.
On a généralement
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .\pm (2n\varpi \pm x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2160b8810f6f0a6b86c3600c5745bda82a08d0f)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x=\operatorname {Sin} .\pm (2n\varpi +x)=\operatorname {Sin} .\left[(2n+1)\varpi -x\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bd2aef8259605d7e76a0318ba7e3ef9e8dc06d)
mais on ne peut mettre que
pour
, dans l’expression de
parce qu’il n’y a que cet arc seul qui ait en même temps le même sinus et le même cosinus que l’arc
.
On a donc généralement
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=\operatorname {Cos} .m(x\pm 2n\varpi )\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(x\pm 2n\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373981d73c0ec887bb3f12b12576bae604bd414f)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}\left[\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm 2n\varpi )\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm 2n\varpi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec73bf0757fb82fbc46a76355b08478c9bad75a7)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\left[\operatorname {Cos} .(m-4)(x\pm 2n\varpi )\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-4)(x\pm 2n\varpi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb06531b6333633f5bc56188fa6dcd7bebf2a53a)
![{\displaystyle +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1fb2e8b2f643d20f0f6820d89ffd82a8d64ade4)
de sorte qu’en posant, pour abréger,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .m(x\pm 2n\varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm 2n\varpi )+\ldots =P_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5c7ec8267e4b950fe68e356812699ded67a14d)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .m(x\pm 2n\varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm 2n\varpi )+\ldots =Q_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754f0422389e177a4e1ff01f21d08f2d9ffc30e7)
nous aurons
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2559975f22ed7426a7cb6ebe4062d18375a2f19d)
8.
Maintenant j’observe qu’on peut toujours exprimer une quantité de la forme
par
pourvu que l’on convienne de représenter par
la valeur arithmétique, c’est-à-dire, la valeur numérique absolue de la quantité
prise sans signe.
En effet, la formule
exprimera toutes les
valeurs de
ou
d’une manière aussi complète que l’expression
elle-même.
Mais [
n’est autre chose que la valeur de
prise pour
et
et multipliée par
puisque
et
Donc on aura aussi la valeur de
si l’on met dans l’expression générale de
donnée ci-dessus,
et
et qu’on multiplie le résultat par
On trouve, pour
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=\operatorname {Cos} .m(\pm 2n\varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(\pm 2n\varpi )+\ldots \\\\&=\operatorname {Cos} .2mn\varpi \left(1+{\frac {m}{1}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}+\ldots \right)\\\\&=2^{m}.\operatorname {Cos} .2mn\varpi \,;\\Q_{n}&=\operatorname {Sin} .m(\pm 2n\varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(\pm 2n\varpi )+\ldots \\\\&=\pm \operatorname {Sin} .2mn\varpi \left(1+{\frac {m}{1}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}+\ldots \right)\\\\&=\pm 2^{m}.\operatorname {Sin} .2mn\varpi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33fc2aa1f2dfcb3884ea5bc7818400aeb689650)
et pour ![{\displaystyle x=\varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48f08907b384fb0f3f94bda7ef972b8305f66d9)
![{\displaystyle P_{n}=2^{m}.\operatorname {Cos} .2m(n+1)\pi ,\qquad Q_{n}=\pm 2^{m}.\operatorname {Sin} .m(2n+1)\pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fd77ae1547baabfe6b32748518c3bfbe58bba9)
donc
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.\left\{\operatorname {Cos} .2mn\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mn\pi \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8f8feaaa0472cd1869ee2c78e952d1e4aed4cc)
ou
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.\left\{\operatorname {Cos} .(1\pm 2n)\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(1\pm 2n)\pi \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9162f183e172482c5e902d038fcddefb9dea565)
9.
Ces expressions se vérifient sur-le-champ ; car la formule générale connue
![{\displaystyle (\operatorname {Cos} .x\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x)^{m}=\operatorname {Cos} .mx\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51885f4045b599b9edf07b9eea9f63295bf608a6)
donne, si on y fait ![{\displaystyle x=2n\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4d55ef20c2b7a3333ec2ef3513344534866c05)
![{\displaystyle (+1)^{m}=\operatorname {Cos} .2mn\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mn\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ab4c04455f7df233221274a3261a2264f0f77b)
et si l’on y fait ![{\displaystyle x=(1\pm 2n)^{\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3ec24bbc5387ff884a61424c0e3dd0c74f808a)
![{\displaystyle (-1)^{m}=\operatorname {Cos} .m(1\pm 2n)\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(1\pm 2n)\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d04979499d16d4191173e988e35e0d2d2df6fbb)
Substituant donc ces valeurs de
et de
dans l’expression de
trouvée en dernier lieu, on aura
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.(\pm 1)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8076d2471f510a759931f1192b4934e130a6a993)
comme cela doit être.
Voila donc une preuve certaine de l’exactitude de l’expression générale de
à laquelle nous sommes parvenus en dernier lieu.
Pour distinguer la nouvelle expression ci-dessus de l’expression générale
désignons-la par
![{\displaystyle [2\operatorname {Cos} .x]^{m}\left(A_{m}\pm {\sqrt {-1}}B_{m}\right)=(2\operatorname {Cos} .x)^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894a06057ef5b85082ab20a59cff9c8813505814)
de manière que
![{\displaystyle A_{m}\pm {\sqrt {-1}}B_{m}=(\pm 1)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e6522758844f87ec5ab123331f697aea4bdc50)
10.
