La Spéculation et le Calcul des probabilités/Chapitre III

Louis Bachelier

La Spéculation et le Calcul des probabilités

Gauthier-Villars, 1938 (p. 35-49).

CHAPITRE III.

SECOND PROBLÈME DE LA THÉORIE DE LA SPÉCULATION.

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62. Dans le premier Chapitre nous avons calculé les probabilités relatives à une époque déterminée $t$.

En dehors du fait de la continuité des variables $t$ et $x$, en dehors du fait que les formules sont exactes et non asymptotiques, nos calculs jusqu’ici ne sortent pas du domaine considéré comme classique.

Mais on conçoit qu’une foule d’autres problèmes très intéressants et beaucoup plus difficiles vont se présenter à nous.

Il n’y a pas seulement à étudier les cours relatifs à l’époque $t$, nous devons encore étudier les mouvements des cours dans un intervalle de temps $t$ déterminé ou non.

Cette étude fera l’objet de ce Chapitre, elle est basée sur la théorie des images que j’ai employée des le début de mes recherches et qui a rendu possible et presque élémentaire la résolution de problèmes qui paraissaient inaccessibles.

Les démonstrations ne seront pas données ici, elles sont exposées dans mon Traité.

63. Nous désignerons comme précédemment par ${\mathcal {P}}$ la probabilité pour qu’un cours donné soit atteint ou dépassé à l’époque $t$. ${\mathcal {P}}$ est, la probabilité du premier genre. $\mathrm {P}$ désignera la probabilité pour que le cours considéré soit atteint ou dépassé dans l’intervalle de temps $t$, c’est-à-dire avant l’époque $t$. $\mathrm {P}$ est la probabilité du second genre.

La probabilité pour qu’un cours soit dépassé à l’époque $t$ est la moitié de la probabilité pour que ce cours soit dépassé dans l’intervalle de temps $t$.

En effet, le cours ne peut être dépassé à l’époque $t$ sans l’avoir été antérieurement. La probabilité ${\mathcal {P}}$ est donc égale à la probabilité $\mathrm {P}$, multipliée par la probabilité pour que, le cours étant coté à une époque antérieure à $t$, soit dépassé à l’époque $t$, c’est-à-dire multipliée par 1/2.

On a donc

${\mathcal {P}}={\frac {\mathrm {P} }{2}}$.

La probabilité pour que le cours $c$ soit dépassé pendant l’intervalle de temps $t$ a pour expression

$\mathrm {P} =2{\mathcal {P}}=1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {c}{\sqrt {\varphi (t)}}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda$.

ou

$\mathrm {P} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {c}{2{\sqrt {\pi }}a}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda$.

64. Quelques applications. — Les tables de la fonction $\Theta$ permettent de calculer la fonction

$\mathrm {P} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {c}{2{\sqrt {\pi }}a}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda =1-\Theta {\left({\frac {c}{2{\sqrt {\pi }}a}}\right)}$ ;

mais il est généralement beaucoup plus simple d’avoir recours à la table de probabilité du paragraphe 15, dont il suffit de doubler les chiffres puisque ${\mathrm {P} =2{\mathcal {P}}}$.

65. Cherchons, par exemple, la probabilité pour que l’écart de la prime simple $a$ soit atteint avant l’échéance de cette prime.

La probabilité ${\mathcal {P}}$ relative au cours $a$ est (n^o 15) 0,345 ; donc la probabilité $\mathrm {P}$ au même cours est

2 × 0,345 $=$ 0,69.

Il faut bien remarquer que ce chiffre exprime la probabilité pour que l’écart $a$ soit atteint dans un sens déterminé, à la hausse, par exemple. La recherche de la probabilité pour que l’intervalle $\pm a$ soit dépassé avant l’époque $t$ dans un sens quelconque, constitue un problème beaucoup plus compliqué qui sera résolu plus loin (n^o 77).

66. Cherchons encore la probabilité pour que l’écart $2a$ soit atteint (dans un seul sens), avant l’époque $t$.

La probabilité ${\mathcal {P}}$ relative au cours $2a$ étant 0,213, la probabilité ${\mathcal {P}}$ relative au même cours est égale au double de cette quantité, soit 0,426.

La probabilité pour que l’écart de la faculté du double soit atteint est 0,78. Pour la faculté du triple, la probabilité serait 0,66.

