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Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Analise transcendante, article 1

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QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution des problèmes d’analise transcendante, proposés
à la page
247 du XIII.e volume du présent recueil ;

Par M. W. H. Talbot, membre de la société philosophique
de Cambridge.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈

I. Pour sommer la série

posons avec la relation nous aurons, comme l’on sait,

de sorte qu’en posant

nous aurons

cela donne

mais, en renversant le théorème connu,

on a

et par suite,

remettant donc pour et pour il viendra finalement

II. Pour sommer la seconde série

nous poserons encore avec la condition alors, en posant

nous aurons

donc

donc aussi

ou, en quarrant

en développant et observant que et que conséquemment

on trouvera

donc

et

c’est-à-dire,

[1]

III. Pour sommer la troisième série

faisant d’abord, comme ci-dessus,

en posant

nous aurons

de sorte que tout se réduira à sommer les séries et

Pour y parvenir, nous poserons

alors, en faisant

nous aurons

c’est-à-dire,

ou encore

donc

c’est-à-dire,

en développant et se rappelant que cela donnera

mais

donc

ou

d’où finalement

Nous ayons donc, en résumé,

1.o 

2.o 

3.o 

Il est aisé de parvenir, en suivant la même marche, à des sommes de séries beaucoup plus compliquées. Nous nous bornerons à en rapporter deux exemples, en nous dispensant de développer les calculs qui sont en tout semblables à ceux qu’on a vu ci-dessus.

On trouve, en premier lieu,


Dans le cas de ou cette somme devient celle de la première de nos trois séries, quoique sous une forme un peu différente.

On trouve, en second lieu,

qui se change immédiatement dans la seconde série, lorsqu’on, fait

Si, dans ces diverses séries, on attribue à des valeurs particulières, on en fera dériver une multitude d’autres plus ou moins remarquables. La troisième, par exemple, en supposant devient

On trouve, plus généralement,

Rome (mai 1823).
  1. M. Querret trouve (tom. XIII, pag. 357)

    résultat inconciliable avec celui que nous venons d’obtenir. Afin donc de découvrir quel est celui des deux qui doit être admis, recourons à des cas particuliers. Si, dans la série, nous faisons, tour-à-tour, et elle deviendra, dans le premier cas,

    développement connu de tandis que, dans le second, elle deviendra zéro ; et c’est aussi ce que donne notre formule sommatoire ; tandis que celle de M. Querret donne constamment, dans les mêmes circonstances,

    L’erreur de cet habile géomètre paraît provenir de ce qu’après avoir posé (page 356)

    il en conclut ensuite

    tandis qu’on doit avoir

    On est facilement exposé à ces sortes de méprises par l’emploi explicite des imaginaires, à raison de la complication des calculs. La méthode que nous employons ici n’est pas sujette à cet inconvénient.

    Il y a, au surplus, une faute d’impression à la page 360, où le cosinus est devenu un sinus.