Maintenant nous observerons que, pour toutes les valeurs de
qui donnent le même signe à
la réalité, ou généralement la forme des racines différentes de
est absolument indépendante de la valeur de
même, de manière qu’on peut mettre une valeur quelconque pour
par exemple,
pour un cosinus positif et
pour un cosinus négatif, sans passer d’une racine réelle a une racine imaginaire, ou généralement de la forme d’une racine quelconque, correspondant à une certaine valeur de
à une autre forme. C’est, au surplus, ce que l’expression
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.(\pm 1)^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd4ce727de1b6c3e8b2600c49eed77589f62cbc)
fait voir clairement ; car les
valeurs qu’expriment les deux formules
et
étant identiquement les mêmes, et
n’ayant qu’une seule et unique valeur, il est clair que les valeurs de
sont purement réelles, purement imaginaires ou de la forme
dans les mêmes cas que les valeurs de
c’est-à-dire, les valeurs de
pour
et
le sont elles-mêmes.
11.
On trouvera donc les valeurs de
qui donnent les racines de
toutes réelles, toutes imaginaires ou de la forme
si l’on cherche les valeurs de
qui donnent pour
des racines de même forme ou, ce qui est la même chose, si l’on met
et
dans l’expression générale de
et qu’ensuite on cherche les valeurs de
pour lesquelles cette expression prend les formes
ou
12.
Puisque, lorsque
est positif
![{\displaystyle A_{n}=\operatorname {Cos} .2mn\pi =\operatorname {Cos} .{\frac {2n}{k}}\pi ,\qquad B_{n}=\operatorname {Sin} .2mn\pi =\operatorname {Sin} .{\frac {2n}{k}}\pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b32dab860b36ee4536c763ad4d4ff99ab411491)
tandis que, lorsque
est négatif
![{\displaystyle A_{n}=\operatorname {Cos} .m(1\pm 2n)\pi =\operatorname {Cos} .{\frac {1\pm 2n}{k}}\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad7beebe967ccd61591b14d2f28648b6e4a8cf6)
![{\displaystyle B_{n}=\operatorname {Sin} .m(1\pm 2n)\pi =\operatorname {Sin} .{\frac {1\pm 2n}{k}}\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c29d702293e644d786b1c96c05dd9fb461b9caf)
il s’ensuit que, dans le cas où
est positif, on aura
![{\displaystyle A_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85314505eea2f4cf9634698d1a01347b69f4120e)
si l’on fait
![{\displaystyle {\frac {2n}{k}}={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fc8b317cc2341e0e49c71073cf8ab5018dfeb8)
![{\displaystyle B_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ee2762572e3ff24a73db2f1942bcfc728637c1)
si l’on fait
![{\displaystyle {\frac {2n}{k}}=0,1,2,3,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467e8d272034b77733ffa75186703df20edcbaf8)
et que, dans le cas où
est au contraire négatif, on aura
![{\displaystyle A_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85314505eea2f4cf9634698d1a01347b69f4120e)
si l’on fait
![{\displaystyle {\frac {1\pm 2n}{k}}={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f106585246b31b6e0de0f11ec179035e8931833a)
![{\displaystyle B_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ee2762572e3ff24a73db2f1942bcfc728637c1)
si l’on fait
![{\displaystyle {\frac {1\pm 2n}{k}}=0,1,2,3,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d5d0a881de1f6513c19c460f29710028ff5cb9)
on pourra aisément trouver par là, pour chaque valeur de
les valeurs correspondantes de
.
13.
Nous remarquerons d’abord que le nombre des valeurs différentes de
et de
et conséquemment de
ne pourra jamais être plus grand que le nombre
car le nombre des valeurs différentes de la quantité
ou de
correspondant à ces valeurs, étant toujours égal au nombre
le nombre des valeurs de
sera aussi égal à ce nombre, en commençant par zéro, et en parcourant tous les nombres entiers. Donc
ne sera pas plus grand que
Il suit de là qu’on aura
I.
Pour
positif.
1.
![{\displaystyle A_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e563672fe29ca973ce755cfe9db9a0133457da)
seulement pour
![{\displaystyle {\frac {2n}{k}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db18a001374c1138f560c0d33f3eaab82f9e8653)
et
![{\displaystyle {\frac {3}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26dd0128371b8e07eb8a28750075f67de82ddc13)
ou pour
![{\displaystyle 2n={\frac {1}{2}}k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e4592d5309c36272b23572a892caa2470d3110)
et
![{\displaystyle {\frac {3}{2}}k\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7647f459ad8d60454d3ab940dfe28b07f1294c2d)
2.
![{\displaystyle B_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7358c944cec4dc747db7b0a6add6aa5cb97d0ca)
seulement pour
![{\displaystyle {\frac {2n}{k}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed04141a5a56e5e5adb2e7157389424b80dbecc6)
et
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
ou pour
![{\displaystyle 2n=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac55a6dbbe329119547f7973ca5d0c93dd5c20ec)
et
![{\displaystyle k\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a75fd38777c1ca9796cc678220210fb1f87037)
puisque
ne doit pas surpasser ![{\displaystyle 2k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f52ba9e75bf2fb39818de19d98af82aafc4d67)
II.