67. Probabilité élémentaire. — Nous avons désigné par $\varpi$ la probabilité pour qu’un cours soit coté à l’époque $t$ ; c’est la probabilité élémentaire du premier genre. Nous désignerons par $\Pi$ la probabilité pour que ce cours soit coté pour la première fois à l’époque $t$, c’est-à-dire la probabilité élémentaire du second genre. Il est donc la probabilité pour que le cours soit coté à l’époque $t$, ne l’ayant pas été auparavant.

On a évidemment

$\int _{0}^{t}\Pi \,{\mathcal {d}}t=\mathrm {P}$ou$\Pi ={\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial t}}$,

par suite

$\Pi ={\frac {c\varphi '(t)e^{-{\frac {c^{2}}{\varphi (t)}}}}{{\sqrt {\pi }}\,\varphi (t){\sqrt {\varphi (t)}}}}\,\mathrm {d} t$.

Telle est l’expression de la probabilité pour que le cours $c$ soit atteint pour la première fois à l’époque $t$.

${\varphi '(t)}$ est la dérivée de la fonction d’instabilité ${\varphi (t)}$ qui, en toute généralité, est une donnée du problème.

Si l’on suppose l’uniformité, on a

$\Pi ={\frac {ce^{-{\frac {c^{2}}{4\pi k^{2}t}}}}{2\pi kt{\sqrt {t}}}}\,\mathrm {d} t$.

68. Distribution des probabilités. — La connaissance de la probabilité pour que le cours $c$ soit atteint à une époque donnée ne résout pas d’une façon complète le problème que nous nous sommes proposé ; il nous reste à étudier le cas où le cours $c$ n’est pas atteint avant l’époque $t$.

Par exemple, un spéculateur ayant fait un achat au cours zéro se propose de vendre au cours $c$. Il est utile de connaître non seulement les probabilités pour qu’il puisse effectuer cette vente à chaque époque précédant l’époque $t$, mais aussi de connaître la probabilité pour qu’il gagne la somme $x$ à l’époque $t$ si la vente ne peut être effectuée, le cours n’atteignant pas la valeur $c$.

La probabilité pour que le cours soit $x$ à l’époque $t$, le cours $c$ n’étant pas atteint avant cette époque, est

${\frac {1}{2\pi a}}\left[\mathbf {e} ^{-{\frac {x^{2}}{4\pi a^{2}}}}-\mathbf {e} ^{-{\frac {(2c-x)^{2}}{4\pi a^{2}}}}\right]$.

69. Pour obtenir le cours dont la probabilité est la plus grande dans le cas où le cours $c$ n’est pas atteint, il suffit d’annuler la dérivée de l’expression précédente, ce qui donne

${\frac {x}{2c-x}}+\mathbf {e} ^{-{\frac {c(c-x)}{\pi a^{2}}}}=0$.

Si l’on suppose que ${c=a}$, on obtient ${x_{m}=}$ −1,5$a$.

Si l’on suppose que ${c=2a}$, on obtient ${x_{m}=}$ −0,4$a$.

Enfin, on aurait ${x_{m}=-c}$, si $c$ était égal à 1,33$a$.

70. La probabilité pour que le cours soit compris, à l’époque $t$ entre zéro et $c$, le cours $c$ n’étant pas atteint antérieurement, est

${\frac {1}{2}}-2{\mathcal {P}}_{c}+{\mathcal {P}}_{2c}$.

$c$ est exprimé en prenant $a$ pour unité, ${\mathcal {P}}$ se calcule d’après la Table du paragraphe 15.

71. Si ${c=a}$, la probabilité est 0,024. Donc l’acheteur qui se propose de vendre avec un gain $a$, si avant l’époque $t$ le cours $a$ est atteint, a probabilité 0,69 de pouvoir effectuer la vente, probabilité 0,024 de réaliser à l’époque $t$ un gain compris entre zéro et $a$ et probabilité 0,286 de réaliser une perte.

Si ${c=2a}$, les mêmes probabilités sont respectivement 0,425, 0,127 et 0,448.

72. Époque la plus probable. — Si aucune limite de temps n’est fixée, à quelle époque le cours $c$ a-t-il la plus grande probabilité d’être atteint ?

On suppose l’uniformité. En annulant la dérivée en $t$ de la probabilité élémentaire (n^o 67), on obtient

$t={\frac {c^{2}}{6\pi k^{2}}}$.

