ANALISE TRANSCENDANTE.
Nouvelle méthode pour l’intégration de l’équation linéaire
du premier ordre à deux variables ;
M. L. C.
Bouvier, ex-officier du génie, ancien élève
de l’école polytechnique.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
On se tromperait étrangement si l’on croyait avoir tout fait dans l’analise, lorsqu’on a trouvé une méthode propre à résoudre chacune des questions qui dépendent de ses procédés. Outre qu’en effet les divers chemins qui conduisent au même but peuvent fort bien n’être pas tous également aisés à parcourir ; il arrive souvent que, tandis que certaines méthodes sont exclusivement propres à l’objet particulier pour lequel elles ont été imaginées, d’autre, au contraire, semblent ouvrir devant elles une voie nouvelle, et être de nature à s’étendre à un grand nombre de recherches analogues.
Ces réflexions nous serviront d’excuse, si nous revenons ici un moment sur un sujet qui semble épuisé depuis long-temps, en indiquant, pour parvenir à l’intégration de l’équation linéaire du premier ordre entre deux variables ; un procédé tout-à-fait nouveau, et qui nous paraît susceptible d’être étendu au-delà de cette application particulière.
Soit l’équation
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=P_{1}y+Q_{1},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e74b45003ec026843384eea929354df73a17a8)
(1)
dans laquelle
et
sont supposés des fonctions quelconques de
sans
En la différentiant, on trouve
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=P_{1}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} x}}y+{\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57315d943cf6d38a841dc0fbd8df2bce8f217ba)
ou, en mettant pour
sa valeur donnée par la proposée,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=\left(P_{1}^{2}+{\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} x}}\right)y+\left(P_{1}Q_{1}+{\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} x}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51acb7a27bf4b0b8930c5ab8ba81657dfd652393)
de sorte qu’en posant
![{\displaystyle P_{1}^{2}+{\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} x}}=P_{2},\qquad P_{1}Q_{1}+{\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} x}}=Q_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c836b5fa5004c1d381bee5e97bb78909731c859b)
on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}=P_{2}y+Q_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bc5499f0d58c40269965594909b598541fae38)
où
et
seront encore, comme dans (1), des fonctions de
sans ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Il est clair, d’après cela, que, si l’on pose
![{\displaystyle P_{2}^{2}+{\frac {\operatorname {d} P_{2}}{\operatorname {d} x}}=P_{3},\qquad P_{2}Q_{2}+{\frac {\operatorname {d} Q_{2}}{\operatorname {d} x}}=Q_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec0520d4e0174941de78ef03d635124725ff67c)
on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y^{3}}{\operatorname {d} x^{3}}}=P_{3}y+Q_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e71cb67eb47f368bd1877712a5eb4ceb16c46e6)
où
et
seront toujours des fonctions de
sans
de manière qu’en continuant ainsi, on aura, en général,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y^{n}}{\operatorname {d} x^{n}}}=P_{n}y+Q_{n},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ef78a874c8808ecbf9d2cebc7e40c70974fbda)
(2)
où
et
seront encore des fonctions de
sans
et
un nombre entier positif quelconque.
Si, dans cette dernière équation, on suppose
elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{0}y}{\operatorname {d} x^{0}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e4cac6c1b0ddb40aedcd577169561fed4ca9a1)
ou
![{\displaystyle \quad y=P_{0}y+Q_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebadbcd1ed5d4f134f21ed4ce649f7a0f84a930)
d’où
![{\displaystyle y={\frac {Q_{0}}{1-P_{0}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401806207b7a196141729fa431f91a1a2c2b0f12)
(3)
d’où l’on voit que l’intégration de la proposée se réduit finalement à déterminer les deux fonctions
et
Or, c’est là une chose très-facile, ainsi qu’on va le voir.
En différentiant l’équation (2), on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n+1}y}{\operatorname {d} x^{n+1}}}=P_{n}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} P_{n}}{\operatorname {d} x}}y+{\frac {\operatorname {d} Q_{n}}{\operatorname {d} x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d15e449779e70354ee49b3a9e20a83451a349e)
ou, en mettant dans le second membre pour
sa valeur donnée par l’équation (1),
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n+1}y}{\operatorname {d} x^{n+1}}}=\left(P_{1}P_{n}+{\frac {\operatorname {d} P_{n}}{\operatorname {d} x}}\right)y+\left(Q_{1}P_{n}+{\frac {\operatorname {d} Q_{n}}{\operatorname {d} x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e3f283c7ac94401dcd6318276ba85c54529650)
Faisant, dan, cette dernière,
elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\left(P_{1}P_{0}+{\frac {\operatorname {d} P_{0}}{\operatorname {d} x}}\right)y+\left(Q_{1}P_{0}+{\frac {\operatorname {d} Q_{0}}{\operatorname {d} x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e682f9f7ec9f6448c3c5fe7c1cf0f983df38a8)
Celle-ci devant être identique avec l’équation (1), on aura
![{\displaystyle P_{1}P_{0}+{\frac {\operatorname {d} P_{0}}{\operatorname {d} x}}=P_{1},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffe02f1933dd69636ccbd4dbee1de42e0cd4548)
(4)
![{\displaystyle \quad \qquad Q_{1}P_{0}+{\frac {\operatorname {d} Q_{0}}{\operatorname {d} x}}=Q_{1}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c20638a0aa121a9154fa9bfd3c9c22662cfb2f1)
(5)
La première de ces équations donne
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} P_{0}}{1-P_{0}}}=P_{1}\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f92b564e9adc2891a75db81fcbe7c1dddcae952)
d’où en intégrant
![{\displaystyle \operatorname {Log} .{\frac {1-P_{0}}{C}}=-\int P_{1}\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ddd88cd791927777706404fef386393bb7b84e4)
étant la constante ; c’est-à-dire,
![{\displaystyle 1-P_{0}=Ce^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8516ea5ecdb05fb8f1ee80277c706e60e9992454)
(6)
On tire ensuite de l’autre
![{\displaystyle \operatorname {d} Q_{0}=Q_{1}\left(1-P_{0}\right)\operatorname {d} x=CQ_{1}\operatorname {d} x.e^{-\int P_{1}\operatorname {d} x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7678f704e1c2c27d5c1e09cf8fe2baa633a354c6)
d’où, en intégrant,
![{\displaystyle Q_{0}=C\int e.^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}Q_{1}\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b7a0ff5dce2c4d1fb0e5a2507ffcbb08c442db)
substituant enfin les valeurs de
et de
dans la formule (3), on aura
![{\displaystyle y={\frac {\int e.^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}Q_{1}\operatorname {d} x}{e^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}}}=e.^{\int P_{1}\operatorname {d} x}\int e.^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}Q_{1}\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700c56bf8b3be6ca3f4d748c1bcd762ae4de3f35)
c’est la formule connue dans laquelle, comme l’on voit, il ne faut point ajouter de constante à l’intégrale
mais seulement à l’intégrale ![{\displaystyle \int e.^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}Q_{1}\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/400ff24252a1489405e594e424b86748cabf875b)