Pour
négatif.
1.
![{\displaystyle A_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e563672fe29ca973ce755cfe9db9a0133457da)
seulement pour
![{\displaystyle {\frac {1\pm 2n}{k}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da78761fbee784684cf4608fc68eb1d7c67f495b)
et
![{\displaystyle {\frac {3}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26dd0128371b8e07eb8a28750075f67de82ddc13)
ou pour
![{\displaystyle 2n={\frac {1}{2}}k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e4592d5309c36272b23572a892caa2470d3110)
et
![{\displaystyle {\frac {3}{2}}k\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7647f459ad8d60454d3ab940dfe28b07f1294c2d)
2.
![{\displaystyle B_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7358c944cec4dc747db7b0a6add6aa5cb97d0ca)
seulement pour
![{\displaystyle {\frac {1\pm 2n}{k}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405bf2bb8cee2b69a18373c1f2f536ce68b7f1ba)
et
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
ou pour
![{\displaystyle 2n=k-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f08a2e043d615e7915f3908f360df538c92313)
et
![{\displaystyle 2k-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da63d2b61d13b6e1b7293969156a30c55ba7f7b1)
car,
ne pouvant être fractionnaire, les valeurs
n’existent pas. De plus
ne pouvant surpasser le nombre
il faut que la valeur de
se trouve entre
et
pour
et entre
et
pour
Mais la plus petite valeur de
étant
les valeurs
et
de
donnent déjà les nombres
et
c’est-à-dire,
et
dont la première est la limite des valeurs de
tandis que l’autre la surpasse. Mais, puisque la valeur de
correspondant à une des limites elle-même, égale toujours la valeur pour l’autre, la valeur
ni toutes les suivantes n’existent pas pour
ni la valeur
et toutes les suivantes, pour
Donc il ne reste que les deux valeurs
et
pour
et les deux valeurs
et
pour ![{\displaystyle B_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22747e5bc0c1123d9a4e77c8cbe357e55a3d252)
14.
Puisque
et
et
s’évanouissent en même temps, ou pour la même valeur de
ainsi que nous l’avons vu (9, 10, 11), et que l’on obtient (7), pour l’expression générale de
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=\operatorname {Cos} .m(x\pm 2n\pi )\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(x\pm 2n\pi )=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a327661a4b1247a6038d1da714b2199e7ced342b)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm 2n\pi )\pm {\frac {m}{1}}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm 2n\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9fdab0457ebbcde96af674f680b59ea2379423c)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)(x\pm 2n\pi )\pm {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-4)(x\pm 2n\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e37e88e540b77de8f579a5e11e074c502d9326)
![{\displaystyle +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \pm \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cf65d99eed630ad798ea48c41ed57fdd510e05)
en ajoutant, dans l’expression,
![{\displaystyle P_{0}\pm {\sqrt {-1}}Q_{0}=\operatorname {Cos} .mx\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56665c572fb07825033b17d77a7e1e0e8cb8748)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x\pm {\frac {m}{1}}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4098486447a7db95491cc0c422c41b3c5cca2768)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x\pm {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-4)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9772def128c88da63e3b6936d8542c169a2e2295)
![{\displaystyle +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \pm \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cf65d99eed630ad798ea48c41ed57fdd510e05)
la quantité
à
il suit de ce qui a été dit ci-dessus qu’on a
I. Pour
positif.
en ajoutant à
l’une des quantités
et
ou en ajoutant à
la quantité
ou
en ajoutant à
l’une des quantités
et
ou en ajoutant à
la quantité
ou
On devra avoir de même
II. Pour
négatif.
en ajoutant à
l’une des deux quantités
et
ou à
la quantité
ou
en ajoutant à
l’une des deux quantités
et
ou à
la quantité
ou
![{\displaystyle =\pm (2-m)\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a27df26d63ba5007c00281532bcf92d4daaaf02)
15.
Les différences de toutes ces doubles valeurs surajoutées à
sont partout égales à
On trouverait aisément aussi que les différences des doubles valeurs surajoutées aux quantités
sont toutes des multiples de
Mais les sinus et cosinus changent tout au plus de signes, et jamais de valeur absolue, si l’on ajoute aux arcs un nombre quelconque de demi-circonférences ; donc toutes les doubles quantités trouvées ci-dessus, pour
se réduisent toujours à une seule, et par conséquent on aura
I.
Pour
positif.
![{\displaystyle P_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b756e24dab6cf6d2e370ce5f489a4be53e5d17)
en ajoutant seulement à
![{\displaystyle x,\ \pm {\frac {1}{2}}k\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194afb76c282d9d0d20820054f6ca923549ab78e)
qui répond à
![{\displaystyle n={\frac {k}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615d37ac286d189882da4f5ad88d72e60d699cc1)
de sorte que
![{\displaystyle P_{{\frac {1}{4}}k}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521dbb23d9e071613bdefc1bf16a57bbde3f1e77)
![{\displaystyle Q_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0510787c1075019a3468e4eaeec8a10db6e36c)
en n’ajoutant rien à
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
ce qui correspond à
![{\displaystyle n=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae)
de sorte que
![{\displaystyle Q_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9705534743176ccf1f0bc0ea66cbdc66a999b96e)
II.