Si, par exemple, $c$ a la valeur ${2a=2k{\sqrt {t_{1}}}}$ d’une double prime ou écart moyen relatif à une échéance $t_{1}$, on a ${t={\frac {2t_{1}}{3\pi }}}$.

73. Époque probable. — Si aucune limite de temps n’est fixée, quelle est l’époque telle qu’il y ait une chance sur deux pour que le cours $c$ soit dépassé avant cette époque ?

On suppose l’uniformité. De l’égalité ${\mathrm {P} ={\frac {1}{2}}}$, on déduit

$t={\frac {c^{2}}{2{,}89k^{2}}}$.

L’époque probable varie, de même que l’époque la plus probable, proportionnellement au carré de l’écart $c$ ; elle est environ six fois supérieure à l’époque la plus probable.

74. Probabilité d’une suite de mouvements. — On demande, par exemple, la probabilité pour que se produise la succession de mouvements ainsi définie.

Le cours dépassera en hausse la valeur $+c$, puis en baisse il dépassera le cours $-b$, puis en hausse il dépassera le cours $+c$, pour finalement être quelconque à l’époque $t$.

Ce serait, par exemple, le cas d’un spéculateur qui achèterait pour vendre avec le gain $c$, puis qui attendrait que le cours baisse à la valeur $-b$ pour acheter de nouveau dans l’idée de revendre ensuite avec un nouveau gain ${b+v}$.

Il s’agirait de savoir quelle est la probabilité pour que ces trois opérations puissent être effectuées avant l’époque $t$, ce qui produirait le gain ${c+b+v}$.

La probabilité demandée est

$\mathrm {P} _{2c+2b+v}=2{\mathcal {P}}_{2c+2b+v}=1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {2c+2b+v}{2{\sqrt {\pi }}a}}e^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda$.

75. Plus grand écart. — Quelle est la probabilité pour que le cours $c$ soit le plus haut cours coté dans l’intervalle de temps $t$ ?

La probabilité cherchée est la différence entre les probabilités pour que les cours $c$ et ${c+\mathrm {d} c}$ soient atteints ou dépassés, c’est-à-dire

${\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial c}}={\frac {\mathbf {e} ^{-{\frac {c^{2}}{4\pi a^{2}}}}}{\pi a}}=2\varpi$.

La probabilité pour qu’un cours soit le plus haut cours coté dans l’intervalle de temps $t$ est le double de la probabilité pour que ce même cours soit coté à l’époque $t$.

76. On pourrait imaginer une nouvelle sorte de prime : moyennant le paiement d’une certaine prime, on toucherait la différence entre le cours actuel et le plus haut cours atteint dans l’intervalle de temps $t$. La valeur de cette prime

$\int _{0}^{\infty }2\varpi x\,\mathrm {d} x=2a$.

devrait être le double de la valeur de la prime simple relative à la même époque.

Une prime de même valeur serait relative à la différence entre le cours actuel et le plus bas cours coté dans l’intervalle de temps $t$.

En achetant ces deux primes, c’est-à-dire en versant la somme $4a$, on toucherait le plus grand écarts dans chaque sens, c’est-à-dire la différence entre le plus haut et le plus bas cours cotés dans l’intervalle de temps $t$.

77. Probabilités du troisième genre. — Quelle est la probabilité pour que le cours $c$ (supposé positif pour fixer les idées) soit atteint et dépassé dans l’intervalle de temps $t$, les variations en baisse n’ayant jamais atteint antérieurement un cours donné $-b$.

Je crois utile de présenter l’énoncé sous une forme plus explicite en l’appliquant à un exemple :

J’achète de la rente (à terme) avec l’intention de la revendre dans l’intervalle d’un mois si, dans cet intervalle de temps, elle se trouve à un moment donné 1^fr au-dessus de son cours actuel. Voulant limiter mon risque à 2^fr je m’engage à revendre ma rente si, dans le courant du mois, il se produit une baisse de 2^fr au-dessous du cours actuel.

On demande la probabilité pour que, dans le courant du mois, j’aie pu revendre avec le bénéfice de 1^fr ; la probabilité pour que j’aie revendu avec 2^fr de perte, et la probabilités pour que, au bout du mois, je n’aie pu faire aucune des revente.