Pour
négatif.
![{\displaystyle P_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b756e24dab6cf6d2e370ce5f489a4be53e5d17)
en ajoutant seulement à
![{\displaystyle x,\ \pm \left({\frac {1}{2}}k-1\right)\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98eeff00d25690f5cbf4f0aec88980da3854c278)
qui répond à
![{\displaystyle n={\frac {k-2}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7b73d68765254cd2845eac36f74e054cc601bd)
de sorte que
![{\displaystyle P_{{\frac {1}{4}}(k-2)}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f0c117e9bafc5e3f1f440029e473efc9003719)
![{\displaystyle Q_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0510787c1075019a3468e4eaeec8a10db6e36c)
en ajoutant seulement à
![{\displaystyle x,\ \pm (k-1)\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29aab57f42edc8a5104fa26bf274da4c45802fa)
qui répond à
![{\displaystyle n={\frac {k-1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d17e2cef8e5770dfe164eacf7f3ce981f0ca45)
de sorte que
![{\displaystyle Q_{{\frac {1}{2}}(k-1)}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78044d7e5771c823e9d788c9c6adc54918bab4e4)
16.
Il suit de là que
I.
Pour
positif.
1.o La quantité
ne peut s’évanouir ou, ce qui revient au même,
ne saurait avoir des valeurs purement imaginaires, à moins que
ne soit multiple de
puisqu’on a trouvé la condition
et que
doit toujours être un nombre entier.
2.o La quantité
s’évanouit toujours, c’est-à-dire, qu’une valeur de
toute réelle existe dans tous les cas, et pour toutes les valeurs possibles de
puisque, pour cette valeur réelle, la quantité
est toujours égale à zéro, et par suite indépendante de
II.
Pour
négatif.
1.o La quantité
ne peut s’évanouir ou, ce qui revient au même,
ne saurait avoir des valeurs purement imaginaires, à moins que
ne soit un multiple de
car on a trouvé, dans ce cas,
sous la condition que
soit un nombre entier.
2.o La quantité
ne peut s’évanouir, c’est-à-dire, qu’il ne peut exister des valeurs entièrement réelles de
à moins que
ne soit impair, puisqu’on a trouvé pour ce cas
sous la condition que
soit un nombre entier.
17.
L’expression générale de
si l’on y substitue la valeur
de
donne
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648acfe0f8d9963680a1f131e50df83db3aa140f)
![{\displaystyle {\begin{array}{r}=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}(x\pm 2n\pi )\\\\+{\frac {1}{k}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\pi )\\\\+{\frac {1}{k}}.{\frac {{\frac {1}{k}}-1}{2}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-4\right)(x\pm 2n\pi )\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}\pm {\sqrt {-1}}\left\{{\begin{array}{r}=\operatorname {Sin} .{\frac {1}{k}}(x\pm 2n\pi )\\\\+{\frac {1}{k}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\pi )\\\\+{\frac {1}{k}}.{\frac {{\frac {1}{k}}-1}{2}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{k}}-4\right)(x\pm 2n\pi )\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed063e2840489aab62c73c8ada05a539201e684)
si donc on introduit dans cette expression générale les valeurs particulières de
qui répondent aux divers cas de
et
trouvées ci-dessus (15), pour déterminer les valeurs de
toutes réelles ou tout imaginaires qui répondent à ces mêmes cas, on parviendra aux résultats que voici :
I.
Pour
positif.
1.o Si l’on veut avoir, dans ce cas, les valeurs purement imaginaires de
il faut supposer
Mais (15) la valeur
de
répond à
donc il faut mettre
ou
dans tous les termes dont la quantité
est composée, en supprimant d’ailleurs
; on trouve ainsi
![{\displaystyle \operatorname {\operatorname {Sin} } .{\frac {1}{k}}\left(x\pm 2n\varpi \right)=\operatorname {\operatorname {Sin} } .{\frac {1}{k}}\left(x\pm {\frac {1}{2}}k\varpi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5181e75dff8fb7cfb16da8e273f73fe2dd5f753)
![{\displaystyle =\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left({\frac {x}{k}}\pm {\frac {1}{2}}\varpi \right)=\pm \operatorname {\operatorname {Cos} } .{\frac {x}{k}}=\pm \operatorname {\operatorname {Cos} } .mx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7403901fb16731d85fc68900994a94f9529e1a3)
![{\displaystyle =\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left({\frac {1}{k}}-2\right)\left(x\pm {\frac {1}{2}}k\varpi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a4f12808a78de2fce2efb40675659dad236584)
![{\displaystyle =\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left[\left({\frac {1}{k}}-2\right)x\pm \left({\frac {1}{2}}-k\right)\varpi \right]=\pm \operatorname {\operatorname {Cos} } .\left({\frac {1}{k}}-2\right)x=\pm \operatorname {\operatorname {Cos} } .(m-2)x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8191b8cab91be0eeb7610d2a8b038c4ae53dc06e)
En conséquence, la valeur de
qui est alors
deviendra
![{\displaystyle Q_{{\frac {1}{4}}k}=\pm \left\{\operatorname {\operatorname {Cos} } .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {\operatorname {Cos} } .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {\operatorname {Cos} } .(m-4)x+\ldots \right\}=\pm P_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca06b746b4c32098ecf56cb1da6033035206b0d)
de sorte qu’on aura, pour ce cas,
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=\pm {\sqrt {-1}}P_{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3333c352b105f73fb95656939eafbe9b9a3eee23)
d’où l’on voit que, pour
positif et
multiple de
il existe toujours deux valeurs purement imaginaires de
ne différant que par le signe, et dont la valeur commune absolue est ![{\displaystyle {\sqrt {-1}}P_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b48146282e93f1398a5c5c644fd92feb05cf763)
Si l’on voulait savoir à quoi se réduit alors la quantité
que nous avons dit devoir s’évanouir dans ce cas, il faudrait faire également
ou
dans tous les termes dont
est composé ; on trouverait ainsi successivement
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}\left(x\pm 2n\varpi \right)=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}\left(x\pm {\frac {1}{2}}k\varpi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f165d67e36043f365ac0f385f11372583b75248)
![{\displaystyle =\operatorname {Cos} .\left({\frac {x}{k}}\pm {\frac {1}{2}}\varpi \right)=\pm \operatorname {Sin} .{\frac {x}{k}}=\pm \operatorname {Sin} .mx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99a27a069ab69e874add13877e262d7fbc68dad)
![{\displaystyle =\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)\left(x\pm {\frac {1}{2}}k\varpi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ea4b30a35b22aeb70c22cf7ef1c716c45f4c97)
![{\displaystyle =\operatorname {Cos} .\left[\left({\frac {1}{k}}-2\right)x\pm \left({\frac {1}{2}}-k\right)\varpi \right]=\pm \operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)x=\pm \operatorname {Sin} .(m-2)x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51be5efc914552e83477c8b3792e83130350c65)
En conséquence la valeur de
qui est alors
deviendra
![{\displaystyle P_{{\frac {1}{4}}k}=\pm \left\{\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots \right\}=\pm Q_{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec408a2496cf4aff9dbd6a4b2e3b94c56789d809)
d’où l’on voit que, pour le cas de
positif et de
multiple de
on doit avoir ![{\displaystyle Q_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9705534743176ccf1f0bc0ea66cbdc66a999b96e)
2.o Les valeurs toutes réelles de
qui répondent à toutes les valeurs possibles de
(16) se trouvent sur-le-champ ; car, pour ces valeurs,
étant égal à zéro, elles ne seront autre chose que
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=\pm P_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471bbdc1bded7018badcfdc88a41cf0c94d329b8)
L’ambiguïté du signe tient à ce que la valeur est nécessairement double si
est un nombre pair. Si
au contraire est impair, le signe
a seul lieu. Car l’expression de
étant toujours soumise aux mêmes conditions que l’expression
ce qui revient, pour le cas actuel (9), à
![{\displaystyle (+1)^{\frac {1}{k}}=\operatorname {Cos} .{\frac {2n\pi }{k}}\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2n\pi }{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28017d179bc67717aaef67636de7ce5b3f800ce1)
il est aisé de voir que cette dernière expression donne toujours une couple de valeurs toute réelles, ne différant que par le signe, pour
et
car ce sont les valeurs de
pour lesquelles
est égal à zéro. En effet, ce sont les mêmes valeurs déjà trouvées (13), pour le cas de
et, puisqu’il y a deux valeurs entièrement réelles pour
en supposant
et
il y a aussi nécessairement deux valeurs réelles de
pour les mêmes cas. Mais
suppose
pair. Si
est impair, on n’a pas
puisque
doit toujours être un nombre entier. Dans ce dernier cas, on peut donc seulement mettre
et il n’existe que la valeur positive. Donc il n’y a que deux valeurs entièrement réelles de
ne différant que par le signe, si
est pair. Elles sont, comme on vient de le voir, égales à
Si
est impair, il n’existe que la valeur
seule.
Au reste, puisqu’il existe toujours une ou deux valeurs entièrement réelles de
dans le cas de
positif, et qu’en même temps il existe aussi deux valeurs purement imaginaires dans le cas particulier où
est un multiple de
il s’ensuit que ces deux dernières valeurs doivent être essentiellement distinctes des premières, de manière qu’on a, dans ce cas, quatre valeurs de
La quantité qui s’évanouit dans le cas des valeurs entièrement réelles de
toujours pour
positif, se trouve, aussi sur-le-champ. Elle n’est en effet autre chose que
puisque, dans le cas actuel
doit être égal à zéro. On a donc l’équation
pour le cas des valeurs entièrement réelles de
ce qui s’accorde parfaitement avec ce qu’on vient de trouver plus haut. Car les valeurs entièrement réelles de
ayant toujours lieu pour
positif, il faut que le cas de
égal à un multiple de
dans lequel il existe en outre deux valeurs purement imaginaires de
donne aussi
puisque, dans ce cas, les deux valeurs entièrement réelles et les deux valeurs purement imaginaires de
existent en même temps ; et c’est précisément ce qu’on vient de trouver.