Nous désignerons par $\mathrm {P} _{c,\infty }$ la probabilité déjà calculée (n^o 63)

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{c,\infty }&=2{\mathcal {P}}_{c,\infty }=1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {c}{\sqrt {\varphi (t)}}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda \\&=1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {c}{2{\sqrt {\pi }}a}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda =1-\Theta {\left({\frac {c}{2{\sqrt {\pi }}a}}\right)},\end{aligned}}$

pour que le cours $c$ soit dépassé en supposant $b$ infini.

La probabilité demandée est exprimée par la série

$\mathrm {P} _{c,b}=\mathrm {P} _{c,\infty }-\mathrm {P} _{c+2b,\infty }+\mathrm {P} _{3c+2b,\infty }-\mathrm {P} _{3c+4b,\infty }+\mathrm {P} _{5c+4b,\infty }-\ldots$,

ou par la suivante :

$\mathrm {P} _{c,b}=2{\mathcal {P}}_{c,\infty }-2{\mathcal {P}}_{c+2b,\infty }+2{\mathcal {P}}_{3c+2b,\infty }-2{\mathcal {P}}_{3c+4b,\infty }+2{\mathcal {P}}_{5c+4b,\infty }-\ldots$.

Les quantités $\mathrm {P} _{c,b}$ et $\mathrm {P} _{b,c}$ sont les probabilités du troisième genre.

78. La probabilité pour que le cours $-b$ soit atteint dans l’intervalle de temps $t$, les variations en hausse n’ayant jamais atteint le cours $c$, s’obtiendra en remplaçant dans la formule précédente $b$ par $c$ et $c$ par $b$. La probabilité pour que, jusqu’à l’époque $t$, le cours ne soit pas sorti de l’intervalle $-b,+c$, est

$1-\mathrm {P} _{b,c}-\mathrm {P} _{c,b}$.

79. Probabilité élémentaire. — En différentiant par rapport à $t$ la formule

$\mathrm {P} _{b,c}=\mathrm {P} _{b,\infty }-\mathrm {P} _{b+2c,\infty }+\mathrm {P} _{3b+2c,\infty }-\mathrm {P} _{3b+4c,\infty }+\ldots$,

on obtient la probabilité pour que le cours $-b$ soit atteint pour la première fois à l’époque $t$, les variations en hausse n’ayant pas précédemment atteint le cours $c$,

$\Pi _{b,c}=\Pi _{b,\infty }-\Pi _{b+2c,\infty }+\Pi _{3b+2c,\infty }-\Pi _{3b+4c,\infty }+\ldots$.

Les probabilités élémentaires $\Pi$ se calculent par la formule (n^o 67)

$\Pi _{b,\infty }={\frac {b\varphi '(t)\mathbf {e} ^{-{\frac {b^{2}}{\varphi (t)}}}}{{\sqrt {\pi }}\,\varphi (t){\sqrt {\varphi (t)}}}}\,\mathrm {d} t$.

Les probabilités du troisième genre s’expriment donc par des séries de probabilités du second genre.

80. Si aucune limite n’est fixée pour le temps, c’est-à-dire si ${t=\infty }$ on a

$\mathrm {P} _{c,b}={\frac {b}{c+b}}$,$\mathrm {P} _{c,b}={\frac {c}{c+b}}$.

81. Applications. — Les formules qui précèdent sont susceptibles d’un grand nombre d’applications intéressantes :

1^o Si l’on suppose ${b=c=a=k{\sqrt {t}}}$, $\mathrm {P} _{a,a}$ est égal à 0,498. La probabilité pour que le cours ne sorte pas de l’intervalle est très faible : 1 − 2 × 0,498 = 0,004.

2^o Lorsque ${b=c=2a}$, $\mathrm {P} _{2a,2a}=$ 0,410 ; la probabilité pour que le cours reste compris dans l’intervalle $\pm 2a$ est 1 − 2 × 0,41 = 0,18.

Si l’on achète une double prime avec l’idée préconçue de revendre ferme si l’écart $2a$ est atteint en hausse, ou de racheter ferme si l’écart $2a$ est atteint en baisse, la probabilité pour que l’une des opérations puisse s’effectuer est 0,82. Remarquons que $\mathrm {P} _{2a,2a}=$ 0,41 alors que $\mathrm {P} _{2a,\infty }=$ 0,425. Quand l’écart en hausse ou en baisse est supérieur à $2a$, la probabilité pour que le cours soit atteint dans un sens est à peu près la même que si les variations dans l’autre sens pouvaient être quelconques.

3^o Supposons que ${c=a}$ et que ${b=2a}$ ; la probabilité $\mathrm {P} _{c,b}$ pour que le cours $c$ soit atteint est 0,652, et la probabilité pour que le cours ${-b=-2a}$ soit atteint est $\mathrm {P} _{b,c}=$ 0,325. La probabilité pour que le cours reste dans l’intervalle considéré est 0,023.

Si nous avions supposé a priori cette probabilité négligeable, nous aurions obtenu par les formules du paragraphe 80 les valeurs très suffisamment approchées

$\mathrm {P} _{c,b}=$ 0,666et$\mathrm {P} _{b,c}=$ 0,333.

82. Écart maximum. — Quelle est la probabilité pour que, dans l’intervalle de temps $t$, le plus grand écart dans un sens ou dans l’autre ait une valeur donnée $c$ ?

La probabilité demandée est

${\frac {4\,\mathrm {d} c}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {\varphi (t)}}}}\left[\mathbf {e} ^{-{\frac {c^{2}}{\varphi (t)}}}-3\mathbf {e} ^{-{\frac {(3c)^{2}}{\varphi (t)}}}+5\mathbf {e} ^{-{\frac {(5c)^{2}}{\varphi (t)}}}-7\mathbf {e} ^{-{\frac {(7c)^{2}}{\varphi (t)}}}+\ldots \right]$.

83. Seconde courbe de probabilité. — La courbe qui représente la variation de la probabilité de l’écart maximum est tangente à l’axe des $x$ à l’origine et à l’infini, elle présente deux points d’inflexion ; l’ordonnée est maxima lorsque

$c=$ 0,642…${\sqrt {\varphi (t)}}$.

La valeur la plus probable de l’écart maximum est 0,642…${\sqrt {\varphi (t)}}$.

La probabilité maxima qui correspond à l’ordonnée maxima de la courbe décroît comme ${\frac {1}{\sqrt {\varphi (t)}}}$

Les abscisses des points d’inflexion croissent proportionnellement à ${\sqrt {\varphi (t)}}$.

84. Second écart moyen. — Nous appellerons second écart moyen la valeur moyenne du plus grand écart existant entre le cours actuel et tous les cours cotés dans l’intervalle de temps $t$.

Le second écart moyen a pour valeur

${\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\sqrt {\varphi (t)}}=\pi a$ ;

il est proportionnel à la racine carrée de la fonction d’instabilité et égal au premier écart moyen multiplié par ${\frac {\pi }{2}}$.

85. On pourrait imaginer de nouvelles sortes de primes : moyennant l’abandon d’une certaine prime, on toucherait le plus grand écart entre le cours actuel et les cours cotés dans l’intervalle de temps $t$, que cet écart soit positif ou négatif.

La valeur de la prime, d’après le résultat du paragraphe précédent, devrait être $\pi a$.

Nous avons vu (n^o 76) que la promesse de toucher la différence entre le plus haut et le plus bas cours cotés pendant le temps $t$, c’est-à-dire la promesse de toucher la somme des deux plus grands écarts dans chaque sens, avait pour valeur $4a$. La promesse de toucher le plus grand des deux écarts valant $\pi a$, la promesse de toucher le plus petit vaudrait ${(4-\pi )a}$, un peu moins que la prime simple.

86. Second écart probable. — Nous appellerons second écart probable l’intervalle $\pm \gamma$ tel que, pendant le temps $t$, le cours ait autant de chances de rester compris dans cet intervalle qu’il a de chances de le dépasser.

On doit avoir ${\mathrm {P} _{\gamma ,\gamma }={\frac {1}{4}}}$, d’où

$\gamma =$ 2,9$a=$ 0,8062…${\sqrt {\varphi (t)}}$.

Le second écart probable est proportionnel à la racine carrée de la fonction d’instabilité, il est égal au premier écart probable multiplié par 1,7….

On comprend la différence qui existe entre les deux écarts probables : le premier a des chances égales d’être ou de ne pas être dépassé à l’époque $t$, tandis que le second a égale probabilité d’être ou de ne pas être dépassé avant l’époque $t$.

87. Seconds écarts isoprobables. — Considérons un écart maximum $c$ tel que la probabilité pour que cet écart ne soit pas dépassé soit égale à un nombre donné $u$. On doit avoir

$\int _{0}^{c}{\frac {4}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {\varphi (t)}}}}\left[\mathbf {e} ^{-{\frac {c^{2}}{\varphi (t)}}}-3\mathbf {e} ^{-{\frac {(3c)^{2}}{\varphi (t)}}}+5\mathbf {e} ^{-{\frac {(5c)^{2}}{\varphi (t)}}}-7\mathbf {e} ^{-{\frac {(7c)^{2}}{\varphi (t)}}}+\ldots \right]\mathrm {d} c=u$.