II.
Pour
négatif.
1.o Pour avoir les valeurs purement imaginaires de
qui existent, si
est un multiple de
il faut (16) substituer la valeur
de
qui (15) correspond à ce cas dans la quantité
qui alors devient
et constitue à elle seule les valeurs cherchées. Cela donne successivement
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .{\frac {1}{k}}\left(x\pm 2n\varpi \right)=\operatorname {Sin} .{\frac {1}{k}}\left(x\pm {\frac {k-2}{2}}\varpi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066fd5fcfb286db18094766f7cdce31b9298e93f)
![{\displaystyle =\pm \operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}(x\pm \varpi )=\pm \operatorname {Cos} .m(x\pm \varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac5337688ec11c033446c25ee3a9b380a6cd483)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)\left(x\pm {\frac {k-2}{2}}\varpi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c15464ddaae854b81bccba424aafe5255da65a)
![{\displaystyle =\pm \operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm \pi )=\pm \operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5addcfdee28a49ab2cad98830780c4360a1ef012)
donc la quantité
se réduit, dans le cas actuel, à
![{\displaystyle Q_{{\frac {1}{4}}(k-2)}=\pm \left\{\operatorname {Cos} .m(x\pm \varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \varpi )+\ldots \right\}=\pm P_{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3258e4794f00779bcd1ef548d92bab395b27b30a)
d’où résulte
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=\pm {\sqrt {-1}}P_{\frac {1}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47900f35a1a1c923acf7f2e14cf9a3af7743f9b)
ce qui donne les deux valeurs purement imaginaires de
qui existent, dans le cas où
est un multiple de
étant négatif.
La quantité
ou
qui doit s’évanouir dans ce cas, s’obtiendra, en substituant la valeur
de
dans tous les termes qui la composent. Sans faire ici le calcul, qui ne serait qu’une répétition de celui que nous avons fait plus haut, il nous suffira de dire qu’on trouve définitivement
![{\displaystyle P_{{\frac {1}{4}}(k-2)}=\pm \left\{\operatorname {Sin} .m(x\pm \varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm \varpi )+\ldots \right\}=\pm Q_{\frac {1}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ea4d49ad5cca1356e1060abf2a104fe2cae291)
il vient alors, en développant,
![{\displaystyle P_{{\frac {1}{4}}(k-2)}=\pm \left\{\operatorname {Sin} .mx\operatorname {Cos} .m\varpi \pm \operatorname {Cos} .mx\operatorname {Sin} .m\varpi \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a3689d3db60c60596cac3b9a25dd204e638795)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}\left[\operatorname {Sin} .(m-2)x\operatorname {Cos} .(m-2)\varpi \pm \operatorname {Cos} .(m-2)x\operatorname {Sin} .(m-2)\varpi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea46abe26b54b8a79276e15b1387c19f73bdedb)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\left[\operatorname {Sin} .(m-4)x\operatorname {Cos} .(m-4)\varpi \pm \operatorname {Cos} .(m-4)x\operatorname {Sin} .(m-4)\varpi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2a66dbeec87e71a9161fe87daed21f8f18432e)
![{\displaystyle \left.+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2679115eecaebb606fd4a464f40a64cc472aa5)
or,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .m\varpi =\operatorname {Cos} .(m-2)\varpi =\operatorname {Cos} .(m-4)\varpi =\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4f5f2025d0b0f2dda755193fe4dd38684908cc)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .m\varpi \ =\operatorname {Sin} .(m-2)\varpi \ =\operatorname {Sin} .(m-4)\varpi \ =\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33cc20e89f91e45ee8c74753a3005155a2ae37e5)
donc, en ayant égard à ces relations
![{\displaystyle P_{{\frac {1}{4}}(k-2)}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a9c35cadef0344113426b06029f1cd7224f075)
![{\displaystyle {\begin{array}{l}\pm \operatorname {Cos} .m\varpi \left\{\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots \right\}\\\\\mp \operatorname {Sin} .m\varpi \left\{\operatorname {Cos} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x+\ldots \right\}\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b85572badddc6b22446097516f4d789883c99f)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle P_{{\frac {1}{4}}(k-2)}=\pm (P_{0}\operatorname {Sin} .m\varpi \pm Q_{0}\operatorname {Cos} .m\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e93424fc2ce4303754ca5478b06ff747f33144)
Donc, si
est un multiple de
et que
soit négatif, on aura toujours la relation :
![{\displaystyle P_{0}\operatorname {Sin} .m\varpi \pm Q_{0}\operatorname {Cos} .m\pi =Q_{\frac {1}{2}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11e106cb7737d4faa9c401fa2224644eb34845e)
2.o Les valeurs entièrement réelles de
qui existent (16) dans le cas où
est impair,
étant toujours négatif, se trouvent en substituant la valeur
de
qui correspond à ce cas, dans tous les termes de
qui devient ainsi
et qui constitue à elle seule la quantité cherchée. Cela donne
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}\left[x\pm (k-1)\right](x\pm 2n\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5457665f2fb515dc90cfd3aedcf55a76a5631946)
![{\displaystyle =-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}.(x\pm \varpi )=-\operatorname {Cos} .m(x\pm \varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b12d4f1b3789ca22a1f251e726c981ed3a840f6)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)[x\pm (k-1)\varpi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6f6e1312d3627049a19bc38b0b2dced8d91bb4)
![{\displaystyle =-\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm \varpi )=-\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \varpi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a185d31b09e21a81ef2a7500ab1c0a1669cd68)
et par suite
![{\displaystyle P_{{\frac {1}{2}}(k-1)}=-\left\{\operatorname {Cos} .m(x\pm \varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \pi )+\ldots \right\}=-P_{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d9025d61b4af280fa61dabac321896a6770c3e)
donc
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{{\frac {1}{2}}(k-1)}=-P_{\frac {1}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd27e1b0cc190e775edeab262dd16529cd515bb)
ce qui donne l’unique valeur entièrement réelle de
pour le cas où
est impair et
négatif.