En posant ${{\frac {c^{2}}{\varphi (t)}}=\lambda ^{2}}$, cette inégalité devient

$\int _{0}^{\frac {c}{\sqrt {\varphi (t)}}}{\frac {4}{\sqrt {\pi }}}\left(\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}-3\mathbf {e} ^{-9\lambda ^{2}}+5\mathbf {e} ^{-25\lambda ^{2}}-7\mathbf {e} ^{-49\lambda ^{2}}+\ldots \right)\mathrm {d} \lambda =u$,

$u$ étant constant, ${\frac {c}{\sqrt {\varphi (t)}}}$ l’est également et $c$ est proportionnel à ${\sqrt {\varphi (t)}}$. Donc :

Les seconds écarts isoprobables sont proportionnels à la racine carrée de la fonction d’instabilité.

Si l’on admet l’uniformité, les seconds écarts sont proportionnels à la racine carrée du temps.

88. Époque la plus probable. — Nous venons d’étudier des problèmes dans lesquels nous avons considéré un intervalle de temps fixe et des écarts variables ; nous allons maintenant supposer les écarts fixes et la durée de l’opération variable.

L’époque la plus probable à laquelle le cours sortira de l’intervalle ${(c,-b)}$, en cotant le cours $c$, est donnée par la formule

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {P} _{c,b}}{\partial t^{2}}}=0$.

L’époque la plus probable à laquelle le cours atteindra la limite $-b$ s’obtient en résolvant l’équation

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {P} _{b,c}}{\partial t^{2}}}=0$.

L’époque la plus probable à laquelle le cours sortira de l’intervalle ${(c,-b)}$ est donnée par l’égalité

${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(\mathrm {P} _{c,b}+\mathrm {P} _{b,c})=0$.

89. Époque probable. — L’époque probable à laquelle le cours sort de l’intervalle ${c,-b}$ s’obtient par la résolution de l’équation

$\mathrm {P} _{c,b}+\mathrm {P} _{b,c}={\frac {1}{2}}$.

Soit d’abord ${b=c}$ ; on devra avoir, en supposant l’uniformité,

$t={\frac {c^{2}}{8{,}24k^{2}}}$.

Si, par exemple, ${c=a=k{\sqrt {t_{1}}}}$, on aura ${t={\frac {t_{1}}{8{,}24}}}$ ; si ${c=2a=2k{\sqrt {t_{1}}}}$, on aura ${t={\frac {t_{1}}{2{,}06}}}$.

Supposons maintenant que ${b=2c}$ ; l’époque probable correspond à

$t={\frac {c^{2}}{4{,}6k^{2}}}={\frac {bc}{9{,}2k^{2}}}$.

Si, par exemple, ${c=a=k{\sqrt {t_{1}}}}$, ${b=2k{\sqrt {t_{1}}}}$, on a

$t={\frac {t_{1}}{4{,}6}}$.

90. Époque moyenne. — Le cours pouvant sortir de l’intervalle $+c,-b$ à toutes les époques de zéro à l’infini, l’époque moyenne correspondant à cet intervalle est la somme des produits des probabilités pour que le cours sorte de l’intervalle à l’époque $t$ par la durée $t$ elle-même.

L’époque moyenne à laquelle le cours sort de l’intervalle $+c,-b$ est donnée par la formule

${\frac {cb}{2\pi k^{2}}}$.

Si, par exemple, ${b=c}$, l’époque moyenne ${\frac {c^{2}}{2\pi k^{2}}}$ est supérieure à l’époque probable dans le rapport de 4 à 3, environ.

91. Reprenons à titre d’exemple le problème suivant :

On achète de la rente avec l’intention de la revendre avec le bénéfice ${a=k{\sqrt {t}}}$ ou avec la perte $2a$ ; on termine l’opération si, à l’époque $t$, la revente n’a pu avoir lieu. Quels sont les principaux résultats que fournit le calcul des probabilités sur cette opération ?

La probabilité de revente avec le bénéfice $a$ est 0,652.

La probabilité de revente avec la perte $2a$ est 0,325.