Quant à la quantité
qui doit s’évanouir dans ce cas, on trouvera, par un calcul semblable à celui qui a été employé pour
![{\displaystyle Q_{{\frac {1}{2}}(k-1)}=\operatorname {Sin} .m(x\pm \varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm \varpi )+\ldots =Q_{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c8412cf36eeea62038c2e948c6f09016a749f3)
d’où
![{\displaystyle Q_{\frac {1}{2}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0353d42823f97a2226f9d41852c156dd040e383)
18.
Résumons présentement les divers résultats auxquels nous, venons de parvenir.
Posons, pour abréger, comme ci-dessus,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .m(x\pm 2n\varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm 2n\varpi )\\\\+&{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)(x\pm 2n\varpi )+\ldots =P_{n},\\\\&\operatorname {Sin} .m(x\pm 2n\pi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm 2n\pi )\\\\+&{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)(x\pm 2n\varpi )+\ldots =Q_{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340eacdf59283b45c73e4f3f574499b4c8381d47)
et, par suite, pour ![{\displaystyle n=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc0580398ffab28930cd887b66e36dcdcc5b66e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x+\ldots =P_{0},\\\\&\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots =Q_{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16826cbb6c99a9e56051945e9b1d7aa4c831b664)
et pour
ou ![{\displaystyle n={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a2a9611deb7d634c6d06f4c40b2c412b442d6c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .m(x\pm \pi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \pi )\\\\+&{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)(x\pm \pi )+\ldots =P_{\frac {1}{2}},\\\\&\operatorname {Sin} .m(x\pm \pi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm \pi )\\\\+&{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)(x\pm \pi )+\ldots =Q_{\frac {1}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b20d148317e26fac7ce0f489acd940648c5fab)
de manière que
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{\frac {1}{2}}&=P_{0}\operatorname {Cos} .m\pi \pm Q_{0}\operatorname {Sin} .m\pi ,\\Q_{\frac {1}{2}}&=P_{0}\operatorname {Sin} .m\pi \pm Q_{0}\operatorname {Cos} .m\pi \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c427d9fb5074f2da05a0d507e3f7ab129f2cc2)
supposons de plus
![{\displaystyle m={\frac {1}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5c79b7761afd4860c6e434f37de7329a67fc5a)
nous aurons les résultats suivants.
La quantité
a toujours
valeurs différentes, qui s’expriment généralement par
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016595889747919bdc1311cafc724f30fa60c499)
Mais
I.
Dans le cas de
positif,
il existe toujours, parmi ces
valeurs, pour toutes les valeurs possibles de
une valeur entièrement réelle de
si
est impair, et deux valeurs ne différant que par le signe, si
est pair. Les valeurs entièrement réelles, en donnant pour indice à
les valeurs correspondantes de
sont exprimées par
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{\left(0{\text{ et }}{\frac {1}{2}}k\right)}^{\frac {1}{k}}=\pm P_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5aeff63303a13c2092575f29ffaf1894cb7fa48)
Outre ces valeurs, il en existe deux autres, purement imaginaires, qui s’expriment par
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{({\frac {1}{4}}k)}^{\frac {1}{k}}=\pm {\sqrt {-1}}P_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a4a6a52c09a256e278efb12ed78b28c73b841e)
dans le seul cas où
est un multiple de ![{\displaystyle 4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad196d766a835649677e286e4ea30bdaa99d3e0)
Le surplus des
valeurs
s’expriment toujours par
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{n}^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e02cb58f1b22a419a901a250e09b854be0fac36)
où l’on peut donner à
toutes les valeurs entières et positives autres que celles qui répondent aux cas particuliers que nous venons d’examiner, savoir,
pour tous les cas,
et
pour
pair, et enfin
et
pour
multiple de ![{\displaystyle 4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad196d766a835649677e286e4ea30bdaa99d3e0)
À quoi il faut ajouter que, pour tous les cas possibles d’un cosinus positif, on a toujours
![{\displaystyle Q_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9705534743176ccf1f0bc0ea66cbdc66a999b96e)
II.