La probabilité pour que la revente n’ait pas lieu avant l’époque $t$ est 0,023.

L’époque la plus probable de la revente avec le bénéfice $a$ est ${\frac {t}{6}}$.

L’époque la plus probable de la revente avec la perte $2a$ est ${\frac {2}{3}}t$.

L’époque probable de la revente est ${\frac {t}{4{,}6}}$.

L’époque moyenne est ${\frac {t}{\pi }}$.

92. Distribution des probabilités. — Il nous reste à résoudre le problème de la distribution des probabilités, c’est-à-dire à chercher la probabilité pour que le cours soit $x$ à l’époque $t$, les variations antérieures n’ayant jamais dépassé l’intervalle $-b,+c$.

Cette probabilité est donnée par la formule

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {\varphi (t)}}}}\left[\mathbf {e} ^{-{\frac {x^{2}}{\varphi (t)}}}\right.&-\mathbf {e} ^{-{\frac {(2c-x)^{2}}{\varphi (t)}}}+\mathbf {e} ^{-{\frac {(2c+2b-x)^{2}}{\varphi (t)}}}-\mathbf {e} ^{-{\frac {(4c+2b-x)^{2}}{\varphi (t)}}}+\ldots \\&\left.{}-{}\mathbf {e} ^{-{\frac {(2b+x)^{2}}{\varphi (t)}}}+\mathbf {e} ^{-{\frac {(2b+2c+x)^{2}}{\varphi (t)}}}-\mathbf {e} ^{-{\frac {(4b+2c+x)^{2}}{\varphi (t)}}}+\ldots \right]{\text{.}}\end{aligned}}$

93. En se plaçant à un point de vue uniquement mathématique et complètement dégagé de toute idée de rapprochement avec la réalité, on pourrait essayer d’édifier une théorie plus générale que celle qui vient d’être exposée.

Une telle théorie admettrait, par exemple, que les variations du cours dépendent de la valeur absolue de ce cours, elle nierait le principe de l’espérance mathématique, expression scientifique de la loi de l’offre et de la demande, elle perdrait contact avec la réalité et tirerait surtout son intérêt de sa difficulté. Elle serait l’analogue, pour la question qui nous occupe, des géométries non euclidiennes ou de la relativité. L’analyse développée aux n^os 308 et 314 de mon Traité permettrait d’édifier une théorie de ce genre bornée au premier problème.

L’analyse développée au n^o 607 basée sur de tout autres hypothèses conduirait aussi à des lois absolument mathématiques, mais n’ayant pas de rapports avec le problème de la spéculation.

J’ai nommé probabilités connexes celles qui sont relatives à de grands nombres d’épreuves ou à des variations continues dans le temps sans qu’il y ait indépendance entre les épreuves successives ou entre les éléments de temps.

Laplace avait résolu sur ces sujets divers problèmes difficiles, mais sans les réunir par une idée d’ensemble et sans aller aussi loin que je l’ai fait dans mon Traité et dans les Mémoires que j’ai publiés antérieurement.

Au n^o 367 de ce Traité est étudié un genre de connexité très différent des précédents. Pour ces questions je renvoie aussi à mon Ouvrage sur le Jeu, la chance et le hasard, où les idées générales sont exposées sans formules.

Depuis quelque temps on emploie parfois le terme de probabilités formant chaîne pour désigner certaines classes de probabilités connexes, ce terme n’est pas heureux, une chaîne donne l’idée d’une liaison absolue et non d’une liaison aléatoire. L’emploi d’une telle expression, même restreint à une classe limitée de questions, est donc illogique, il implique en lui-même une sorte de contradiction.

94. Plaçons-nous au point de vue expérimental. Une première série d’observations décrite dans mon Ouvrage sur la Théorie de la spéculation a montré la parfaite concordance des chiffres calculés et observés.

J’ai fait connaître les résultats d’une seconde série d’expériences dans mon Livre sur le Jeu, la chance et le hasard (p. 212).

L’une et l’autre série montrent que la théorie est en complète harmonie avec la réalité, ce qui, a priori, était d’ailleurs très vraisemblable.

Cette théorie n’a pas seulement le mérite d’avoir été le point de départ d’une suite d’études donnant une nouvelle activité à une science qui sommeillait depuis les admirables travaux de Laplace, depuis près d’un siècle, elle a aussi le mérite d’être, dans l’ensemble, l’expression d’une réalité.