Dans le cas de
négatif,
1.o Si
est pair, il n’existe, parmi les
valeurs de
que deux valeurs purement imaginaires, exprimées par
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{{\frac {k-2}{4}}{\text{ et }}{\frac {3k-2}{4}}}^{\frac {1}{k}}=\pm {\sqrt {-1}}P_{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1677313666a43fc320113f92082878ea3dc8fe5c)
si
est un multiple de
le reste des
valeurs est de la forme
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{n}^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e02cb58f1b22a419a901a250e09b854be0fac36)
où l’on peut mettre pour
tous les nombres entiers, depuis
jusqu’à
excepté les deux nombres
et ![{\displaystyle {\frac {3k-2}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da6ae8d871c307b37a415464e2759d1094079ec)
Pour toutes les autres valeurs paires de
pour lesquelles
n’est pas un multiple de
il n’existe ni valeurs entièrement réelles ni valeurs purement imaginaires de
Toutes les
valeurs sont alors de la forme
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{n}^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e02cb58f1b22a419a901a250e09b854be0fac36)
où
peut être quelconque.
2.o Si
est impair, il existe toujours une valeur entièrement réelle, exprimée par
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{\frac {k-1}{2}}^{\frac {1}{k}}=-P_{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9484d4385732573b2504ebc792056240e28c1f66)
le reste des
valeurs est de la forme
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{n}^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e02cb58f1b22a419a901a250e09b854be0fac36)
où
peut être quelconque.
En outre, pour tous les cas possibles d’un cosinus négatif, on a toujours la relation
![{\displaystyle P_{0}\operatorname {Sin} .m\pi \pm Q_{0}\operatorname {Cos} .m\pi =Q_{\frac {1}{2}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99617c554590f3cc9da8a8afc20c61b53391c8e9)
19.
Les équations
![{\displaystyle Q_{0}=\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bb601869eef2ce8fa405ceef07b6277661e354)
pour
positif, et
![{\displaystyle Q_{\frac {1}{2}}=\operatorname {Sin} .m(x\pm \pi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm \pi )+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca989fe8202e19eb4edb1104c2a08b5bf31dd0d2)
pour
négatif, lesquelles subsistent pour toutes les valeurs possibles de
expriment des théorèmes trigonométriques remarquables par leur généralité et par leur simplicité. Si l’on (développe la première, elle donne
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .mx={\frac {{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .2x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .4x+\ldots }{1+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .2x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .4x+\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d3f24631c8e07c3a8b72b3c00b5bfe10652f82)
de sorte que, pour
on aurait
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .{\frac {1}{4}}m\pi ={\frac {m-{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}.{\frac {m-3}{4}}.{\frac {m-4}{5}}-\ldots }{1-{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}.{\frac {m-3}{4}}-\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21d79b1d63bff8e4ef2645d926305531a986473)
20.
L’expression ordinaire de
qu’on a admise jusqu’ici, pour tous les cas possibles, est généralement
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9703df0b7e5ce1ba6610c02b6af0f241ce222e)
de plus on a tacitement supposé
![{\displaystyle Q_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aaab251d352dc1ad6c38a16be8d7a3c10295bce)
pour tous les cas.
En comparant ces expressions aux résultats qu’on vient de trouver, on voit aisément les exceptions auxquelles elles sont soumises.
En effet l’expression
admise généralement, n’est exacte et complète que dans le seul cas où
est positif et
un nombre impair. Si
est un nombre pair, l’expression
ne donne qu’une seule des deux valeurs
qui existent dans ce cas. Et de plus elle ne donne pas les deux valeurs purement imaginaires de
qu’on doit obtenir, si
est un multiple de
et qui sont
Si
est négatif et
pair, l’expression
est en défaut ; car, dans ce cas, il n’existe pas de valeurs entièrement réelles de
mais seulement deux valeurs purement imaginaires, ne différant l’une de l’autre que par le signe, et dont l’expression est
si
est un mulhple de
Si,
étant toujours négatif,
est impair, l’expression de
est encore en défaut ; car la valeur entièrement réelle qui répond à ce cas n’est pas
mais
de sorte que généralement
est en défaut pour tout cosinus négatif.
Du reste cette formule ne donne jamais qu’une seule valeur de
au lieu de
valeurs différentes qui doivent exister dans tous les cas.
L’équation
admise généralement, est exacte pour tout cosinus positif. Mais elle est en défaut pour tout cosinus négatif. Dans ce dernier cas, c’est
qui doit lui être substituée.
21.
Je n’ai rapporté ici qu’un précis de l’explication du paradoxe. Ceux qui désireront un plus grand détail, et en particulier l’analise du calcul d’où on a tiré jusqu’ici la valeur incomplète et souvent fautive de
pourront consulter la traduction allemande des Leçons sur le calcul des fonctions de M. Lagrange, qui est prête à paraître, et qui doit former le deuxième volume du recueil complet des ouvrages analitiques et géométriques de ce grand géomètre et que je publierai dans la même langue, en y joignant des notes et des additions, soit pour éclaircir les passages difficiles, en faveur des personnes qui ne sont pas suffisamment versées dans l’analise, soit pour généraliser et simplifier les théorèmes qui en sont susceptibles. Ce qui précède offre un exemple des notes de la dernière sorte. Je publierai les autres en français, à mesure que l’occasion s’en offrira.
Berlin, le 21 septembre 1822.